隨機(jī)事件的概率

1、隨機(jī)事件的概率基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)航重溫教材掃清盲點(diǎn).概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的nA次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件 A出現(xiàn)的比例fn(A) = 為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件 A發(fā)生的頻率會(huì)在某 個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個(gè)常數(shù)來刻畫隨機(jī)事件 A發(fā)生的可能性大小，并 把這個(gè)常數(shù)稱為隨機(jī)事件 A的概率，記作P(A).事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表小包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件Bf 發(fā)生，這時(shí) 稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B? A（或 A? B）相等關(guān)系若

2、B? A且A? BA=B并事件(和 事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件 A發(fā)生或事件B 發(fā)生，稱此事件為事件A匕事件B的并事件 (或和事件)AUB（或 A+B）父事件(積 事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件 A發(fā)生且事件B 發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事 件(或積事件)A AB（或 AB）互斥事件若An B為不可能事件(An B=?),則稱事件A匕事件B互斥AAB = ?對(duì)立事件若AH B為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件P（A） + P（B）= 13.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0& P(A)5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查

3、了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表:出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”.求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%” .求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.解：(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于 2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為60+50_200 =0.55,故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于 1且小于4.30+ 30由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率

4、為 -0- = 0.3,故P(B)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的 200 名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85aX0.30+aX0.25+ 1.25aX0.15+1.5aX0.15 + 1.75a x 0.10+ 2a x 0.05= 1.192 5a.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a.方法引航頻率是個(gè)不確定的數(shù)，在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生的可能性大小，但無 法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小.但從大量重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事 件發(fā)生的頻率就會(huì)穩(wěn)定于某

5、一固定的值，該值就是概率.概率是一個(gè)定值.跟蹤巡航強(qiáng)化訓(xùn)練提升考能隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對(duì)西安市該年 4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下:日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨（1）在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；（2）西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù) 2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨 的概率.解：（1）在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天，西安26 13市不下雨的概率為布=丘.30 15稱相鄰

6、的兩個(gè)日期為“互鄰日期對(duì)（如，1日與2日，2日與3日等）.這樣，在4月份中, 前一天為晴天的互鄰日期對(duì)有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨 的頻率為7.O以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為 7.O考點(diǎn)三互斥事件、對(duì)立事件的概率命題點(diǎn).利用互斥事件求概率.利用對(duì)立事件求概率例3 （1）（2016高考天津卷）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是1一 一 1不甲獲勝的概率是4,23則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢.56C.6D.3解析：設(shè)“兩人下成和棋”為事件A, “甲獲勝”為事件B.事件A與B是互斥事件，所以甲 不輸?shù)母怕? 1 5p=p(a+b)=p(A)+p(B)=2+=6,

7、故選 a.答案：A(2)某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位, 設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件 分別為A、B、C,求: P(A), P(B), P(C);1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率;1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.1101解：0 P(a)=1 000，P(B)=1 000=而，P(C)=%111故事件A, B, C的概率分別為丁前，,人.1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng).設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M,則M= AUBUCA、B、C 兩兩互斥, TOC o 1-5 h z 一一1 + 10

8、+5061 . P(M) = P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) =1 000 =赤而一 61故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為 贏.設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N,則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一 等獎(jiǎng)”為對(duì)立事件,11989“網(wǎng)戶1 -吟21一(誨+赤)=1W故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為篝0.方法引航(1解決此類問題，首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出是不是互斥事 件或?qū)α⑹录龠x擇概率公式進(jìn)行計(jì)算.(2旨復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一 些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)

9、算；二是間接求法，先求此事件變式巡航的對(duì)立事件的概率，再用公式 P(A尸1-P( A計(jì)算.強(qiáng)化訓(xùn)練提升者能.在本例(2)條件下，求一張獎(jiǎng)券中一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率.解 i=b耳而音知 P/R I I 一 p/D p/nx 一 一10 I 50 60 用牛.由也心知 P(B U C) P(B) + P(C) 1 00。+ 1。一 1 000- 50.在本例(2)條件下，求一張獎(jiǎng)券不中獎(jiǎng)的概率.解：“中獎(jiǎng)”與“不中獎(jiǎng)”是對(duì)立事件. 61939不中獎(jiǎng) 的概率P=1P（AUBUC）=1彳而=丁前.特色展示體脆高考智能提升返航易錯(cuò)警示互斥與對(duì)立相混致誤 TOC o 1-5 h z 1典例（2017河南鄭州

