第六章　數(shù)　列《過關(guān)檢測卷》－2022年高考一輪數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)（新高考專用）(解析版)

1、01卷第六章數(shù)列過關(guān)檢測卷 2022年高考一輪數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)（新高考專用）第I卷（選擇題）一、單選題.已知數(shù)列4滿足：（%+1 =（4+ 2）則下列選項正確的是（）勺+1anA. 0/ %B. 41 時，an+l 3 + 18D. q =4 時，a+i H2n + 24an+lan+l【答案】D【分析】 TOC o 1-5 h z 由函數(shù)/。）=史迎=1+1+ 2的單調(diào)性，可判定A、B不正確：由區(qū)+- =他+ 2）_,得到 x x411 c 31I,a+i += an + ,得到 4+-2n ,可判定 C 錯誤，D 正確.%an anan+la.【詳解】對于A中，由于0見（4 + 1）,4+1%

2、,又由函數(shù)f（x） = 3 + 1）= x2x + l = x + J_ + 2,當(dāng)* e （0,1）時為單調(diào)遞減函數(shù)， XXX可得/（4+J /（,），所以。用1,?！?|1,且/（4+1）/（4）,由/（外=任包=三上11 =+ , + 2在（1,田）上單調(diào)遞增，XXX可得4+1 ,所以B錯誤對于C、D中，由于（包丁J =（電丁 2）,可得勺r+_L = a“+J_ + 2 +3， na41W TOC o 1-5 h z i141c當(dāng) 4=, = 1 時，可得外1= ai h2 = + 180,可得% 0,從而11 c利用疊加法，可得%+|+,+ + 2/1, an+4故當(dāng)4 =4時，+,

3、 + 2n + 2 ,所以D正確. %故選：D.【點睛】方法點撥：構(gòu)造函數(shù)/（助=任=1+ 2,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，是判定勺+1與的大小關(guān)系的關(guān)鍵；同 x x TOC o 1-5 h z 11c 311c時化簡4+i + =4+ + 2 + ,得到?！?1 + + 2是解答的關(guān)鍵. an.anan4+142.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”： 設(shè)x=R用可表示不超過x的最大整數(shù)，則y =卜稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù).在數(shù)列a,中，記% 1Ui為不超過4的最大整數(shù)，則稱數(shù)列,“為q的取整數(shù)列，設(shè)數(shù)列4滿足q =1, a“+i= L ,記數(shù)

4、列a,的前項和為S”，則數(shù)列卜的前1010項和為（【答案】C【分析】由q=l,則%= =1,同理可得% =1， =1，得到S2+i =2 + 1,得到S2n_1S2n+12 v 2/j 1 2n +1,結(jié)合裂項法，即可求解.1則5, 15, q2n-l 2n+l11由題意，數(shù)列?！皾M足q =同理可得生=!=2an所以數(shù)列4為以I為首項，2為公比的等比數(shù)列.【詳解】+1=2 -2%=24一2=2+i22n+l 2n所以數(shù)列（條，為以3為首項,一1為公差的等差數(shù)列. 2所以組=3 + (- 2Mnb. = (7- )21ak =瓦=2 =0_k- =1_k = nk = 6.故選：c.【點睛】本題

5、考查一階線性遞推公式的通項公式.屬于難題.掌握常見的一階線性遞推公式的變形是解本題的關(guān)q / q 、鍵0%+不4+1？.數(shù)列4的前項和為5.，4=用，且對任意的“CN*都有q=2 + 1,則下列三個命題中,所有真命題的序號是（） 存在實數(shù)，使得他“為等差數(shù)列;存在實數(shù)加，使得他“為等比數(shù)列；若存在上eN*使得S* =S*+|=55,則實數(shù)加唯一.A.B. 0C.D.【答案】A【分析】假設(shè),為等差數(shù)列，根據(jù)an + an+1 = 2 +1,求得=1 + ”,得到/ = 1,使得an + an+ =2n+,、2n + l恒成、工，可判定正確；假設(shè)4為等比數(shù)列，求得加=不一7，可判定不是真命題；由

6、q +qan + an+l = 2 +1,可得/+/ =2x1 + 1,+6 = 2x2 + 1, ,an + a,1+l =2n + 1,各式相加得到S“+S“+ a1= 2+ 2，進而得至ij析=110 A2 2左，可判定不是真命題.【詳解】中，假設(shè),為等差數(shù)列,則q=q+（-1時=7 + （一1，則 an + an+1 =？ + （一 ）d + m + nd - 2m + （2 -）d = 2 +1,可得m一!，顯然當(dāng)d = l時，可得初=1,使得%+。用=2 + 1恒成立，所以存在帆=1使得數(shù)列“為等差數(shù)列，所以正確；中，假設(shè)數(shù)列/“為等比數(shù)列，則an= a0i = m q-2 + 則

7、 an + an+l = m- qn +m qn =+ qn) = 2n + ,可得 m ,q + q即 mqn + tnqn -1 = 0 ,即 mqn + mq,l+ - 2nq-q = 01該式中有次為定值，2夕是變量，所以這樣的實數(shù)加不存在，所以不是真命題；中，山。+4+ =2 + 1,可得q+% = 2x1 + 1, %+。3=2*2 + 1, ,4+&i=2 + l,將上述各式相加，可得(6 +% Ha,) + (a2 +% -1h +1)= (2xl + l) + (2x2 + l) +(2x + l) = 2xi + = 2 + ，2即 Sn + S“+ -q = 2 + 2，

