高等數(shù)學(xué)第二章-課件(2)

1、高 等 數(shù) 學(xué) 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第四節(jié)隱函數(shù)、冪指函數(shù)以及參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第六節(jié)微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則第二節(jié)極限反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算第三節(jié)第七節(jié)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 引例一1.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度問(wèn)題通常我們所說(shuō)的物體運(yùn)動(dòng)速度是指物體在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度。例如，一輛汽車(chē)從甲地出發(fā)到達(dá)乙地，全程200千米，行駛5小時(shí)，則汽車(chē)的行駛速度是40千米/小時(shí)，這僅是回答了汽車(chē)從甲地到乙地運(yùn)行的平均速度。而事實(shí)上，汽車(chē)的行駛速度有快有慢，如下坡時(shí)快些，上坡時(shí)慢些，即汽車(chē)每時(shí)每刻的速度是變化的。一般來(lái)說(shuō)

2、，平均速度并不能反映汽車(chē)在某一時(shí)刻的瞬間速度。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，僅僅知道物體運(yùn)動(dòng)的平均速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，例如研究子彈的穿透能力，必須知道彈頭接觸目標(biāo)時(shí)的瞬時(shí)速度。知道了物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，怎樣計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度呢？ 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 2.曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 點(diǎn)M0(x0,y0)是曲線(xiàn)y=f(x)上一個(gè)點(diǎn),在點(diǎn)M外另取曲線(xiàn)上一點(diǎn)M(x0+x,y0+y)作割線(xiàn)MM0,如圖2-1所示。圖2-1 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的定義二 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

3、這時(shí),對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)x,函數(shù)都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng),這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),稱(chēng)為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)為導(dǎo)數(shù)。 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義三根據(jù)曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率的求法及導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)表示曲線(xiàn)y=f(x)上點(diǎn)M(x0,f(x0)的切線(xiàn)斜率,如圖2-2所示。圖2-2 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 可導(dǎo)的充要條件四 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 所以f (0)不存在。即函數(shù)在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)。但該函數(shù)在點(diǎn)x=0處是連續(xù)的,如圖2-3所示。圖2-3 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 即函數(shù)在點(diǎn)x=0處不

4、可導(dǎo)。如圖2-4所示。圖2-4第二節(jié) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則前面我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求出了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但是,對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù),直接根據(jù)定義來(lái)求它們的導(dǎo)數(shù)往往很困難,在本節(jié)和下節(jié)中,將介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。借助于這些法則和公式就能方便地求出常見(jiàn)的函數(shù)-初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)一第二節(jié) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則第二節(jié) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則第二節(jié) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二第三節(jié)

5、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)哪些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們已經(jīng)會(huì)求了呢？首先，常數(shù)以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們已經(jīng)會(huì)求了。其次，應(yīng)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則，常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)也會(huì)求了。所以，如果一個(gè)函數(shù)能分解成基本初等函數(shù)，或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商，我們便可求它的導(dǎo)數(shù)。第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 隱函數(shù)、冪指函數(shù)以及參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一以前研究的函數(shù),大多數(shù)可以把函數(shù)y表示成自變量x的函數(shù),即y=f(x),如y=3x+1,y=lnx+sin等,我們把這樣的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù).但在實(shí)際問(wèn)題中,有些函數(shù)y與自變量

6、x的關(guān)系由方程F(x,y)=0所確定,即y與x的關(guān)系隱藏在方程F(x,y)=0之中,這種函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù)，如3xy+1=0,x2+y2=25,exxy+ey=0等。隱函數(shù)的求導(dǎo)方法是：方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo),得到一個(gè)含y的方程式,從中解出y即可。第四節(jié) 隱函數(shù)、冪指函數(shù)以及參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 隱函數(shù)、冪指函數(shù)以及參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二第四節(jié) 隱函數(shù)、冪指函數(shù)以及參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié) 隱函數(shù)、冪指函數(shù)以及參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三第四節(jié) 隱函數(shù)、冪指函數(shù)以及參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五節(jié) 高 階 導(dǎo) 數(shù)我們知道，變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度v(t)是路程函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即v(

