經(jīng)典高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)和例題理科學(xué)生用

1、.PAGE 1高考立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)整體知識(shí)框架：一 、空間幾何體一 空間幾何體的類型1 多面體：由假設(shè)干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。2 旋轉(zhuǎn)體：把一個(gè)平面圖形繞它所在的平面的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。二 幾種空間幾何體的構(gòu)造特征 1 、棱柱的構(gòu)造特征1.1 棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。圖1-1 棱柱 1.2 棱柱的分類棱柱底面是四邊形四棱柱底面是平行四邊形平行六面

2、體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面是矩形長(zhǎng)方體底面是正方形正四棱柱棱長(zhǎng)都相等正方體性質(zhì)：、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等； 、兩底面是全等多邊形且互相平行；、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面積和體積公式是底周長(zhǎng)，是高S直棱柱外表 = ch+ 2S底V棱柱 = S底h2 、棱錐的構(gòu)造特征 2.1 棱錐的定義1 棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。2正棱錐：如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 2.2 正棱錐的構(gòu)造特征、 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于

3、頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；、 正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；ABCDPOH正棱錐側(cè)面積：為底周長(zhǎng)，為斜高體積：為底面積，為高正四面體：對(duì)于棱長(zhǎng)為正四面體的問(wèn)題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體問(wèn)題。 對(duì)棱間的距離為正方體的邊長(zhǎng)正四面體的高正四面體的體積為正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為 正四面體的外接球半徑為，外接球半徑為，外接球半徑3 、棱臺(tái)的構(gòu)造特征3.1 棱臺(tái)的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的局部稱為棱臺(tái)。

4、3.2 正棱臺(tái)的構(gòu)造特征1各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；2正棱臺(tái)的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多邊形；3正棱臺(tái)的對(duì)角面也是等腰梯形；4各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)。4、圓柱的構(gòu)造特征4.1 圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。4.2 圓柱的性質(zhì)1上、下底及平行于底面的截面都是等圓；2過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的矩形。4.3 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是以底面周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)為鄰邊的矩形。4.4 圓柱的面積和體積公式 S圓柱側(cè)面 = 2rh (r為底面半徑，h為圓柱的高) S圓柱全 = 2rh + 2r2 V圓柱 = S底h = r

5、2h5、圓錐的構(gòu)造特征5.1 圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。5.2 圓錐的構(gòu)造特征1 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；圖1-5 圓錐2軸截面是等腰三角形；3母線的平方等于底面半徑與高的平方和： l2 = r2 + h2 5.3 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線長(zhǎng)為半徑的扇形。6、圓臺(tái)的構(gòu)造特征 6.1 圓臺(tái)的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的局部稱為圓臺(tái)。 6.2 圓臺(tái)的構(gòu)造特征 圓臺(tái)的上下底面和平行于底面的截面都是

6、圓； 圓臺(tái)的截面是等腰梯形； 圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐，然后利用相似三角形進(jìn)展研究。 6.3 圓臺(tái)的面積和體積公式 S圓臺(tái)側(cè) = (R+r)l (r、R為上下底面半徑) S圓臺(tái)全 = r2+R2+(R+r)l V圓臺(tái) = 1/3 (r2 + R2 + rR)h (h為圓臺(tái)的高)7 球的構(gòu)造特征 7.1 球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體?？臻g中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。 7-2 球的構(gòu)造特征 球心與截面圓心的連線垂直于截面； 截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2 = R2 d2*7-3 球與其他多面體的組合

7、體的問(wèn)題 球體與其他多面體組合，包括接和外切兩種類型，解決此類問(wèn)題的根本思路是： 根據(jù)題意，確定是接還是外切，畫(huà)出立體圖形； 找出多面體與球體連接的地方，找出對(duì)球的適宜的切割面，然后做出剖面圖； 將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問(wèn)題； 注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球接正方體，球直徑等于正方體對(duì)角線； 球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長(zhǎng)。7-4 球的面積和體積公式 S球面 = 4 R2 (R為球半徑) V球 = 4/3 R3練習(xí)：1將直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周, 形成的幾何體一定是 A圓錐 B圓柱 C圓臺(tái) D上均不正確2用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是四邊形，這個(gè)幾何體可能是 A圓