8、即 S“ + S,I+I =n2 +2n + m ,若存在這樣的實數(shù)k，則有Sk + Sk+l=k2 + 2k + m = 0,從而根= 110 公2k，可知滿足該式的用不唯一，所以不是真命題.故選:A.【點睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在 閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目 的：2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”, 逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.已知S”是等差數(shù)列

9、,的前n項和，52019 S2021V S2020,設(shè)2=anan+an+2,則數(shù)列 B. a2021VoC.2019 2020 2021 .2022D. = 2019時，7；取得最大值【答案】D【分析】由 *2019 V $2021 9 得到 .201902020 “20212022 且 d0,進而得到021 0）得到當(dāng) = 2020時，取得最小值.“2019 “2020”20202021。2019a20221。”+1%+2 /【詳解】設(shè)等差數(shù)列J的公差為d，因為 42019 S2021 V S2020 可將 *2021 t2020 =生021 0，*2021 2019 = 2021 + 2

10、020 （）*即2020 _2021 0，%020 _1 一2021 _1 0 ,即生019 一2022 0，力以 20192020 。2021。2022 I L 4 0,。20，。2020 ，。20210,b, 44+4+211八當(dāng) = 2019時，可得 = 0 .“2020202020212022當(dāng)2 2021 時,11八可得r= ，2020 ，“2021 ，。2022 。，11102Oig+“，O22所以 + =X-?迪巫0,“2019”202002020“20212019a2022(I 1)所以當(dāng) = 2020時，取得最小值.綜上可得，不正確的選項為Dan+ian+2 7故選：D.【點

11、睛】數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：1、己知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一把要利用數(shù)列的通項公式，前項和公式，求和方法 等對于式子化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題 時要注意這一特殊性：2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、 分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.已知數(shù)列4, 4,=，萬，其中/()為最接近冊的整數(shù)，若勺的前加項和為20,則朋=()A. 15B. 30C. 60D. 110【答案】D【分析】由題意知，函數(shù)/(

12、)為最接近的整數(shù)，得到/(“)中有2個I, 4個2, 6個3, 8個4, ，進而得到q+=2,/ +%+火+4 = 2,%+4+ %2 =2,，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)/()為最接近的整數(shù)，又由1) = 1J(2)= 1,/(3) = 2,/(4) = 2,/(5) = 2,/(6) = 2,/(7)= 3,/(8)= 3,/(9)= 3,/(10)= 3,/(11) = 3,/(12)=3, TOC o 1-5 h z 由此可得/()在最接近祈的整數(shù)中，有2個1, 4個2, 6個3, 8個4,又由數(shù)列。“滿足an =,-re,11可得 4 = % = 1, %

13、 =%=% =。6 = 3，% = % =, =12 = 一， , ，則 q + =2, / + q + % += 2, % + 4 + + q)= 2, , , ,因為“的前加項和為20,即S, = 10 x2 = 20,可得數(shù)列構(gòu)成首項為2，公差為2的對稱數(shù)列的前10項和，10 x9所以m= 10 x2 +x2 = 110.2故選：D.已知數(shù)列q的通項公式為a“ = sin與，則q+。2+。3 +。2021 =()A. 1011 B. y/3C. -73D. 1011 百【答案】D【分析】H7T觀察得到)，=4!?-的周期為6，再求出。6“.1+。62+ 4”+6的表達式，進而求解結(jié)論，得

14、到答案.【詳解】 TOC o 1-5 h z 山題意，數(shù)列為的通項公式為=sin竺，且函數(shù)y = sin型的周期為6， 33cv 1、. (6 + 1)乃.(6 + 2)1所以。6+1 + 4+2 + + 6+6 = (6 +1) Sin - + (6 + 2) sin+/n n , (6 + 6)萬.re c、 . 27r. 6萬+(6 + 6)- sin= (6/7 +1) sin + (6 + 2)- sin + +(6 + 6)- sin =(fin +1) 與 + (fin + 2)- g + (6/2 + 3) 0+(6 + 4) (- 岑)+ (fin + 5)-(-乎)+ (6

15、/7 + 6) 0 = -3/3，又因為 2021 = 6x336+5 = 6x337-1，所以 q +%+%+ 2(p = 337 x (3/) 4 = -1011/3 .故選：D.【點睛】方法點撥：由函數(shù)y = sin3-的周期為6，根據(jù)三角函數(shù)的周期性和數(shù)列的表達式，求出。6”+| +。6+2 +。6+6的值，結(jié)合周期性求解.VITT.已知數(shù)列”“的通項公式為4 =( +l),sin5( e N+),其前“項和為5，則項=(A. -36B. 12C. 24D. 48【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，設(shè)q = %*-3 +。4A-2 + 4t-l + a4k 結(jié)合Sg = Q + C?