7、t)=s(t)，而加速度a(t)=v(t)=s(t)為s(t)的導(dǎo)數(shù)s(t)的導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為s(t)的二階導(dǎo)數(shù)。一般地，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)。第五節(jié) 高 階 導(dǎo) 數(shù) 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)，統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)例2-40 求函數(shù)y=ax+b的二階導(dǎo)數(shù)解 y=a,y=0例2-41 設(shè)y=3x22x+,求y解 y=(3x22x+)=6x2，y=(3x22x+)=(6x2)=6例2-42 設(shè)y=xex,求y解 y=(xex)=ex+xex=(1+x)ex y=(1+x)ex=ex+(1+x)ex=(2+x)ex第五節(jié) 高 階 導(dǎo) 數(shù)第六節(jié) 微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則微

8、分的概念一首先討論這樣一個(gè)問(wèn)題：設(shè)有一個(gè)邊長(zhǎng)為x0的正方形金屬片,受熱后它的邊長(zhǎng)伸長(zhǎng)了x,問(wèn)其面積增加了多少? 這個(gè)問(wèn)題是容易解決的,我們知道正方形的面積S與邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系為S=x2如圖2-5所示。圖2-5第六節(jié) 微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則第六節(jié) 微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則微分的幾何意義二如圖2-6所示,MQ=x=dx,QP=MQtan=f(x0)dx=dy,即dy=QP。由此可知：函數(shù)y=f(x)在x0處的微分dy=f(x0)dx，就是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線(xiàn)MT的縱坐標(biāo)在x0處的增量QP,這就是微分的幾何意義.它是曲線(xiàn) y=f(x)在點(diǎn)x0處的縱坐標(biāo)改變量的近

9、似值,且誤差ydy=PN,當(dāng)x0時(shí),是比x較高階的無(wú)窮小量。第六節(jié) 微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則圖2-6第六節(jié) 微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則這說(shuō)明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.因此導(dǎo)數(shù)也稱(chēng)微商。引入微分以后,已知導(dǎo)數(shù)可以得出微分,反過(guò)來(lái),已知微分也可以得出導(dǎo)數(shù)。求函數(shù)的微分dy,只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x),再乘上dx即可。函數(shù)在x處可導(dǎo)也可說(shuō)成在x處可微。函數(shù)y=f(x)在x處可微的充要條件是函數(shù)y=f(x)在x處可導(dǎo)。第六節(jié) 微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則微分基本公式與四則運(yùn)算法則三1.微分基本公式第六節(jié) 微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則2.微分的四則運(yùn)算法則第六節(jié) 微分的概

10、念、基本公式及運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的微分四定理2-7（復(fù)合函數(shù)的微分法則） 若函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x處可微,函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可微,則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可微,且 dy=f(u)(x)dx由于du=(x)dx,所以上式可寫(xiě)為 dy=f(u)du從上式的形式看,它與y=f(x)的微分dy=f(x)dx形式一樣,其意義是：不管u是自變量還是中間變量,函數(shù)y=f(u)的微分形式總是dy=f(u)du。這一性質(zhì)通常稱(chēng)為一階微分形式的不變性。第六節(jié) 微分的概念、基本公式及運(yùn)算法則第七節(jié) 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用在工程問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式。如果直接用這些公式進(jìn)行計(jì)算,那是很費(fèi)力的

11、。利用微分往往可以把一些復(fù)雜的計(jì)算公式改用簡(jiǎn)單的近似公式來(lái)代替。由微分的定義與幾何意義可知,當(dāng)x很小時(shí),函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的改變量y可用函數(shù)的微分dy來(lái)代替,即ydy,于是,有如下近似計(jì)算公式 yf(x0)x （2-5）第七節(jié) 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用例2-57 一平面圓環(huán)，其內(nèi)半徑為10 cm,外半徑為10.1 cm,求其面積的近似值。解 半徑為r的圓的面積公式為 S=r2顯然,圓環(huán)的面積是函數(shù)S=r2在r=10,r=0.1時(shí)的改變量S,由近似計(jì)算公式（2-5）可得S的近似值為 SdS=(r2)r=2rr=2100.1=2(cm2)第七節(jié) 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第七節(jié) 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用在生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常要測(cè)量各種數(shù)據(jù)。但是有的數(shù)據(jù)不易直接測(cè)量，這時(shí)我們就通過(guò)測(cè)量其他有關(guān)數(shù)據(jù)后，根據(jù)某種公式算出所要的數(shù)據(jù)。例如，要計(jì)算圓鋼的截面積A，可先用卡尺測(cè)量圓鋼截面的直徑D。由于測(cè)量?jī)x器的精度、測(cè)量的條件和測(cè)量的方法等各種因素的影響，測(cè)得的