圓錐曲線過定點問題

1、.PAGE 471圓錐曲線過定點問題一、小題自測1. 無論取任何實數(shù)，直線必經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標(biāo)為.2. 直線；圓，則直線與圓的位置關(guān)系為.二、幾個常見結(jié)論：滿足一定條件的曲線上兩點連結(jié)所得的直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點，這構(gòu)成了過定點問題。1、過定點模型：是圓錐曲線上的兩動點，是一定點，其中分別為的傾斜角，則有下面的結(jié)論：= 1 * GB3、為定值直線恒過定點； = 2 * GB3、為定值直線恒過定點；= 3 * GB3、直線恒過定點.2、拋物線中的過定點模型：是拋物線上的兩動點，其中分別為的傾斜角，則可以得到下面幾個充要的結(jié)論：直線恒過定點.3、橢圓中的過定點模型：是橢圓

2、上異于右頂點的兩動點，其中分別為的傾斜角，則可以得到下面幾個充要的結(jié)論：直線恒過定點.三、方法歸納：*參數(shù)無關(guān)法：把直線或者曲線方程中的變量*，y當(dāng)作常數(shù)對待，把方程一端化為零，既然是過定點，則這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部為零，這樣就得到一個關(guān)于*，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點。*特殊到一般法：根據(jù)動點或動直線、動曲線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)。*關(guān)系法：對滿足一定條件曲線上的兩點連結(jié)所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題，可設(shè)直線或曲線上兩點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線或曲線上，建立點的坐標(biāo)滿足方程組，求出相應(yīng)的直線或

3、曲線，然后再利用直線或曲線過定點的知識求解。四、例題分析：例1：過橢圓的左頂點A作互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點.求證：直線MN過定點，并求出該定點坐標(biāo)*證明：解法一：設(shè)，直線.，化簡得：解得：，直線，過定點.解法二：考察極端位置、特殊位置確定出定點，從而轉(zhuǎn)化為一般性證明題令，此時，所以直線過定點.當(dāng)，.三點共線，即：直線過定點.解法三：設(shè)直線，則直線所以點，同理：點，直線令得，所以直線過定點.例2：2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國I卷橢圓：，四點，中恰有三點在橢圓上1求的方程；2設(shè)直線不經(jīng)過點且與相交于、兩點，假設(shè)直線與直線的斜率的和為，證明：過定點*分析：出現(xiàn)是曲線上一動點

4、，是曲線另外兩點，可以得到直線過定點。*解：1根據(jù)橢圓對稱性，必過、，又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，所以過三點將代入橢圓方程得，解得，橢圓的方程為：2當(dāng)斜率不存在時，設(shè)，得，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足當(dāng)斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立，整理得，則又此時，存在使得成立直線的方程為，當(dāng)時，所以過定點*小結(jié)：此類問題的解題步驟：第一步：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)的關(guān)系，用求出參數(shù)的取值圍；第二步：由與的關(guān)系，得到一次函數(shù)或者；第三步：將或者代入，得例3：左焦點為F(1，0)的橢圓過點E(1，)過點P(1，1)分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點

5、1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2假設(shè)P為線段AB的中點，求k1；3假設(shè)k1+k2=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標(biāo)*分析：第3問，可有一般的情形：過定橢圓的定點作兩條斜率和為定值的動弦，則兩動弦的中點所在直線過定點*解：依題設(shè)c=1，且右焦點(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)A(，)，B(，)，則，得 所以，k1=(3)依題設(shè)，k1k2設(shè)M(,)，直線AB的方程為y1=k1(*1)，即y=k1*+(1k1)，亦即y=k1*+k2，代入橢圓方程并化簡得于是，同理，當(dāng)k1k20時，直線MN的斜率k=直線MN的方程為，即 ，亦即 此時直線過定點當(dāng)k1k2=0時