16、,即可求解.【詳解】jljr由題意，數(shù)列4“的通項公式為a” =( + lsin-5-(e N+),設(shè)0”，且q-*+*+a.(4陰z.,I、 . (4Z - 2)萬.7. (4 氏- 1).八.415+(42 - 2)(42 -l)-sinf(4Z -1)42 sm F 4 攵(4 攵 + l)-sin222=(4 左一 3)(4左一 2)xl + (4Z 2)(4- l)x0+(4 左一 l)4Vx(-1)+4 4(4Y+l)xO=-16k+6 則/=J + g = 16 x (1 + 2) + 6 x 2 = -36.故選：A.9.設(shè)數(shù)列%滿足q =3, a2=6, an+2 = a+,

17、 +9(neN),()A.存在 eN*，a“eQB.存在p。，使得a“+i - pa”是等差數(shù)列C.存在eN*，an=y/5D.存在p。，使得a“+1-pa“是等比數(shù)列【答案】D【分析】山4+2 =3( eN) 得到4+2。“=。3+9,遞推作差求得“:%2 = %, +4電,進而得到 an4+1+24+2=3%”-4,結(jié)合選項和等差、等比數(shù)列的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】由 4,*2=7wN.)，即。“*24=43+9，則嘮* = 3+9， %兩式相減，可得4+24=4+2-。3,可得吃3=:，U/+l4+2即生41 = %L但恒成立,所以數(shù)列為常數(shù)列，4:+17+2”+1 J因為又由

18、q=3,。=6,可得生=15,則&t& =3,a2 6所以，：2 =3 ,即 4+2 = 3fln+l -an,因為qeN*M2eV,可得4+26m，可判定A、C不正確；由4 =3, a, = 6,可得% = 15,% = 39,% = 1。2,，假設(shè)B成立，則6-3p,15-6p,39-15p,102 - 39P成等差數(shù)列,則9-3。= 24-9。= 63 24，此時無解，所以B不正確：a dci對于D中，假設(shè) *加=,所以+an+ Pan由?+ *=3,解得一酒酒，I P0,所以671 - 1“20,1 = 2020故選：B【點睛】 含遞推公式的數(shù)列問題，將給定遞推公式變形成能明確反應(yīng)項間

19、關(guān)系并具有可操作性的式子是解題關(guān)鍵.若數(shù)列,的通項公式是% =（-1）”（3-2）,則q+a2H等于（）A. -30B. 30C. -20D. 20【答案】B【分析】 根據(jù)題意得到。2“+。2”一1 =3,結(jié)合并項求和，即可求解.【詳解】 由題意，數(shù)列,的通項公式是4, =（一 1）（3一2）, 則 知 +2.i =6-2-(6n-5)= 3,所以 4 +% HF%)= (a1+/)+(4 +a4)n1(49 +4() = 10 x3 = 30.故選：B.已知數(shù)列4,的前項和為S“，4=1,當(dāng) 22時，a+2S_l =n,則S239的值為()A. 1008B. 1009C. 1010D. 10

20、11【答案】C【分析】由 2 2時，an + 2s,1 = n ,得到an+i + 2Sn =n + ,兩式相減，整理得an+l +aH = 1( 2),結(jié)合并項求 和，即可求解.【詳解】當(dāng)22時，an + 25_1 = n ,可得4+i +2S“ = + 1,由一得，an+i- + 2(S-S_l) = l,整理得a.+4 =1(22),又由q = 1所以 S,0|9 = q + (% +%)+(4 + % ) T卜(“2018 +。2019 )=1010.故選：C.C13.若數(shù)列4的前項和為5.，”,=,則稱數(shù)列,是數(shù)列4的“均值數(shù)列.已知數(shù)列是數(shù) n列,的“均值數(shù)列”且通項公式為bn=n

21、,設(shè)數(shù)列J一)的前項和為7；,若7； 1a2 一機_ 對一切J2eN*恒成立，則實數(shù)機的取值范圍為()A. (-1,3)B.-1,3c. (-oo,-1)U(3,-K)D.(,-lU3,+)【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得S“ = 2,進而求得數(shù)列的通項公式為為 =2-1,結(jié)合裂項法求得數(shù)列的前和7；.得出不等式!“2 一”一1 2 J.,即可求得實數(shù)加的取值范圍. 22【詳解】由題意，數(shù)列/的前項和為S“，由“均值數(shù)列”的定義可得= ，所以S“=2,當(dāng) =1 時，q = = 1 ；當(dāng) 2 2 時; an = Sn - S_, = 。一 （ 一 1） = 2 - 1,1所以an-an+l。1=

22、1也滿足?！?2-1,所以?！?2”-1,2一 1（2n-l）（2n + l） 一式2-12 + 1）一丁1111所以=5一 g + _g + ., + 又T“ 693D. %1T，巧“【答案】ABC【分析】2a +12x + l由給定條件可得4.2 =一丁，由此構(gòu)造函數(shù)g(x) =,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性而判斷選項A,利用不等式性質(zhì)探求出a. 0),則 g(x) =hJ0, g(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增， x+1(X + 1)a a 點與(,，,”)(eN*,23)是函數(shù)g(x)圖象上的兩點，于是有0(?3),則a,“,an -an-2都單調(diào)，35又。1=1,則%=2,% =,4 =，即。|

23、。4，所以。2-1 單調(diào)遞增，%J單調(diào)遞減，A正 確；顯然?！?，%=1 +，1,而弓=1,即 VeN”,a“Nl,則1 a+1 而翼=a = 2a+l3,4 an +1bn = In 0 , bn + b,向 + bllt2 ln32019所以 S2O2a S2019 In 3 a 1.099x673 = 739.627 693. C 正確；_357 r b20T b&”,則 In In a2”“t a2n，而 % = 1, a? = 2, 6 = , 即對=1 和 =2都不成立，D不正確.故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及單調(diào)性的某些數(shù)列問題，數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，借助

