2022年函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案

1、函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案求函數(shù)定義域、值域方法和典型題歸納一、基礎(chǔ)知識(shí)整合1.函數(shù)的定義： 設(shè)集合 A 和 B 是非空數(shù)集， 按照某一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使得集合 A 中任意一個(gè)數(shù) x,在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x) 與之對(duì)應(yīng)。則稱(chēng) f:為 A 到 B 的一個(gè)函數(shù)。2.由定義可知：確定一個(gè)函數(shù)的主要因素是確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系（f ）, 集合 A的取值范圍。 由這兩個(gè)條件就決定了A。f(x) 的取值范圍 y|y=f(x),x3. 定義域：由于定義域是決定函數(shù)的重要因素，所以必須明白定義域指的 是：（1）自變量放在一起構(gòu)成的集合，成為定義域。（2）數(shù)學(xué)表示：注意一定是用集合表示

2、的范圍才能是定義域，特殊的一個(gè)個(gè)的數(shù)時(shí)用 “ 列舉法” ；一般表示范圍時(shí)用集合的“ 描述法”或“ 區(qū)間”來(lái)表示。4. 值域：是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系（f ）共同作用的結(jié)果，是個(gè)被動(dòng)變量，所以求值域時(shí)一定注意求的是定義域范圍內(nèi)的函數(shù)值的范圍。（1）明白值域是在定義域 A內(nèi)求出函數(shù)值構(gòu)成的集合：y|y=f(x),xA 。（2）明白定義中集合 B 是包括值域，但是值域不一定為集合 B。二、求函數(shù)定義域（一）求函數(shù)定義域的情形和方法總結(jié)1 已知函數(shù)解析式時(shí)：只需要使得函數(shù)表達(dá)式中的所有式子有意義。（1）常見(jiàn)情況簡(jiǎn)總：表達(dá)式中出現(xiàn)分式時(shí)：分母一定滿(mǎn)足不為 0；表達(dá)式中出現(xiàn)根號(hào)時(shí)：開(kāi)奇次方時(shí)，根號(hào)下可以為任意

3、實(shí)數(shù)；開(kāi)偶次方時(shí)，根號(hào)下滿(mǎn)足大于或等于 0（非負(fù)數(shù)）。表達(dá)式中出現(xiàn)指數(shù)時(shí)：當(dāng)指數(shù)為 0 時(shí)，底數(shù)一定不能為 0. 根號(hào)與分式結(jié)合，根號(hào)開(kāi)偶次方在分母上時(shí)：根號(hào)下大于 0. 表達(dá)式中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)形式時(shí)：底數(shù)和指數(shù)都含有 x，必須滿(mǎn)足指數(shù)底數(shù)大于 0 且不等于 1. （0底數(shù) 1）表達(dá)式中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)形式時(shí)：自變量只出現(xiàn)在真數(shù)上時(shí)，只需滿(mǎn)足真數(shù)上所有式子大于 0，且式子本身有意義即可；自變量同時(shí)出現(xiàn)在底數(shù)和真 數(shù) 上 時(shí) ， 要 同 時(shí) 滿(mǎn) 足 真 數(shù) 大 于 0， 底 數(shù) 要 大 于 0 且 不 等 于 1.2（f x ( ) log ( x 1)）注：（1）出現(xiàn)任何情形都是要注意，讓所有的式子

4、同時(shí)有意義，及最后求的是所有式子解集的 交集 。1 / 10 函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案（2）求定義域時(shí)， 盡量不要對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形，以免發(fā)生變化。 ( 形如：f(x)x2) x練習(xí) 1、求下列函數(shù)的定義域：yx22x15x6x331、（ 1） x x5 或x3 或y1(x x1 )12（2） x x042 xy1111(2x0 1)x1,x1（3）x| 2x2 且x0,x22. 抽象函數(shù)（沒(méi)有解析式的函數(shù)）解題的方法精髓是“ 換元法”，根據(jù)換元的思想，我們進(jìn)行將括號(hào)為整 體的換元思路解題，所以關(guān)鍵在于求括號(hào)整體的取值范圍?？偨Y(jié)為：（1）給出了定義域就是給出了所給式子中 x

