鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論

1、第五章 框（剛）架體系的穩(wěn)定框架只承受作用于節(jié)點(diǎn)的豎向荷載，且按比例增加；框架中所有桿件是同時(shí)失穩(wěn)的，且只在框架平面內(nèi)失穩(wěn)；框架中所有桿件均為等截面直桿；框架中所有桿件均在彈性范圍內(nèi)工作；忽略桿件自身軸向變形的影響。5-1 剛架穩(wěn)定分析的位移法1）基本假設(shè)假定框架達(dá)到穩(wěn)定臨界狀態(tài)時(shí)，要發(fā)生微小的失穩(wěn)變形。位移法的基本思路：對(duì)體系施加無(wú)窮剛臂和側(cè)向支座，使結(jié)構(gòu)變成沒(méi)有富余自由度的完全超靜定結(jié)構(gòu)。結(jié)合結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法，如圖所示體系的未知數(shù)個(gè)數(shù)(被人為約束的自由度個(gè)數(shù))為：2）位移法的正則方程組4P5P6P81P2P3P7轉(zhuǎn)角：16，6個(gè)側(cè)移：78，2個(gè)共8個(gè)對(duì)臨界狀態(tài)的框架變形狀態(tài)組成正則方程組

2、。（由于所有節(jié)點(diǎn)上的外荷載在基本體系的附加約束中不引起任何反力，所以方程組是齊次的，如下：）自由度1的平衡方程自由度2的平衡方程自由度n的平衡方程正則方程組，常數(shù)項(xiàng)均為03）框架的屈曲方程上式為0解時(shí)，Z1,Z2,.Zn=0，體系沒(méi)有任何位移，框架沒(méi)有失穩(wěn)。因此框架失穩(wěn)的條件為位移未知數(shù)的系數(shù)行列式為0，即框架的屈曲方程為：通過(guò)上述行列式為0，可以求解得到臨界荷載P。說(shuō)明：關(guān)鍵是確定這些系數(shù)的表達(dá)式rij；rij的物理意義是：當(dāng)j自由度上有單位位移作用時(shí)，在被約束的自由度i上產(chǎn)生的反力；此時(shí)由于軸向力的存在（對(duì)桿軸而言），rij不再為常數(shù)，而是桿件軸向力的函數(shù)。這與結(jié)構(gòu)力學(xué)中的內(nèi)容不同，結(jié)構(gòu)力

3、學(xué)位移法中的此系數(shù)為常數(shù)設(shè)框架中某壓桿AB，在失穩(wěn)前為狀態(tài)（a），剛架失穩(wěn)時(shí)為狀態(tài)（b）。5-2 受壓桿件的轉(zhuǎn)角位移方程1）轉(zhuǎn)角位移方程的推導(dǎo)注：剪力以y軸正向?yàn)檎?；彎矩以順時(shí)針為正。取任一長(zhǎng)度x的隔離體，列撓曲線微分方程為： 其中： 同時(shí)令： 則有：通解為：由邊界條件：變形曲線方程為：利用邊界條件：得轉(zhuǎn)角位移方程為：上式表明桿件端彎矩與轉(zhuǎn)角位移和平動(dòng)位移之間的關(guān)系。由此關(guān)系可以確定桿件產(chǎn)生單位位移時(shí)所需的端彎矩，即剛度系數(shù)rij。工況1：2）受壓桿件在各種單位位移下的反力計(jì)算NNla=1abMa所以可得在單位轉(zhuǎn)角a=1作用下，引起的反力為：工況2：a=1abNNl采用類(lèi)似方法，可得各種邊界條

