鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論

1、第五章 框（剛）架體系的穩(wěn)定框架只承受作用于節(jié)點的豎向荷載，且按比例增加；框架中所有桿件是同時失穩(wěn)的，且只在框架平面內(nèi)失穩(wěn)；框架中所有桿件均為等截面直桿；框架中所有桿件均在彈性范圍內(nèi)工作；忽略桿件自身軸向變形的影響。5-1 剛架穩(wěn)定分析的位移法1）基本假設(shè)假定框架達到穩(wěn)定臨界狀態(tài)時，要發(fā)生微小的失穩(wěn)變形。位移法的基本思路：對體系施加無窮剛臂和側(cè)向支座，使結(jié)構(gòu)變成沒有富余自由度的完全超靜定結(jié)構(gòu)。結(jié)合結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法，如圖所示體系的未知數(shù)個數(shù)(被人為約束的自由度個數(shù))為：2）位移法的正則方程組4P5P6P81P2P3P7轉(zhuǎn)角：16，6個側(cè)移：78，2個共8個對臨界狀態(tài)的框架變形狀態(tài)組成正則方程組

2、。（由于所有節(jié)點上的外荷載在基本體系的附加約束中不引起任何反力，所以方程組是齊次的，如下：）自由度1的平衡方程自由度2的平衡方程自由度n的平衡方程正則方程組，常數(shù)項均為03）框架的屈曲方程上式為0解時，Z1,Z2,.Zn=0，體系沒有任何位移，框架沒有失穩(wěn)。因此框架失穩(wěn)的條件為位移未知數(shù)的系數(shù)行列式為0，即框架的屈曲方程為：通過上述行列式為0，可以求解得到臨界荷載P。說明：關(guān)鍵是確定這些系數(shù)的表達式rij；rij的物理意義是：當(dāng)j自由度上有單位位移作用時，在被約束的自由度i上產(chǎn)生的反力；此時由于軸向力的存在（對桿軸而言），rij不再為常數(shù)，而是桿件軸向力的函數(shù)。這與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的內(nèi)容不同，結(jié)構(gòu)力

3、學(xué)位移法中的此系數(shù)為常數(shù)設(shè)框架中某壓桿AB，在失穩(wěn)前為狀態(tài)（a），剛架失穩(wěn)時為狀態(tài)（b）。5-2 受壓桿件的轉(zhuǎn)角位移方程1）轉(zhuǎn)角位移方程的推導(dǎo)注：剪力以y軸正向為正；彎矩以順時針為正。取任一長度x的隔離體，列撓曲線微分方程為： 其中： 同時令： 則有：通解為：由邊界條件：變形曲線方程為：利用邊界條件：得轉(zhuǎn)角位移方程為：上式表明桿件端彎矩與轉(zhuǎn)角位移和平動位移之間的關(guān)系。由此關(guān)系可以確定桿件產(chǎn)生單位位移時所需的端彎矩，即剛度系數(shù)rij。工況1：2）受壓桿件在各種單位位移下的反力計算NNla=1abMa所以可得在單位轉(zhuǎn)角a=1作用下，引起的反力為：工況2：a=1abNNl采用類似方法，可得各種邊界條

4、件下的反力，如下：由單位轉(zhuǎn)角引起的反力=1abNNlEIQaQbMa=1abNNlEIMa=1abNNlEIQaQbMaMb=1abNNlEIMaMb由單位線位移引起的反力=1abNNlEIMaMa=1abNNlEIMaMbMa橫梁中單位轉(zhuǎn)角的反力矩（無軸力）ablEIbMaQbMaa=1QaablEIbMaMaa=1MbablEIbMaQbMaa=1Qa可以證明，有軸力的桿端力表達式中，當(dāng)N0時，即0時，Ma無軸力時的Ma。以上結(jié)果可以直接應(yīng)用于剛架穩(wěn)定分析的位移法中。=1abNNlEIQaQbMaablEIbMaQbMaa=1Qa=1abNNlEIQaQbMa可能存在的失穩(wěn)模式5-3 剛架