5、的取值范圍；2 / 10 函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案（2）在同一個(gè)題中 x 不是同一個(gè) x；（3）只要對(duì)應(yīng)關(guān)系 f 不變，括號(hào)的取值范圍不變。（4）求抽象函數(shù)的定義域個(gè)關(guān)鍵在于求 圍。f(x) 的取值范圍，及括號(hào)的取值范例 1：已知 f(x+1) 的定義域?yàn)?-1,1，求 f （2x-1 ）的定義域。解： f(x+1) 的定義域?yàn)?-1,1；（及其中 x 的取值范圍是 -1,1） 0 x 1 2；（x+1 的取值范圍就是括號(hào)的取值范圍）f(x) 的定義域?yàn)?0,2；（f 不變，括號(hào)的取值范圍不變）f(2x-1)中02 x121x322f(2x-1)的定義域?yàn)閤|1x322練習(xí)2、

6、設(shè)函數(shù)f x ( )f的定義域?yàn)?0 1， ，則函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)?_、 1,1；_；函數(shù)(x2)的定義域?yàn)?_4,9 _；3、若函數(shù)f x1)的定義域?yàn)? 3，則函數(shù)f(2x1)的定義域是0,5 2;1U 1,)。；函數(shù)f(12)的定義域?yàn)閤(,323. 復(fù)合函數(shù)定義域復(fù)合函數(shù)形如：yf( ( ), 理解復(fù)合函數(shù)就是可以看作由幾個(gè)我們熟悉的函數(shù)組成的函數(shù)，或是可以看作幾個(gè)函數(shù)組成一個(gè)新的函數(shù)形式。3 / 10 函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案例 2：若函數(shù) f x ( ) 的定義域?yàn)?( 2,3), g x ( ) f x 1) f x 2),求g(x) 的定義域。分析：由題目

7、可以看出 g(x) 是由 y=x+1、y=x-2 和 y=f(x) 三個(gè)函數(shù)復(fù)合起來(lái)的新函數(shù)。此時(shí)做加運(yùn)算，所以只要求出 f(x+1) 和 f(x-2) 的定義域，再根據(jù)求函數(shù)定義域要所有式子同時(shí)滿(mǎn)足，即只要求出 f(x+1) 和 f(x-2) 的定義域的交集即可。解： 由 f(x)的定義域?yàn)椋?-2,3 ），則的定義域?yàn)椋?0,4 ）； f(x+1)的定義域?yàn)椋?-3,2 ），f(x-2)3x2，解得 0 x2 0 x4所以， g(x) 的定義域?yàn)椋?0,2 ）. （一）求函數(shù)值域方法和情形總結(jié)1. 直接觀察法（利用函數(shù)圖象）一般用于給出圖象或是常見(jiàn)的函數(shù)的情形，根據(jù)圖象來(lái)看出y 值的取值范

8、圍。練習(xí)（1）yx22x3x1,2求值域。y0,52. 配方法適用于二次函數(shù)型或是可以化解成二次函數(shù)型的函數(shù)，此時(shí)注意對(duì)稱(chēng)軸的位置，在定義域范圍內(nèi)（以a0 為例），此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸的地方為最大值，定義域?yàn)閮?nèi)端點(diǎn)離對(duì)稱(chēng)軸最遠(yuǎn)的端點(diǎn)處有最小值；對(duì)稱(chēng)軸在定義域的兩邊則根據(jù)單調(diào)性來(lái)求值域?？偨Y(jié)為三個(gè)要點(diǎn)：（1）含參數(shù)的二次型函數(shù)，首先判斷是否為二次型， 即討論 a；（2）a 不為 0 時(shí)，討論開(kāi)口方向；（3）注意區(qū)間，即討論對(duì)稱(chēng)軸。例 1：求f x ( )x24x6在1,5上的值域 .4 / 10 函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案解：配方：f x ( ) ( x 2) 22 f(x) 的對(duì)稱(chēng)軸為 x

9、=2 在 1,5 中間y min f (2) 2（端點(diǎn) 5 離 x=2 距離較遠(yuǎn)，此時(shí)為最大值）ymaxf(5)11所以， f(x) 的值域?yàn)?2,11. 練習(xí)（2）yx22x3(xR )求值域。y|y43. 分式型（1）分離常量法：應(yīng)用于分式型的函數(shù)，并且是自變量 x 的次數(shù)為 1，或是可以看作整體為 1 的函數(shù)。 具體操作： 先將分母搬到分子的位子上去，觀察與原分子的區(qū)別，不夠什么就給什么，化為 y a d。bx c例 2：求 f ( ) 5 x 1 的值域 .4 x 2解：f x ( ) 5 x 1 54 (4 x 2) 1 104 5 74 x 2 4 x 2 4 2(4 x 2)由于