6、，直線MN即為y軸，此時亦過點綜上，直線MN恒過定點，且坐標(biāo)為*小結(jié)：此類問題的解題步驟：交點弦的中點所在直線恒過定點解題步驟第一步：設(shè)其中一條直線的斜率為，求出直線方程；第二步：直線與曲線進(jìn)展聯(lián)立，出現(xiàn)韋達(dá)定理的形式，或者直接求出坐標(biāo)，表示這條弦的中點，并且類比出另外一條的中點坐標(biāo)；第三步：由上述兩步，根據(jù)點斜式寫出兩個中點所在直線的方程；第四步：化直線為點斜式，確定定點坐標(biāo)。*拓展：假設(shè)過拋物線的*定點作兩條直線，這兩條直線的斜率之和(積)為定值，則兩條線的中點連線必過一定點。五、練習(xí)反響：1如圖，橢圓，直線l：，A，B是長軸的兩端點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，設(shè)直線AM交直線l于點

7、P，直線BM交直線l于點Q，則以PQ為直徑的圓C經(jīng)過定點.ABOy*MPQl:*=42.橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，設(shè)直線的斜率分別為.1假設(shè)時，求的值；2假設(shè)時，證明：直線過定點.3.橢圓經(jīng)過點，它的左焦點為，直線與橢圓交于，兩點，的周長為.1求橢圓的方程；2假設(shè)點是直線上的一個動點，過點作橢圓的兩條切線、，分別為切點，求證：直線過定點，并求出此定點坐標(biāo).注：經(jīng)過橢圓上一點的橢圓的切線方程為.4.橢圓：過點，且離心率為。過點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于、兩點、與點不重合。求證：直線過定點，并求該定點的坐標(biāo)。5.橢圓的中心在坐標(biāo)原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合1求橢圓的

8、方程；2過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉(zhuǎn)動，以為直徑的圓恒過點.假設(shè)存在，求出點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由6.、分別為橢圓:的上、下焦點,其中也是拋物線的焦點,點是與在第二象限的交點,且.1求橢圓的方程.2點和圓:,過點的動直線與圓相交于不同的兩點,在線段上取一點,滿足:,(且).求證:點總在*定直線上.圓錐曲線過定點問題答案：一、小題自測答案：1、2,2 2、相交五、練習(xí)反響答案：1、設(shè)直線，易得直線，*yOPQlA圓C：，整理得：由得定點為.2、解：1設(shè)，則2設(shè)，,所以，直線過定點3、2由題意得： QUOTE * MERGEFORMAT ，設(shè)

9、 QUOTE * MERGEFORMAT ，則直線 QUOTE * MERGEFORMAT ，直線 QUOTE * MERGEFORMAT ，又 QUOTE * MERGEFORMAT 在上述兩切線上， QUOTE * MERGEFORMAT ，直線 QUOTE * MERGEFORMAT ，即： QUOTE * MERGEFORMAT ，由 QUOTE * MERGEFORMAT 得 QUOTE * MERGEFORMAT ，直線 QUOTE * MERGEFORMAT 過定點，且定點坐標(biāo)為 QUOTE * MERGEFORMAT .4、【解答】依題意，有，且。解得，。 橢圓的方程為。易知直線斜率存在，設(shè)方程為。由，得設(shè)，則， 。由知，。，即 。 。由直線不過點，知。，直線方程化為。 直線過定點。5、解：1設(shè)橢圓的方程為，離心率，1分又拋物線的焦點為，所以，2分橢圓的方程是.3分2假設(shè)直線與軸重合，則以為直徑的圓是，假設(shè)直線垂直于軸，則以為直徑的圓是.4分由解得即兩圓相切于點.5分因此所求的點如果存在，只能是.6分當(dāng)直線不垂直于軸時，可設(shè)直線.7分由消去得.8分設(shè)，則9分又因為，10分11分,即以為直徑的圓恒過點.故在坐標(biāo)平面上存在一個定點滿足條件.12分6、解：方法