5、穩(wěn)定承載力計算方法1）單層鉸接門式剛架（框架）HEIbPPEIcEIcl有側(cè)向支撐時對稱失穩(wěn)無側(cè)向支撐時反對稱失穩(wěn)對稱失穩(wěn)（根據(jù)對稱性簡化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2位移法方程組反對稱失穩(wěn)（根據(jù)對稱性簡化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2由于Z1與相互關(guān)聯(lián)，故只有Z1一個未知數(shù)。也通用存在對稱和反對稱失穩(wěn)兩種模式2）單層剛接門式剛架（框架）對稱失穩(wěn)（根據(jù)對稱性簡化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2反對稱失穩(wěn)（根據(jù)對稱性簡化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/23）剛架計算長度系數(shù)的確定由前面介紹的屈曲方程可以求得在一定梁柱線剛度比ib/ic情況下的值。計算長度系數(shù)梁柱

6、線剛度比所以給出不同梁柱線剛度比k1=ib/ic值，即可求出不同的值，因此可以構(gòu)造出各種情況下的計算長度系數(shù)表格（規(guī)范中）。鉸接剛接4）多層多跨剛架的彈性屈曲荷載無側(cè)移框架有側(cè)移框架基本假設(shè)：剛架中的所有桿件同時屈曲；屈曲時節(jié)點處產(chǎn)生的梁端不平衡力矩按節(jié)點處柱線剛度成比例地分配給各柱；不計橫梁中軸力的影響；對稱失穩(wěn)時：同一層的各橫梁兩端的轉(zhuǎn)角大小相等，但方向相反；側(cè)移失穩(wěn)時：轉(zhuǎn)角大小不但相等，而且方向相同。回顧轉(zhuǎn)角位移方程：求解得到Ma和Mb：其中：C是對應(yīng)于近段轉(zhuǎn)角的抗彎剛度系數(shù)；S是對應(yīng)于遠端轉(zhuǎn)角的；S/C為彎矩傳遞系數(shù)。C、S、C/S隨 的變化關(guān)系如下：C、S的定義域為（0，2）。隨著P

7、/PE的增加，近端轉(zhuǎn)角的抗彎剛度系數(shù)C降低，而遠端S提高。軸向壓力為0時，C4，S2，S/C0.5，相當(dāng)于受彎構(gòu)件，圖中虛線所示。無側(cè)移失穩(wěn)時：利用受彎構(gòu)件和壓彎構(gòu)件的轉(zhuǎn)角位移方程，得到與A點有關(guān)的梁端和柱端力矩。建立A點的平衡方程：將各端彎矩代入得：令 表示AB柱上端梁線剛度之和與柱線剛度之和的比值。它反映了梁對柱的約束剛度。則上式為同理，對于AB柱的下端B點也有如下關(guān)系： 其中：則剛架的屈曲方程為：把C、S的三角函數(shù)代入，并令 ，經(jīng)整理得關(guān)于計算長度系數(shù)的屈曲方程為：此方程即為鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范附錄中無側(cè)移剛架計算長度系數(shù)的計算公式，可以通過數(shù)值方法求解。計算長度系數(shù)也可通過下面計算公式計算：

8、也可使用下面圖形曲線得到計算長度系數(shù)：側(cè)移失穩(wěn)時：利用受彎構(gòu)件和壓彎構(gòu)件的轉(zhuǎn)角位移方程，得到與A點有關(guān)的梁端和柱端力矩。其中側(cè)移角建立A點的平衡方程：將各端彎矩代入得：令 表示AB柱上端梁線剛度之和與柱線剛度之和的比值。則上式為同理，對于AB柱的下端B點也有如下關(guān)系：上述兩個方程，三個未知數(shù)，還需一個方程。再建立柱本身的平衡方程： 而這樣平衡方程可以寫成：此時由三個方程構(gòu)成一個關(guān)于AB桿兩端轉(zhuǎn)角A、B和相對位移的方程組。方程組有解時，其系數(shù)行列式為0。把C、S的三角函數(shù)代入，并令 ，經(jīng)整理得關(guān)于計算長度系數(shù)的屈曲方程為：此方程即為鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范附錄中側(cè)移剛架計算長度系數(shù)的計算公式，可以通過數(shù)值