10、質(zhì)檢）甲、乙兩人下棋，和棋的概率為1,乙獲勝的概率為1,則下列說 23法正確的是（） 11A.甲獲勝的概率是6B.甲不輸?shù)母怕适?C.乙輸了的概率是2D.乙不輸?shù)母怕适?321正解“甲獲勝”是“和棋或乙勝”的對(duì)立事件，所以“甲獲勝”的概率是P= 111=316；設(shè)事件A為“甲不輸”，則A是“甲勝”、“和棋”這兩個(gè)互斥事件的并事件，所以 P（A） 1 , 1 2二一十 一 二一 6 2 3乙輸了即甲勝了，所以乙輸了的概率為1;乙不輸?shù)母怕蕿?1 = 5. 66 6答案A易誤沒有分析透整個(gè)事件的分類應(yīng)有三種：甲勝、和棋、乙勝，彼此互斥，乙獲勝的對(duì)立 事件是“乙不勝”，但不等于“乙輸”，錯(cuò)選為C的較

11、多.警示對(duì)立事件和互斥事件都不可能同時(shí)發(fā)生， 但對(duì)立事件必有一個(gè)要發(fā)生，而互斥事件可 能都不發(fā)生.所以兩個(gè)事件對(duì)立，則兩個(gè)事件必是互斥事件；反之，兩事件是互斥事件，但 未必是對(duì)立事件.高考真題體驗(yàn)（2012高考湖北卷）容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40）的頻率為（）A. 0.35B. 0.45 C. 0.55D. 0.652+3+ 4 9.解析：選B.數(shù)據(jù)落在10,40)的頻率為220- = 20=0.45,故選B.(2015高考湖北卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章有“米

12、谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有 人送來米1 534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得 254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)火 谷約為()A. 134石B. 169石C. 338 石D. 1 365石解析：選B.254粒和1 534石中夾谷的百分比含量是大致相同的，可據(jù)此估計(jì)這批米內(nèi)夾谷 的數(shù)量.設(shè)1 534石米內(nèi)夾谷x石，則由題意知行公=黑，解得x= 169.故這批米內(nèi)夾谷約為169石.1 534 254(2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買 3種商品的概率；(3)如果顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？解：(1)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1 000位顧客中有200位顧客

13、同時(shí)購(gòu)買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率可以估計(jì)為辿二021 000 0.2.(2)從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1 000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、乙、丙，其他顧客最多購(gòu)買了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率可以估計(jì)為100+2001 0000.3.(3)與(1)同理，可得:顧客同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率可以估計(jì)為2001 000=0.2,顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率可以估計(jì)為100+200+300二0 61 0000.6顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率可以估計(jì)為皿二011 000 0.口所以，如果顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買丙的可能性

14、最大.課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練.裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，則與事件“兩球都為白球”互斥 而非對(duì)立的事件是以下事件“兩球都不是白球；兩球恰有一個(gè)白球；兩球至少有一個(gè) 白球”中的哪幾個(gè)（）A .B . C. D.解析：選A.從口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間 。=（白，白），（紅，紅），（黑, 黑），（紅，白），（紅，黑），（黑，白）,包含6個(gè)基本事件，當(dāng)事件 A ”兩球都為白球”發(fā)生 時(shí)，不可能發(fā)生，且 A不發(fā)生時(shí)，不一定發(fā)生，不一定發(fā)生，故非對(duì)立事件，而 A 發(fā)生時(shí)，可以發(fā)生，故不是互斥事件.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件 A=抽到一等品,事件B = 抽到

15、二等品,事件C =抽到三等品,且已知P（A） = 0.65, P（B）=0.2, P（C） = 0.1,則事件“抽到的不是一等品” 的概率為（）D. 0.37A. 0.7B. 0.65C. 0.35解析：選C.由對(duì)立事件可得 P=1 P（A）=0.35.先后拋擲硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是 TOC o 1-5 h z 八13八5A.8B.8C.8解析：選D.設(shè)“至少一次正面朝上”為事件A,17下(A)：1，.P(A)=1P(A) = 8.在第3、6、16路公共汽車的一個(gè)?？空荆俣ㄟ@個(gè)車站只能?？恳惠v公共汽車），有一位乘 客需在5分鐘之內(nèi)乘上公共汽車趕到廠里，他可乘 3路或6路公共汽車

16、到廠里，已知3路車 和6路車在5分鐘之內(nèi)到此車站的概率分別為 0.20和0.60,則該乘客在5分鐘內(nèi)能乘上所需 要的車的概率為（）A. 0.20B. 0.60C. 0.80D. 0.12解析：選C. “能乘上所需要的車”記為事件A,則3路或6路車有一輛路過即事件發(fā)生，故P(A) = 0.20+0.60= 0.80.某射手的一次射擊中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)的概率分別為0.2、0.3、0.1,則此射手在一 次射擊中不超過8環(huán)的概率為()A. 0.5B. 0.3 C. 0.6D. 0.9解析：選A.不超過8環(huán)的概率為1 0.2 0.3 = 0.5.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙兩級(jí)均屬次品.若