8、錐 B圓柱 C 球體 D 以上都可能3下左一圖是一個(gè)物體的三視圖,根據(jù)圖中尺寸單位：cm,計(jì)算它的體積為cm3. 二、典型例題分析例1：幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖如上左二圖,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是5cm、4cm、3cm，一只螞蟻從到點(diǎn)，沿著外表爬行的最短距離是多少練習(xí)：1如上右二圖, 四面體P-ABC中, PA=PB=PC=2, APB=BPC=APC=300. 一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿四面體的外表繞一周, 再回到A點(diǎn), 問(wèn)螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是_練習(xí).1一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖均是邊長(zhǎng)為2的正三角形,俯視圖是直徑為2的圓,則此幾何體的外接球的外表積為ABCD三空間幾何體的外表積與體積空間幾何體的外表積

9、棱柱、棱錐的外表積：各個(gè)面面積之和圓柱的外表積 ： 圓錐的外表積：圓臺(tái)的外表積： 球的外表積：扇形的面積公式其中表示弧長(zhǎng)，表示半徑，表示弧度空間幾何體的體積柱體的體積 ： 錐體的體積 ：臺(tái)體的體積 ： 球體的體積：四空間幾何體的三視圖和直觀圖 正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。 側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。 俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。*畫(huà)三視圖的原則：主視圖反映了物體的上、下和左、右位置關(guān)系；俯視圖反映了物體的前、后和左、右位置關(guān)系；側(cè)視圖反映了物體的上、下和前、后位置關(guān)系。三個(gè)視圖之間的投影關(guān)系為：正俯長(zhǎng)相等、正側(cè)高一

10、樣、俯側(cè)寬一樣注：球的三視圖都是圓；長(zhǎng)方體的三視圖都是矩形直觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)水平放置的平面圖形的根本步驟(1)建立直角坐標(biāo)系，在水平放置的平面圖形中取互相垂直的O*，Oy，建立直角坐標(biāo)系；(2)畫(huà)出斜坐標(biāo)系，在畫(huà)直觀圖的紙上(平面上)畫(huà)出對(duì)應(yīng)的O*，Oy，使*Oy45(或135)，它們確定的平面表示水平平面；(3)畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形，在圖形中平行于*軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于*軸，且長(zhǎng)度保持不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于y軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；(4)擦去輔助線，圖畫(huà)好后，要擦去*軸、y軸及為畫(huà)圖添加的輔助線(虛線)原視圖與直觀圖的關(guān)系：例1、將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的

11、幾何體如下列圖，則該幾何體的側(cè)視圖為 ()解析：如下列圖，點(diǎn)D1的投影為點(diǎn)C1，點(diǎn)D的投影為點(diǎn)C，點(diǎn)A的投影為點(diǎn)B.答案：D練習(xí)：1如下列圖為*一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是 2判斷：水平放置的正方形的直觀圖可能是等腰梯形兩條相交的線段的直觀圖可能是平行線段兩條互相垂直的直線的直觀圖仍然垂直平行四邊形的直觀圖仍為平行四邊形長(zhǎng)度相等的兩線段直觀圖仍然相等3三角形是邊長(zhǎng)為正三角形，求其直觀圖三角形的面積4如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，求原圖形的周長(zhǎng)和面積 (5)如上右圖，用斜二測(cè)畫(huà)法作ABC水平放置的直觀圖形得A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1

12、C1邊上的中線，由圖形可知在ABC中，以下四個(gè)結(jié)論中正確的選項(xiàng)是 AAB=BC=AC B ADBC C ACADABBC D ACADAB=BC空間幾何體三視圖重點(diǎn)例 1如下列圖，*幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為 ()A6eq r(3) B9eq r(3)C12eq r(3) D18eq r(3)解析：由三視圖可復(fù)原幾何體的直觀圖如下列圖此幾何體可通過(guò)分割和補(bǔ)形的方法拼湊成一個(gè)長(zhǎng)和寬均為3，高為eq r(3)的長(zhǎng)方體，所求體積V33eq r(3)9eq r(3).答案：B2一個(gè)空間幾何體的三視圖如下列圖，則該幾何體的外表積為()A48 B328eq r(