24、函數(shù)導(dǎo)數(shù)研 究其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，背景函數(shù)的條件，應(yīng)緊扣題中的限制條件.16.已知數(shù)列,的前項和為S”，且滿足4八一2冊，計血一4人+ =0嗎=1,則下列結(jié)論正確的是（A.若= =則4是等差數(shù)列B.若4 = 1, =；,則數(shù)列的前項和為C.若；l = 2, = g,貝I,+1是等比數(shù)列D.若之=2, = g ,則 S = 2*-一2【答案】ACD 【分析】1 1當(dāng)7 = 1,= 時，化簡得2小=2620，得到/+i -。 =】，求得相，進而求得不，得到A正確，B 2不正確；當(dāng)4 = 2, = g時，得到。,用=2?！?+ 1,求得%=2-1,求得S.，可判定C正確，D正確.【詳解】因為數(shù)列,

25、的前項和為S“，且滿足4”“ 一2%+乜一 4%+” =0，當(dāng)丸=1, =；時，可得(2“丫_2- NM_ZQ)=0, 即(2+, + 20 乂2” 一 2 2%) = 0,所以 2小=2 2%， 可得a“+i= %+1,即?！?|4=1,又因為。1=1,所以。 =1 + (- 1)x1 = ，eg n(n + l) 則可得=2| J+Ll+二區(qū)n +1 y S) S2 Sn +1故A正確，B不正確.當(dāng)a = 2, =；時，由己知得（2% ）-2” 22fl-2（22a）2=0.即(2” + 22u)(2fl+l -2-22a) = 0,所以an+i = 2a“+1,所以a,”+1 = 2(。

26、“+1),所以a“ + l = 2,所以?！?2-1,所以s =31_ = 2+1 _一2，故C 正確，D 正確.“1-2故選：ACD.【點睛】利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式的策略：1、對于遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為。用-勺 =d (常數(shù))或也=4 (常數(shù))可利用等差、等比數(shù)列的通項公式求解: 見2、對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為。向-。=/5)的數(shù)列，通常采用疊加法(逐差相加法)求其通項公式；3、對于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為也= /()的數(shù)列，并且容易求數(shù)列/()前項積時，通常采用累乘法求 an其通項公式；4、對于遞推關(guān)系式形如a. = pa+夕的數(shù)列，可采用構(gòu)造法求解數(shù)列的通項公式.17.已知S “是等差數(shù)列

27、的前項和，52019 S2O21 B. 4()21 。2021 . “2022D. H = 2019 時，T“ 取得最大值【答案】ABC【分析】根據(jù)題設(shè)條件，得到進而求得。2019 。2022 ( 1 1 、a2019a2020 。2021。20,2，再結(jié)合“裂項法”求得7；=力，結(jié)合4 ()，即可求解.八 4a2 4+4+2 J【詳解】 設(shè)等差數(shù)列凡的公差為d,因為 52019 0 即。2020 ) “2021 0 , 。2020 d 。2021 - d 。，R|J。2019 一2022 。， 所以。2019。2020 “2021 2022 d 0, a20 a2O2O0, a2O2l 0

28、, TOC o 1-5 h z 111111又由么=見見+必+2,可得丁 c =力，% anan+an2 2d (“+4+2 J則 H- ，由d ，而 42% 。304 ， 20192020 “2021。2022 ( “202202023 ,，an+ian+2(1 1 )所以當(dāng) = 2020時，取得最小值.ata2 an+ian+2 )綜上可得，正確的選項為ABC.故選：ABC.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用通項,和S”的關(guān)系式，數(shù)列的“裂項法”求和，以及數(shù)列的單調(diào)性進行求解是解答的關(guān)鍵，著重考行推理與運算能力.18.設(shè)0“(eM)是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，

29、K”是其前項的積，且任K8,則下列選項中成立的()A. 0K5D. &與&均為K”的最大值【答案】ABD 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析選項，綜合即可得答案.【詳解】K解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于8,若心=2，則。7=黃=1,故8正確；A6K.an對于 A,山丘1,則夕=（0, 1）,故A正確；對于C由q（0, 1）,所以是單調(diào)遞減，因為7=1，所以7VLK22則 T2- =。9a8a7& = （%） = （%） 1，則有任代，故 C 錯誤；K5對于。，結(jié)合代心, K肝KK8,可得。正確.故選：ABD.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意等比數(shù)列的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.1

30、9.已知數(shù)列小是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列a/是等比數(shù)列B.若 內(nèi)=2,。7=32,則 5=8C.若0472。3,則數(shù)列3是遞增數(shù)列D.若數(shù)列“）的前和S“ = 3T + r ,則r=-l【答案】AC【分析】在A中，數(shù)列/）是等比數(shù)列；在8中，fl5=8;在C中，若。|2做，則數(shù)列”）是遞增數(shù)列；在C1中，寫出4，/，/，由等比中項可求出【詳解】解：由數(shù)列“”）是等比數(shù)列，設(shè)公比為/知：在A中， 22 2m. = /；獷=42是常數(shù)，.數(shù)歹ija,2是等比數(shù)列，故a正確；可 a4在 8 中，若。3=2, 7=32,則 75=72x32 = 8 故 8 錯誤：在C中，若0420時