17、生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)品的概率為 0.03, 丙級(jí)品的概率為0.01,則對(duì)成品抽查一件抽得正品的概率為 .解析：記“生產(chǎn)中出現(xiàn)甲級(jí)品、乙級(jí)品、丙級(jí)品”分別為事件A, B, C.則A, B, C彼此互 斥，由題意可得 P(B) = 0.03, P(C) = 0.01,所以 P(A)=1 P(B+C)=1 P(B) P(C) = 1 0.03 0.01 = 0.96.答案：0.96.從一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K，事件B為“抽 得黑桃”，則概率P(AUB) =.結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).一一113113 14 7解析：p(A)=52 p(B)=q .p(aub) = p(

18、A)+p(B)=52+52=瓦=亞.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，有下列三對(duì)事件 ： 恰有1名男生和恰有兩名男生；至少有1名男生和至少有1名女生；至少有1名男生和全是女生.其中是互斥事件的為 .解析：是互斥事件.理由是：在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男生和1名女生”， 它與“恰有兩名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是一對(duì)互斥事件.不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，“至 少有1名女生”包括“1名女生、1名男生” “兩名都是女生”兩種結(jié)果，當(dāng)事件“有1名男 生和1名女生”發(fā)生時(shí)兩個(gè)事件都發(fā)生

19、了.是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種結(jié)果，它 與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生.答案：. 一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一71個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為15,取得兩個(gè)綠球的概率為 誣.(1)求取得兩個(gè)同顏色球的概率；(2)求至少抽取一個(gè)紅球的概率.解：設(shè)”取得兩個(gè)紅球”為事件A, “取得兩個(gè)綠球”為事件B,則A、B互斥.(1)依題意，”取得兩個(gè)同顏色球”即事件A+B發(fā)生.718. P(A+ B) = P(A) + P(B) = 75+ 15=行 15 15 15(2)由于事件C ”至少取得一個(gè)紅球”與

20、事件B ”取得兩個(gè)綠球”是對(duì)立事件.114則至少取得一個(gè)紅球的概率 P(CA)= 1 P(B) = 1-77 =於.15 1510.某班選派5人，參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，獲獎(jiǎng)的人數(shù)及其概率如下：獲獎(jiǎng)人數(shù)012345概率0.10.16xy0.2z若獲獎(jiǎng)人數(shù)不超過2人的概率為0.56,求x的值；(2)若獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96,最少3人的概率為0.44,求y、z的化解：記事件“在競(jìng)賽中，有k人獲獎(jiǎng)”為Ak(kCN, k5),則事件Ak彼此互斥.(1)二.獲獎(jiǎng)人數(shù)不超過2人的概率為0.56.P(A0) + P(A1)+P(A2)=0.1 + 0.16+ x= 0.56.解彳# x= 0.3.

21、由獲獎(jiǎng)人數(shù)最多4人的概率為0.96,得P(A5) = 1 0.96=0.04,即 z= 0.04.由獲獎(jiǎng)人數(shù)最少3人的概率為0.44,得P(A3) + P(A4) + P(A5) = 0.44,即 y+0.2+0.04= 0.44.解彳3 y=0.2.B組能力突破 TOC o 1-5 h z 1.擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件 A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù) 出現(xiàn)”，若B表示B的對(duì)立事件，則一次試驗(yàn)中，事件 A+ B發(fā)生的概率為()25；C.%D.髭36解析：選C.擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果.2 14 22 1依就思 %)=6=3 P(B)=6=3, .P(B) = 1 呼戶

22、13=3V B表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件,因此事件A與B互斥，從而P(A+_B)=P(A)+P(B) = 1+；=2. 3 3 32.從某校高二年級(jí)的所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取20人，測(cè)得他們的身高(單位：cm)分別為: 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根據(jù)樣本頻率分布估計(jì)總體分布的原理，在該校高二年級(jí)的所有學(xué)生中任抽一人，估計(jì)該生的身高在155.5 cm170.5 cm之間的概率約為()A.5B.2C.23D.3解析：選A.從已知數(shù)據(jù)可以看出，在隨機(jī)抽取的這 20位學(xué)生中，身高在155.5 cm170.5 cm ,2 之間的學(xué)生有8人，頻率為2,故可估計(jì)在該校高二年級(jí)的所有學(xué)生中任抽