13、17)C488eq r(17) D80(3)*幾何體的三視圖如下列圖，則該幾何體的體積為()Aeq f(9,2)12 Beq f(9,2)18C942 D3618【答案】1C(2)B【解析】 (1)由三視圖可知此題所給的是一個(gè)底面為等腰梯形的放倒的直四棱柱(如下列圖)，所以該直四棱柱的外表積為S2eq f(1,2)(24)444242eq r(116)4488eq r(17).由三視圖可得這個(gè)幾何體是由上面是一個(gè)直徑為3的球，下面是一個(gè)長(zhǎng)、寬都為3、高為2的長(zhǎng)方體所構(gòu)成的幾何體，則其體積為：VV1V2eq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)3332eq f(9,

14、2)18，應(yīng)選B.【2021高考真題理7】*三棱錐的三視圖如下列圖，該三梭錐的外表積是A. 28+6B. 30+6 C. 56+ 12D. 60+12【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如下列圖，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度，黑色數(shù)字代表通過(guò)勾股定理的計(jì)算得到的邊長(zhǎng)。此題所求外表積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，因此該幾何體外表積，應(yīng)選B。例題： 1. 一空間幾何體的三視圖如下右圖所示,則該幾何體的體積為( ).A. B. C. D.2、上中圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的外表積是A.9 B.

15、10 C.11D123、 假設(shè)一個(gè)正三棱柱的體積為，其三視圖如上左圖所示，則這個(gè)正三棱柱的側(cè)視圖的面積為_(kāi)。4.【2021高考真題理6】*幾何體的三視圖如下列圖，它的體積為 CA12 B.45 C.57 D.81二、典型例題考點(diǎn)一：三視圖2 2 側(cè)(左)視圖 2 2 2 正(主)視圖 1一空間幾何體的三視圖如圖1所示,則該幾何體的體積為_(kāi).俯視圖 第1題2.假設(shè)*空間幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的體積是_.第2題 第3題3一個(gè)幾何體的三視圖如圖3所示，則這個(gè)幾何體的體積為.4假設(shè)*幾何體的三視圖單位：cm如圖4所示，則此幾何體的體積是.3正視圖俯視圖112左視圖a第4題 第5題5如圖5

16、是一個(gè)幾何體的三視圖，假設(shè)它的體積是，則.6*個(gè)幾何體的三視圖如圖6，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸單位：cm，可得這個(gè)幾何體的體積是.2020正視圖20側(cè)視圖101020俯視圖 第6題 第7題7.假設(shè)*幾何體的三視圖單位：如下列圖，則此幾何體的體積是8.設(shè)*幾何體的三視圖如圖8尺寸的長(zhǎng)度單位為m，則該幾何體的體積為_(kāi)m3。 俯視圖 正(主)視圖 側(cè)(左)視圖2322第7題 第8題9一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)圓，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積為_(kāi).10.一個(gè)三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖及其尺寸如圖10所示單位cm，則該三棱柱的外表積為_(kāi).俯視圖正視圖圖10

17、11. 如圖11所示，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，則這個(gè)幾何體的全面積為_(kāi).圖圖11 圖12 圖1312. 如圖12，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，俯視圖是一個(gè)圓，則幾何體的側(cè)面積為_(kāi).13.*幾何體的俯視圖是如圖13所示的邊長(zhǎng)為的正方形，主視圖與左視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，則其外表積是_.14.如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖14所示(單位長(zhǎng)度:),則此幾何體的外表積是_.圖1415一個(gè)棱錐的三視圖如圖圖9-3-7，則該棱錐的全面積單位：_. 正視圖 左視圖 俯視圖圖1二 、點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系一、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：公理4線

18、線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直三垂線逆定理三垂線定理1.平面的根本性質(zhì)公理1假設(shè)一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面，則這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面.公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.公理3經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.2.等角定理及其推論定理 假設(shè)一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向一樣，則這兩個(gè)角相等. 推論 假設(shè)兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則

19、這兩組直線所成的角相等.2.空間線面的位置關(guān)系共面平行沒(méi)有公共點(diǎn)(1)直線與直線相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)異面(既不平行，又不相交)直線在平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線和平面直線不在平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)(直線在平面外)相交有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平面 相交有一條公共直線(無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn))平行沒(méi)有公共點(diǎn)唯一性定理：1過(guò)點(diǎn)，有且只能作一直線和平面垂直。2過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和平面平行。3過(guò)兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。1、線線平行的判斷方法： 1.中位線、證明平行四邊形、相似邊互相平行初中的方法、錯(cuò)角同位角相等、平行公理等 2.線面平行的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)3.線面垂直的性