31、，可得1 q l,且a,J中各項為正數(shù)，所以a“+i =a（q-l）0,此時數(shù)列”）是遞增數(shù)列；當(dāng)q/，解得070,此時數(shù)列小是遞增數(shù)列，綜上所述，C正確：在D 中,若數(shù)列的前和 S產(chǎn)3一 Ur,則 ai=Si=l+r, ai=Sz - Si=(3+r) - (l+r)=23=53 - 5：=(9+r) - (3-r)=6, W/n s, 3 成等比數(shù)列，a； = afa3, /.4=6(l+/-)解得-1，故c錯誤.3 故選：AC.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想， 是基礎(chǔ)題.20.設(shè)等差數(shù)列斯的前項和為&,且滿足S20i80

32、, S2019V0,則下列說法正確的是()A. Siooq最大B. HiooqI|aioo|C. fltoioOD. S2018+S2019Vo【答案】AB【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)推導(dǎo)出4()09 +4oio 0，4o1o ，即可知正確選項【詳解】VS2OI8O, S2019 Vo. 2018(4 +%。= 1009 (q岫 + 4。0)。，之網(wǎng) 幽)=2019.a1010 0，。1010 0，010 1。1010 I故A, 8都正確，C錯誤：特殊值法:若6009 =5,。|0|()=-1,有S2“8 =1009x4 = 4036,52m9 =-2019即2018 + 52019 0 ,即可

33、排除D選項故選：AB【點睛】本題考查應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷命題真假，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.21.已知等比數(shù)列4的各項均為正數(shù)，公比為夕，且1, % + % 4%+12,記叫的前項積為北，則下列選項中正確的選項是()A. 071C. 7, 1D. 73 1【答案】ABC【分析】等比數(shù)列4的各項均為正數(shù)，且卬1, 4+% 4% + 12,可得(41)(%1)1，a7 1, 0“1, %+% 4%+12，(“6 1)(%1)1，的1，0 7 2 ,:.a6al 1,7|2 =* * *|2 = (067 ) 1，幾=碎1的最大正整數(shù)的值為12 .故選：ABC.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公

34、式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.22.下列關(guān)于等差數(shù)列的命題中正確的有()A.若a、b、c成等差數(shù)列，則“2、/、0?一定成等差數(shù)列B.若a、b、c成等差數(shù)列，則2、2、2,可能成等差數(shù)列C.若a、b、c成等差數(shù)列，則垢+ 2、妨+2、笈+ 2一定成等差數(shù)列D.若a、b、c成等差數(shù)列，則,、1、1可能成等差數(shù)列 a b C【答案】BCD【分析】利用特殊值法可判斷A選項的正誤：取。=人=?？膳袛郆選項的正誤：利用等差數(shù)列的定義可判斷C選項 的正誤：取a=b = cHO可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A,取a = l, h = 2, c = 3,可得=,=4, c2=9,顯然，/

35、、c?不成等差數(shù)列，故A錯；對于B,取a=b = c,可得2 =2 =2，此時，2、2、2成等差數(shù)列，故B正確；對于C, b、c成等差數(shù)列，.a + c = .（g + 2）+（如+2） = %（。+C）+4 = 2幼 + 4 = 2（劭+2）,即ka + 2, kh+2、丘+2成等差數(shù)列，故C正確：對于 D, a = b = cO,則,=_1 = 1,此時，1, 1成等差數(shù)列，故D正確. a b c a b c綜上可知，B、C, D正確.故選：BCD.【點評】本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.23.設(shè),是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù),使得對任意 eN+，均有%+/,則稱4是間隔遞增數(shù)列

36、，上是,的間隔數(shù)，下列說法正確的是（）A.公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列4.1B.已知= + 一,則“是間隔遞增數(shù)列 nC.已知q =2 + （1）”,則q是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2D.已知?！?”2-切+ 2020,若,是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,貝IJ4W5【答案】BCD【分析】根據(jù)間隔遞增數(shù)列的定義求解.【詳解】a*=qqi -qgT =q/，T(T _1),因為4,所以當(dāng)4 0,解得%3,故正確：a“+& a” = 2( +女)+ (-1)-2 + (-1) = 2左 + (-1)-1),當(dāng)為奇數(shù)時，2%(一1)+10,存在。I成立，當(dāng)為偶數(shù)時，2% + (1)*一10

37、,存在我22成立，綜匕勺是 間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2,故正確；D.若4是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,則 an+k an =( + Q 1 + %) +2020(/ 5+ 2020)= 2kn + k -tk 0 , e N, 成立,則上2+(2t)A0,對于223成立，且公+(2。左。，對于 0,對于&N3成立，F(xiàn)L&+(2-f)W0,對于4 2成立所以，一22解得4Wr0,公差存0,則下列命題正確的是()A.若 S5=S9,則必有 Si4=0B.若S5=S9,則必有S7是S,中最大的項C.若 S657,則必有 S7$8D.若 S6S7,則必有 S5$6【答案】ABC【分析】對于A,轉(zhuǎn)化

38、955 = 6+。7+8+9，可得07+。8=0,利用前口項和公式,即可判斷;對于B, 9- 55 = 2(07+08)=0,結(jié)合00,分析即可判斷；對于C,由m=S7-瑞VO, 8=Sg-S7V0,即可判斷；對于C,由7 = 57-560,則必有 S7是 S中最大的項，B 正確；對于 C,若 S6Si,則 ”7=S7-S60,必有 d0,則 Z8=S8-S7S8, C 正確；對于。，若$657,則。7 = $7 - 56S6不一定正確，。錯誤；故選：ABC【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔 題.第II卷（非選擇題）三、填空題2