9、方法求解。也可以使用實用公式：剛架整體的P-效應(yīng)（二階效應(yīng)）5-4 有側(cè)移剛架的彈性極限荷載剛架在豎向和水平荷載的共同作用下，柱頂產(chǎn)生側(cè)移，則此時豎向荷載將對剛架產(chǎn)生一個附加的外彎矩P，將繼續(xù)增大側(cè)移，降低彈性剛度，這種現(xiàn)象稱之為P-效應(yīng)，或二階效應(yīng)。對剛架穩(wěn)定有一定影響，特別是對高層結(jié)構(gòu)不可忽略。對于整體剛架，外力與柱端反力的平衡條件為：柱的側(cè)移角為，側(cè)移為lc，則左柱與右柱的力平衡方程為：將上兩式相加，并代入前面的柱端反力，得：端彎矩可以使用上節(jié)的轉(zhuǎn)角位移方程得到，并代入得：(1)()由B點、C點的力矩平衡，可分別得到：(2)(3)由(1)(2)(3)式可以解得轉(zhuǎn)角A、B和側(cè)移角：上式即為

10、剛架二階彈性分析的荷載P與側(cè)移角的關(guān)系式，同時考慮了P-效應(yīng)和P-效應(yīng)。 C、S中體現(xiàn)了P-效應(yīng)的影響，上式分母中最后一項體現(xiàn)了P-效應(yīng)的影響。(a)如果忽略柱軸力P對抗彎剛度的影響，取C4，S2，（即忽略P-效應(yīng)），且梁柱線剛度比K11.0，則二階彈性分析（只考慮P-效應(yīng)）的近似公式為：(b)如果只考慮一階彈性分析，像結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法求解內(nèi)力那樣，（令公式中的柱軸力P0），可得此時荷載P與側(cè)移角的關(guān)系： 此時的側(cè)移角完全由水平力P引起。(c)當(dāng)0時，由(1)(2)(3)三式的系數(shù)行列式為0，也可得有側(cè)移剛架的分岔屈曲荷載為：將(a)(b)(c)(d)四個臨界荷載與側(cè)移角的關(guān)系式畫成曲線形式。

11、(a) 二階分析，考慮P-、P-效應(yīng)； (b) 二階分析，只考慮P-效應(yīng)； (c) 一階彈性分析； (d) 小撓度理論的分岔荷載；(d)(a)(b)(c)(d)可見二階效應(yīng)影響顯著，有側(cè)移剛架中是不能忽略的。彈塑性分析時極限荷載可能遠遠低于彈性分析。如圖所示多層剛架，承受水平荷載H和豎向荷載q。一階分析時，可以分為兩個過程計算，并將兩個過程中的各桿彎矩相疊加：b是braced frame的縮寫；s是side sway的縮寫；5-5 有側(cè)移剛架二階彈性分析近似解二階分析的近似解就是利用一階分析結(jié)果，對Ms乘以放大系數(shù)2i ：下面來研究2i的取值。如圖所示懸臂柱的二階彎矩為：把tgu級數(shù)展開：于是

12、得：所以懸臂柱的二階彎矩為對于懸臂柱：所以利用上述二式相等，得：對于多層多跨框架時，可用N代替P，H代替H，則得到鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的公式：N所計算樓層各柱軸心壓力之和；H產(chǎn)生層間側(cè)移u的所計算樓層及以上各層水平力之和；u按一階彈性分析求得的所計算樓層的層間側(cè)移；h所計算樓層的高度；假想水平力：notional force用假想水平力考慮實際框架中必然存在的初始缺陷：如柱子的初傾斜、初彎曲、殘余應(yīng)力和塑性變形等?，F(xiàn)假設(shè)柱子有初傾斜0，則柱底產(chǎn)生附加彎矩Q0，這相當(dāng)于柱頂有一假想水平力Hn，如圖所示。5-6 規(guī)范中假想水平力Hni及內(nèi)力計算為一百分?jǐn)?shù)，各國規(guī)范取值不一。我國新規(guī)范在分析各種情況后，考慮n與框架的層數(shù)和鋼材的屈服點大小的關(guān)系，并參照國外規(guī)范，?。?其中：y為鋼材強度影響系數(shù)，對Q235取1.0；Q345取1.1；Q390取1.2；Q420取1.25；ns為框架總層數(shù)。因而得第i層柱頂?shù)募傧胨搅椋何覈乱?guī)范的二階分析假想水平力取值較有些國外規(guī)范（如英國規(guī)范?。?，特別是當(dāng)樓層總數(shù)ni較大時。但我國規(guī)范規(guī)定Hn