20、質(zhì)：垂直于同一平面的兩直線平行。4.向量法，證明2、線線垂直的判斷：1.勾股定理2.正方形、菱形、圓等特點(diǎn)3.等腰、等邊三角形的中線4.線面垂直和面面垂直的轉(zhuǎn)化補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。3、線面平行的判斷： 如果平面外的一條直線和平面的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行。符號(hào)表示：4.線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，則這條直線和交線平行。5、面面平行的判斷： 一個(gè)平面的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。注：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行5、面面平行的性質(zhì)：性質(zhì)定理：1.如果兩個(gè)平行平面同

21、時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行。 2.兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面的直線必平行于另一個(gè)平面。*判斷或證明線面平行的方法 利用定義(反證法)：，則 (用于判斷)； 利用判定定理：線線平行線面平行 (用于證明)； 利用平面的平行：面面平行線面平行 (用于證明)； 利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷)。2 線面斜交和線面角：=A2.1 直線與平面所成的角(簡(jiǎn)稱線面角)：假設(shè)直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面射影的夾角。圖2-3 線面角 2.2 線面角的圍：0，90注意：當(dāng)直線在平面或者直線平行于平面時(shí)，=0；當(dāng)直線垂直于平面時(shí)，=904、線面垂直的判斷： 判定定理如果一直線和

22、平面的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。5.線面垂直性質(zhì)：1假設(shè)直線垂直于平面，則它垂直于平面任意一條直線。即： 2垂直于同一平面的兩直線平行。 即： 推論：6、面面垂直的判斷： 一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。判定定理：6、面面垂直的性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，則在個(gè)平面垂直于交線的直線必垂直于另個(gè)平面。圖2-10 面面垂直性質(zhì)2定義法：假設(shè)兩面垂直，則這兩個(gè)平面的二面角的平面角為90；*判斷或證明線面垂直的方法 利用定義，用反證法證明。 利用判定定理證明。 一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。 一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則也垂直于另

23、一個(gè)。 如果兩平面垂直，在一平面有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。*1.5 三垂線定理及其逆定理圖2-7 斜線定理 斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的所有線段中， 斜線相等則射影相等，斜線越長(zhǎng)則射影越長(zhǎng)，垂線段最短。 如圖： 三垂線定理及其逆定理 PO，斜線PA在平面的射影為OA，a是平面的一條直線。 三垂線定理：假設(shè)aOA，則aPA。即垂直射影則垂直斜線。 三垂線定理逆定理：假設(shè)aPA，則aOA。即垂直斜線則垂直射影。圖2-8 三垂線定理 三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用 證明異面直線垂直； 作出和證明二面角的平面角； 作點(diǎn)到線的垂線段。二、其他定理：1確定平面的條件：不共

24、線的三點(diǎn)；直線和直線外一點(diǎn)；相交直線或平行直線； 5最小角定理：斜線與平面所有直線所成的角中最小的是與它在平面射影所成的角。6異面直線的判定：反證法；過(guò)平面外一點(diǎn)與平面一點(diǎn)的直線，和平面不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。7過(guò)點(diǎn)與一條直線垂直的直線都在過(guò)這點(diǎn)與這條直線垂直平面。8如果直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線平行于兩個(gè)平面的交線?？键c(diǎn)六 線面、面面關(guān)系判斷題1直線l、m、平面、，且l，m，給出以下四個(gè)命題：1，則lm2假設(shè)lm，則3假設(shè)，則lm4假設(shè)lm，則其中正確的選項(xiàng)是_.2.是空間兩條不同直線，是空間兩條不同平面，下面有四個(gè)命題：其中真命題的編號(hào)是_寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)。5. 關(guān)于直線m、