39、5.記等比數(shù)列的前項和為S.，若S”=2a”-1,則3x2【答案2+2【分析】、 ， 1由S“=2a”1求得4,=2q一|,得出數(shù)列4的通項公式，進而得到1 +的表達式，進而計算可得答 4 +1案.【詳解】 由題意，等比數(shù)列。中， = 2an- ,當(dāng)N2時，S“_=2a“_1-1兩式相減可得：=2an-2an_x,可得a=2a,i，即工= 2（2 2）, an-令 =1,可得 S1=q=2q-1,解得 q=l,所以= 2】，則有1 +2n-+2 c (2n-2+l2n- +1 - (2T+1,2x -2 + 1x2xllI 2+lJL 2-2+1 xx 2x2,+1= 2x2-1+1 2+1

40、x20 + 1 2+1X-X2-2 +12-+13x22+ 2故忤案為：三上 2+226.已知數(shù)列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16 其中第一項是2，接下來的兩項是2，2、再接下來的三項是2，2- 22,依此類推，若該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)累，如S1 =2,邑=21S.=22,則稱S.=2, ZeN, eN中的（，幻為“一對佳數(shù)”，當(dāng)2100時，首次出現(xiàn)的“一對佳數(shù)”是.【答案】（441,29） 【分析】71 -192 .1，一1n2 4-n由- +.+ 1X- = 2n+-2-n，且前組共有 個數(shù)，令 2222100,求得11122心14

41、,根據(jù)題意2田為2的整數(shù)幕，只需將2 消去即可，分類討論，即可求解.【詳解】21 -172 -123 -12 -1由已知得 IxJ + lx- + lx-+. + 1X-1 1 1 17 -1=2xn =2n+-2-n_ , , _ -n(n + l) n2 +n 口,.,n n2 +n 入士一又由1 + 2 + 3 +一 + =，即削n組共有個數(shù),Y + 77令-100，解得N14 (當(dāng) =14時有105個數(shù)),2由題意可知：2出為2的整數(shù)事，只需將一2 一 消去即可，則1 + 2 + (-2 )= ()時，解得 =1,總共有0 + 1)x1+2 = 3項,不滿足N100；2 1 + 2 +

42、 4 + (-2 )= 0 時，解得 =5,總共有0+5)x5+3 = 18 項,不滿足 ？100：21 + 2 + 4 + 8 + (2-)= 0時，解得 =13,總共有電蟲+4 = 95項,2不滿足nN 100； 1 + 2 + 4 +8 +16 + (-2 - ) = 0時，解得 =29；總共有土史+ 5 = 440項,2滿足N100,所以的最小值為441 所以苜次出現(xiàn)的“一對佳數(shù)”是(441,29).故答案為(44L 29).【點睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：I、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在 閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)

43、題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目 的：2,遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”, 逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.27.若數(shù)列%滿足q =1,且對于任意的eN*,都有凡= + 1，則數(shù)列的前項和S* -2【答案】 + 1【分析】由q=l, an+i-an=n + .利用疊加法，求得,求得一=2( |,結(jié)合裂項法求2an n n + lj和，即可求解.【詳解】由4=1,且對于任意的eN*，都有?！?1= + L+ (% 4) +(4 出)+ , + (a“ a”_) = 1 + 2 + 3+一+

44、 =-/i(n +1),12=2 %則一=2|1-Ina, n(n + l)十，。11111所以S = 2萬+萬一+7一而2故答案為：. + 1.已知國表示不超過x的最大整數(shù)，例如：2.3 = 2, 1.5 = -2.在數(shù)列叫中，4=愴川，neN+.記7；為數(shù)列4的前項和，則n021 =.【答案】4956【分析】 先對分類討論，求出每一段的數(shù)列的和，再求豈。2【詳解】當(dāng)1WW9時,an =lgn=0；當(dāng)IOS7499時,a=lgn = l,此區(qū)間所有項的和為90.當(dāng)100WW999時，a“=lg = 2,此區(qū)間所有項的和為900 x2 = 1800.當(dāng) 1000。W2021 時，a=lgn =

45、 3,此區(qū)間所有項的和為 1022x3 = 3066.所以 7i021 =90 + 1800 + 3066 = 4956 .故答案為：4956.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵有兩點，其-是對應(yīng)分類討論，其二是“算每一段內(nèi)的所有項的和，弄準(zhǔn)項數(shù)，不能汁算出 錯.已知數(shù)列q,也滿足4 =1,4 =04，an+，d+i，“eN*，令% =見_d， 則滿足Cn 專的n的最小值為.【答案】10【分析】根據(jù)關(guān)系式，即可判斷數(shù)列c,J為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可求得的最小值.【詳解】, bn+ +an 1 .11 A 211 人由。川一= -+1 =-5鼠+耳。=5（ “+”）+萬凡=3 “一包

46、）乂由q =44=0.9,所以%是首項為0.9,公比為的等比數(shù)列，故c“=S9x擊，則0.9x擊即3-3 21。3,當(dāng) =9時，36 =729103.顯然當(dāng)“210時，3-321（）3成立，所以的最小值為io.故答案為：10.【點睛】數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問題的求解策略：I、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題把要利用數(shù)列的通項公式，前項和公式，求和方法 等對于式了化簡變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為止整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題 時要注意這一特殊性：2、解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、 分析法、放縮法等，若是含