10、分母不可能為 0，則意思就是函數(shù)值不可能取到 5，4即：函數(shù) f(x) 的值域?yàn)?y | y 5 . 4練習(xí)y3 x1求值域x15 / 10 函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案（3） y y3（2）利用x20來(lái)求函數(shù)值域：適用于函數(shù)表達(dá)式為分式形式，并且只2出現(xiàn) x 形式，此時(shí)由于為平方形式大多時(shí)候 x 可以取到任意實(shí)數(shù)，顯然用分離常量法是行不通，只有另想它法（有界變量法）。2例 3：求函數(shù) f x ( ) 3 x2 1 的值域 . x 22解： 由于 x 2 不等于 0，可將原式化為2 2yx 2 y 3 x 1即 ( y 3) x 21 2 y （由于 x 20）只需 y 3 , 則

11、有x 2 1 2 y 0 ( y 3) ( 1 2 ) 0y 3所以，函數(shù)值域 y 1 ,3 . 2練習(xí)（4）y5x29x4求值域x216 / 10 函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案y y5 且y1 2適用于分式形式， 其中既出現(xiàn)變量x 又出現(xiàn)x2（3）方程根的判別式法：混合，此時(shí)不能化為分離常量，也不能利用上述方法。對(duì)于其中定義域?yàn)?R的情形，可以使用根的判別式法。例 4：求函數(shù)yx2x1的值域x2102解：由于函數(shù)的定義域?yàn)镽，即原式可化為yx22xy0（由于 x 可以取到任意的實(shí)數(shù)，那么也就說(shuō)總有一個(gè)x 會(huì)使得上述方程有實(shí)數(shù)根，即方程有根那么判別式大于或等于 0，注：這里只考慮有

12、無(wú)根，并不考慮根為多少）所以，44y20所以，函數(shù)值域?yàn)?,1y練習(xí)：求值域（5）y112x7 / 10 函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案4. 換元法通過(guò)換元將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化更便于求函數(shù)值域，一般函數(shù)特征是函數(shù)解析式中含有根號(hào)形式，以及可將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為我們熟悉的函數(shù)形式等問(wèn)題。而換元法其主要是讓我們明白一種動(dòng)態(tài)的方法來(lái)學(xué)習(xí)的一種思路，注重?fù)Q元思維的培養(yǎng)，并不是專(zhuān)一的去解答某類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)該多加平時(shí)練習(xí)。注：換元的時(shí)候應(yīng)及時(shí)確定換元后的元的取值范圍。例 5：求函數(shù)f x ( )2xxt1的值域解：令tx1,t0,則xt21，帶入原函數(shù)解析式中得y2(t21)t2t222(t1)21548

13、因?yàn)?，t0所以，函數(shù)的值域?yàn)閥15 , 8. 練習(xí)：求 值域（6）yx12xy y1 28 / 10 函數(shù)定義域與值域經(jīng)典類(lèi)型總結(jié)練習(xí)題含答案一選擇題（共 10 小題）1（ 2007?河?xùn)|區(qū)一模）若函數(shù) f（x）= 的定義域?yàn)?A ，函數(shù)g（x）= 的定義域?yàn)?B，則使 AB= ?的實(shí)數(shù) a的取值范圍是 （）A （ 1，3）B 1，3 C（ 2，4）D 2， 4 2若函數(shù) f（x）的定義域是 1，1，則函數(shù) f（ x+1）的定義域是（）A 1， 1 B0，2 C 2，0 D 0，13（ 2010?重慶）函數(shù) 的值域是（）A 0，+）B0，4 C0，4）D（0，4）4（ 2009?河?xùn)|區(qū)二模）函數(shù) 的值域是（）A （0，+）BC（0， 2）D（0，）5已知函數(shù) y=x2+4x+5 ，x 3，3）時(shí)的值域?yàn)椋ǎ〢 （2，26）B1，26）C（1， 26）D（1，266函數(shù) y= 在區(qū)間 3，4上的值域是（）A 1，2 B3，4 C2，3 D 1，67函數(shù) f（x）=2+3x2 x3 在區(qū)間 2，2上的值域?yàn)椋ǎ〢 2，22 B6，22 C0，20 D 6，248函數(shù) 的值域是（）A y|yR 且 y1 B y| 4y1 Cy|y