25、n與平面與，有以下四個(gè)命題：假設(shè)且，則；假設(shè)且，則；假設(shè)且，則；假設(shè)且，則；其中真命題的序號(hào)是_.練習(xí)1.判斷下面命題的正確的選項(xiàng)是 平行于同一直線的兩平面平行. 垂直于同一平面的兩直線平行. 平行于同一平面的兩直線平行. 垂直于同一直線的兩平面平行. 平行于同一平面的兩平面平行. 垂直于同一平面的兩平面平行.2空間不重合的三平面可以把空間分成局部,正方體六個(gè)面所在平面把空間分成局部.3假設(shè)是異面直線, b, c是異面直線, 則a ,c的位置關(guān)系是 ) A.相交,平行或異面 B.相交或平行 C.異面 D.平行或異面4設(shè)b,c表示兩條直線,表示兩個(gè)平面,以下命題中正確的選項(xiàng)是A假設(shè)b,c,則bc

26、B假設(shè)b,bc,則cC假設(shè)cc,則 D假設(shè)c則c5設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,以下命題正確的選項(xiàng)是 )A,假設(shè),則 B,假設(shè)則C,假設(shè),則 D,假設(shè)則6設(shè)是兩條直線,是兩個(gè)平面,則能推出的一個(gè)條件是 ( )A. B.9為兩條不同的直線,為兩個(gè)不同的平面,則以下命題中正確的選項(xiàng)是 )10兩條直線,兩個(gè)平面,給出下面四個(gè)命題：其中正確命題的序號(hào)是 ) ABCD11設(shè)有直線和平面.以下四個(gè)命題中,正確的選項(xiàng)是( )A.假設(shè)m,n,則mn B.假設(shè)m,n,m,n,則C.假設(shè),m,則m D.假設(shè),m,m,則m12設(shè)是兩個(gè)不同的平面,是一條直線,以下命題正確的選項(xiàng)是 )A假設(shè)則 B假設(shè),則C假設(shè)

27、,則 D假設(shè),則13直線和平面,下述推理中正確的有 .14如下左圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中， = 1 * GB3 BM與ED平行； = 2 * GB3 與BE是異面直線； = 3 * GB3 與BM成角； = 4 * GB3 DM與BN垂直；以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是 = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 = 2 * GB3 = 4 * GB3 = 3 * GB3 = 4 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 = 4 * GB3 練習(xí)：下左二圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，在原正方體中，有以下命題：AB與EF所在直線平行；AB與CD所在直線異面；M

28、N與BF所在直線成60；MN與CD所在直線垂直；其中正確命題的序號(hào)是_.考點(diǎn)四 平行與垂直的證明1. 正方體，E為棱的中點(diǎn)() 求證：；() 求證：平面；求三棱錐的體積2.正方體，是底對(duì)角線的交點(diǎn).求證：()C1O面；(2)面3如圖，矩形所在平面，、分別是和的中點(diǎn).求證：平面；求證：；假設(shè)，求證：平面.AFEBCDMN4如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點(diǎn)，N為AE的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=AD(I) 證明平面AMD平面CDE；(II) 證明平面CDE；PDABCOM 5在四棱錐PABCD中,側(cè)面PCD是正三角形,且與底面ABCD

29、垂直,菱形ABCD中ADC60,M是PA的中點(diǎn)，O是DC中點(diǎn).1求證：OM / 平面PCB；2求證:PACD；3求證:平面PAB平面.7如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F.1證明PA/平面EDB；2證明PB平面EFD異面直線所成的角，線面角，二面角的求法*1求異面直線所成的角：1.定義法：解題步驟：一找作：利用平移法找出異面直線所成的角；1可固定一條直線平移另一條與其相交；2可將兩條一面直線同時(shí)平移至*一特殊位置。常用中位線平移法 二證：證明所找作的角就是異面直線所成的角或其補(bǔ)角。常需要證明線線平行；三計(jì)算

30、：通過(guò)解三角形，求出異面直線所成的角； 2向量法求異面直線所成的角：假設(shè)異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為，則cos|cosa，b|eq f(|ab|,|a|b|).2求直線與平面所成的角：關(guān)鍵找“兩足：垂足與斜足1.定義法：解題步驟：一找：找作出斜線與其在平面的射影的夾角注意三垂線定理的應(yīng)用；二證：證明所找作的角就是直線與平面所成的角或其補(bǔ)角常需證明線面垂直；三計(jì)算：常通過(guò)解直角三角形，求出線面角。2.向量法：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為，則sin|cosn，a|eq f(|na|,|n|a|).3求二面角的平面角解題步驟：一找：根據(jù)二面角的平