47、參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決.黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)J（s） = Zt=；7 +至+彳+，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和g + + g + 2入手.已知正項數(shù) n=123123nj （ ）j -列的前項和為5，且滿足S=5 an H ,則 + + =（其中x表示不超an /3100 _過x的最大整數(shù)）.【答案】18【分析】結(jié)合題意和和5“的關(guān)系，得到數(shù)列S：是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求得S“ =，又由當(dāng) 1時，得到2（JR-） +2（7石一JI斤），進而求得18S 0 , 川以 4

48、= S = 1,當(dāng)N2時，由 4,=S“一S“_|,所以2s“ =S-S“_|+1 3“所以S“ + S“t=1.即S： S3=l, 一 U I n n-l可得數(shù)列s*是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以S：= .又當(dāng) =1時，S： = l符合上式，所以S；=（eN*）.當(dāng)?shù)?時,因為所以5。，所以S=，4n + J + l 2/n 石 + yln-l G + J +1 G 4n + yJn l所以 2（ J + l - j= 2（阿_加而） + （Vi而-屈）+ + （應(yīng)-1） = 2（疝口1）18,S2（V100-5/99）+ （V99-798）+ - + （V2-l）4-l = 2（V

49、i00-l） + l = 19,即 18vSvl9,從而S = 18.故答案為：18.則k的取值集合31.已知數(shù)列,的前”項和為s，且3s“=64-4，若=l（lW/”Z,ZeN*）,是.【答案】4,5 【分析】 由數(shù)列a ”和5“的關(guān)系，推得? =；，得到數(shù)列4是首項為16、公比為5的等比數(shù)列，進而得到ata5 =1,a2a4 =l,a3 =1,結(jié)合lW/nh 即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列4的前項和為S,且3s.=64一為，當(dāng) =1 時，3c/| = 64 ax,解得 4=16,當(dāng) 2 2 時，35“ =64-an 和 35 =64-a_（,兩式相減得3% = an_,-an,即上；an-

50、 411 1 1則數(shù)列q是首項為16、公比為一的等比數(shù)列，即各項依次為16,41,一,一,一,44 16 64所以 4% = L 出。4 = L。3 =1結(jié)合14加左，得人的取值集合是4,5.故答案為：4,5.【點睛】有關(guān)數(shù)列中勺和5的關(guān)系問題的求解策略：根據(jù)所求結(jié)果不同額要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化；（1）利用a“ = 5-S“t（N2）轉(zhuǎn)化為S”S,i的 關(guān)系，再求解：（2）利用S,-S,i =a“（”N2）轉(zhuǎn)化為a”,aT的關(guān)系，再求解.已知數(shù)列a“滿足4 + 24+ 3%+一叫=2（gN*），設(shè)包=（一1）” （q,+%），數(shù)列4的前 項和為S”，則Sig =.1 , 100【答案

51、】一101【分析】根據(jù)題設(shè)條件，推得?！?2-：，利用仇=（-l）（a“+a“+J,結(jié)合消項法，即可求解.【詳解】因為 4 + 2a2 + 34 h nan = iv ,當(dāng)22時，可得q+ 2a2 + 3/ + + (- 1)%t = (- 1產(chǎn)，1 _ 100loi-ToT故答案為:100Toi四、雙空題.已知等差數(shù)列%的首項為2,等比數(shù)列的公比為2, S.是數(shù)列或的前項和，且a=（、回）%，則 %=_，S5 =一.【答案】862【分析】由已知條件，令 =1可得4，可得H，a“,令 =4可得出，再由等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求 和.【詳解】等差數(shù)列%的首項為2,公差設(shè)為d，等比數(shù)列的公比

52、q為2,由包=（J5），可得瓦=（夜）卬=（V2）2 = 2,則bn = 2,即2=（血-，可得an = 2n,。 2（1-25），一 則“4=8, S. = 62 .1-2故答案為：8, 62.【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.已知 gN*，集合，W，集合所有的非空子集的最小元素之和為北，貝IT3=,使 4 之18。的最小正整數(shù)的值為.【答案】419【分析】先由題意，得到 =；,?,進而可求出其非空;集中最小元素之和；再由題意，求出7； =；, T=:： 令4=今，判定其單調(diào)性，得出當(dāng)時，都有= 專??；,按兀素從小到大的順序，依次寫

53、出含該元素的了集個數(shù)，再求和，得出，解不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】由題曲想=舒部所以其非空子集中最小元素是g的集合有2?個，其非空子集中最小元素是1的集合有2個，3其非空子集中最小元素七的集合有2。個, 所以 7； = 22、,+ 23 + 20* = 4； TOC o 1-5 h z 3284113 7又由題意易得工=上，7=2xA + 2x- = - 224 42n 12n 1 2z?3 2n 1 4h + 6 5 - 22T 2t2”5-2n當(dāng)之3時，an-alt =- - -180,即/2361，所以 219, 2即使7； 180的最小正整數(shù)”的值為19.故答案為：4： 19【點睛】

54、本題主要考查集合的非空子集，考查數(shù)列的求和，涉及一元二次不等式的解法，屬于跨章節(jié)綜合題，是中 檔題. TOC o 1-5 h z ,、3a. 3a,3a , 1 11 n ,35.在數(shù)列a“中，4=3, + + + = l + - + - + - + - + -(ne?/ ),則,cl-t, 乙 3乙442 4對所有 wN*恒成立，則九的取值范圍是.320)【答案】可+81【分析】等式皿2 4變形為 2在已知等式中用一1替換得另一等式(22),兩式相減得叫匕 然后用累乘法求得通項公式?！?，不 +|( + 1)的最大值即可.可有作商法求數(shù)列的最大值.【詳解】3a, 解：由于一3a,1 1 1I.