31、面角的定義，找作出二面角的平面角； 二證：證明所找作的平面角就是二面角的平面角常用定義法，三垂線法，垂面法； 三計(jì)算：通過(guò)解三角形，求出二面角的平面角。2.向量法求二面角：求出二面角l的兩個(gè)半平面與的法向量n1，n2，假設(shè)二面角l所成的角為銳角，則cos|cosn1，n2|eq f(|n1n2|,|n1|n2|)；假設(shè)二面角l所成的角為鈍角，則cos|cosn1，n2|eq f(|n1n2|,|n1|n2|).五、距離的求法：1點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)、點(diǎn)與線、面間的距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長(zhǎng)。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計(jì)算。注意：求點(diǎn)到面的距

32、離的方法：直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長(zhǎng)垂線段一般在二面角所在的平面上；轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離利用線面平行的性質(zhì)；體積法：利用三棱錐體積公式。2線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：定義法，關(guān)鍵是確定出的公垂線段；轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為與過(guò)而平行于的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個(gè)平面；轉(zhuǎn)化為面面距離；3線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點(diǎn)線間距離常常相互轉(zhuǎn)化； 例題：如下列圖,正四棱錐SABCD側(cè)棱長(zhǎng)為,底面邊長(zhǎng)為,E是SA的中點(diǎn),則異面直線BE與SC所成角的大小為A90 B60 C45D302正方體中,異面直線和所成的角的度數(shù)是_.如圖7，在正方體中

33、，分別是，中點(diǎn)，求異面直線與所成角的角_.考點(diǎn)二 體積、距離、角等問(wèn)題1正棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都縮小原來(lái)的，則它的體積是原來(lái)的_.2圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面周長(zhǎng)為6，則它的體積是 .3. 如圖8所示，正四棱錐SABCD側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成角的大小為_(kāi). 第3題4. 如圖9-1-4，在空間四邊形中，,分別是AB、CD的中點(diǎn)，則 與所成角的大小為_(kāi).5如上右三圖在正三棱柱中，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi).6 如圖9-3-6，在正方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為_(kāi).A1CBAB1C1D1DO 圖9-3-6 圖9-3-

34、1 圖77如圖9-3-1，為等腰直角三角形,為空間一點(diǎn)，且，的中點(diǎn)為，則與平面所成的角為8如圖7，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面AB C1D1的距離為_(kāi).9.一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個(gè)平面的距離是4cm，則該球的體積是_.10長(zhǎng)方體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且AB=2，AD=，則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是_.11.點(diǎn)在同一個(gè)球面上，假設(shè)，則兩點(diǎn)間的球面距離是.12. 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，則直線OP與直線AM所成的角是_.13ABC的頂點(diǎn)B在

35、平面a， A、C在a的同一側(cè)，AB、BC與a所成的角分別是30和45，假設(shè)AB=3，BC= ，AC=5，則AC與a所成的角為_(kāi).14矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為_(kāi).15正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi).16. 一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的外表積為_(kāi).考點(diǎn)五 異面直線所成的角，線面角，二面角證明1.如圖,四棱錐PABCD的底面ABCD為正方形，PD底面ABCD，PD=AD.求證：1平面PAC平面PBD；2求PC與平面PBD所成的角；2.如下列圖，正四棱錐S

36、ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成角的大小為 _.5. 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐PABCD中，平面ABCD，且PAAB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).1求證：；2求證：平面AEC；3假設(shè)，求三棱錐EACD的體積；4求二面角EACD的大小. 立體幾何中的向量方法理科例題：如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高為3，底面是邊長(zhǎng)為4且DAB=60的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中點(diǎn).EO1OD1C1B1DCBAA11求二面角O1BCD的大?。?求點(diǎn)E到平面O1BC的距離.解 (1OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系如圖底面ABCD是邊長(zhǎng)為4，DAB=60的菱形，OA=2，OB=2，則A2，0，0，B0，2，0，C2，0，0，O10，0，3設(shè)平面O1BC的法向量為=*，y，z，則，則z=2，則*=，y=3，=，3，2，而平面AC的法向量=0，0，3cos=，設(shè)O1BCD的平面角為， cos=60.故二面角O1BCD為60. 2設(shè)點(diǎn)E到平面O1BC的距離為d，E是O1A的中點(diǎn)，=，