55、 3a, 3a, 3an .,111n 所以當(dāng)N2時，有L + - + + 曰 = 1 + + + +a2 a3 an 2 3 n - 2,當(dāng) =1時、求得“2 =6，即2 =2也43an 1 1 + 2aM4_. 6n6兩式相減可得U = 7 + 5 = M,即當(dāng)22時，才不符合該遞推關(guān)系，所以?！?% T巳一 an- an-2 a由于M+1(/? + 1)2+ 4 2 4.當(dāng)=4時，C4 =。5，當(dāng)4單320320調(diào)遞減，川r以q Q 。6 故數(shù)列最大項為，即4 2 .81816故答案為：而轉(zhuǎn);3201,+8 .81【點睛】求數(shù)列的本題考查已知遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，累乘法求通項公式，

56、考行數(shù)列不等式恒成立問題, 最大項，綜合性較強，必須熟練掌握每個知識點對應(yīng)的方法，屬于中檔題.36.在數(shù)列,中，S“為它的前項和，已知% = 1, % = 6 ,且數(shù)列q, + n是等比數(shù)列,則an =S“=.【答案】3n -n3+ +1【分析】 設(shè)勿=?！?+ ,由等比數(shù)列的性質(zhì)先求得bn = 3-,進而求得an = 3T -n :再利用分組求和法即可求得S,.【詳解】設(shè)4=%+ ，數(shù)列也的公比為4,則由題意仄=勺+ 2 = 3, & = % +3 = 9,：.q = - = 3, *=且=1, :.b“=如1 = 3T , 4 q/. an=bn-n = 3t 一 n ,Sn =1-1+3

57、-2+323+ 3T = (1 + 3+32+ 3T)(1 + 2+3+ + )_L(1 一 3) (l + ) 3 n2 +n + l-1-32-一 萬3“2 + +1 TOC o 1-5 h z 故答案為：3T，-22【點睛】本題考查了構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項和利用分組求和法求數(shù)列前“項和，考查了計算能力，屬于中檔題.3a “ +5,為奇數(shù)37.已知數(shù)列4的各項均為正整數(shù)，S”為其前項和，對于=1, 2, 3，有%+i =a“，其中2為使%+1為奇數(shù)的正整數(shù)，當(dāng) =5時，%的最小值為;當(dāng)4=1時，S + S? + + S?o =.【答案】5910【分析】由題設(shè)可知當(dāng)為 =5時，/=5解得4 =

58、-5或 =5x2”*,因為4的各項均為正整數(shù)，m,k為5x4-5正整數(shù)，所以當(dāng)=2時，%有最小值4=可二=5.當(dāng)4=1時，可求出生 =8,4 = 1，% =8，得到數(shù)列%是周期為2的周期數(shù)列，可求出結(jié)果.【詳解】數(shù)列4的各項均為正整數(shù)13ali +5, a ”為奇數(shù)+i=S a “/田相 ，其中女為使a“+i為奇數(shù)的正整數(shù).寸,a “為偶數(shù)當(dāng) = 5 時,=/或。3 = 3% + 5 .即5 =果或5 =+ 5，則4 = 5 x 2或出= (舍)所以 叼 =3或 4 =3q + 5 則q=5x2i或4 = 5x：二5,因為4的各項均為止整數(shù)，機次為止整數(shù).顯然當(dāng)& = 2時二 q有最小值4 =

59、 - = 5.當(dāng) q = 1 時，a3 3q 4-5 = 8,QO生 =萬7,其中人為使3為奇數(shù)的正整數(shù)，所以攵=3，a3= =1所以。4 = 3% +5 = 8.OO%=/，其中為使死為奇數(shù)的正整數(shù)，所以左=3，a5= =所以數(shù)列q是周期為2的周期數(shù)列，奇數(shù)項為1,偶數(shù)項為8.S + S2 4f S2Q = 1+(1+8)+(1 x 2+8)+(1 x 2+8x2)+(1 x 10+8 x 10)=910故答案為(1)5(2) 910【點睛】本題考杳數(shù)列的遞推公式的性質(zhì)和應(yīng)用，考查周期數(shù)列求和問題，屬下難題. TOC o 1-5 h z ,、 1111.數(shù)列4中，q=l, a i = a +

60、n + l,則每=； + + + +=. 4 a2 %15【答案】1208【分析】,1, 由遞推公式歸納出通項公式%,用裂項相消法求數(shù)列一的和.【詳解】,* q = 1, +i = a” + +1,/1、1 C( + 1)an = an_x + = an_2 +( - 1) + = . = 1 + 2h-n -,11-H=Fan 1x2 2x3n(n + l)2(1)223 n n+1= 2(T)=2n+ +12x15 15故答案為120；15T【點睛】 本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式，考杳裂項相消法求.解題時由遞推式進行迭代后可得數(shù)列通項形 式，從而由等差數(shù)列前和公式求得凡.67 + 2