4、件下的反力，如下：由單位轉(zhuǎn)角引起的反力=1abNNlEIQaQbMa=1abNNlEIMa=1abNNlEIQaQbMaMb=1abNNlEIMaMb由單位線位移引起的反力=1abNNlEIMaMa=1abNNlEIMaMbMa橫梁中單位轉(zhuǎn)角的反力矩（無(wú)軸力）ablEIbMaQbMaa=1QaablEIbMaMaa=1MbablEIbMaQbMaa=1Qa可以證明，有軸力的桿端力表達(dá)式中，當(dāng)N0時(shí)，即0時(shí)，Ma無(wú)軸力時(shí)的Ma。以上結(jié)果可以直接應(yīng)用于剛架穩(wěn)定分析的位移法中。=1abNNlEIQaQbMaablEIbMaQbMaa=1Qa=1abNNlEIQaQbMa可能存在的失穩(wěn)模式5-3 剛架

5、穩(wěn)定承載力計(jì)算方法1）單層鉸接門(mén)式剛架（框架）HEIbPPEIcEIcl有側(cè)向支撐時(shí)對(duì)稱(chēng)失穩(wěn)無(wú)側(cè)向支撐時(shí)反對(duì)稱(chēng)失穩(wěn)對(duì)稱(chēng)失穩(wěn)（根據(jù)對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2位移法方程組反對(duì)稱(chēng)失穩(wěn)（根據(jù)對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2由于Z1與相互關(guān)聯(lián)，故只有Z1一個(gè)未知數(shù)。也通用存在對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)失穩(wěn)兩種模式2）單層剛接門(mén)式剛架（框架）對(duì)稱(chēng)失穩(wěn)（根據(jù)對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2反對(duì)稱(chēng)失穩(wěn)（根據(jù)對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/23）剛架計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的確定由前面介紹的屈曲方程可以求得在一定梁柱線剛度比ib/ic情況下的值。計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)梁柱

6、線剛度比所以給出不同梁柱線剛度比k1=ib/ic值，即可求出不同的值，因此可以構(gòu)造出各種情況下的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)表格（規(guī)范中）。鉸接剛接4）多層多跨剛架的彈性屈曲荷載無(wú)側(cè)移框架有側(cè)移框架基本假設(shè)：剛架中的所有桿件同時(shí)屈曲；屈曲時(shí)節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生的梁端不平衡力矩按節(jié)點(diǎn)處柱線剛度成比例地分配給各柱；不計(jì)橫梁中軸力的影響；對(duì)稱(chēng)失穩(wěn)時(shí)：同一層的各橫梁兩端的轉(zhuǎn)角大小相等，但方向相反；側(cè)移失穩(wěn)時(shí)：轉(zhuǎn)角大小不但相等，而且方向相同?；仡欈D(zhuǎn)角位移方程：求解得到Ma和Mb：其中：C是對(duì)應(yīng)于近段轉(zhuǎn)角的抗彎剛度系數(shù)；S是對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)角的；S/C為彎矩傳遞系數(shù)。C、S、C/S隨 的變化關(guān)系如下：C、S的定義域?yàn)椋?，2）。隨著P

7、/PE的增加，近端轉(zhuǎn)角的抗彎剛度系數(shù)C降低，而遠(yuǎn)端S提高。軸向壓力為0時(shí)，C4，S2，S/C0.5，相當(dāng)于受彎構(gòu)件，圖中虛線所示。無(wú)側(cè)移失穩(wěn)時(shí)：利用受彎構(gòu)件和壓彎構(gòu)件的轉(zhuǎn)角位移方程，得到與A點(diǎn)有關(guān)的梁端和柱端力矩。建立A點(diǎn)的平衡方程：將各端彎矩代入得：令 表示AB柱上端梁線剛度之和與柱線剛度之和的比值。它反映了梁對(duì)柱的約束剛度。則上式為同理，對(duì)于AB柱的下端B點(diǎn)也有如下關(guān)系： 其中：則剛架的屈曲方程為：把C、S的三角函數(shù)代入，并令 ，經(jīng)整理得關(guān)于計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的屈曲方程為：此方程即為鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范附錄中無(wú)側(cè)移剛架計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的計(jì)算公式，可以通過(guò)數(shù)值方法求解。計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)也可通過(guò)下面計(jì)算公式計(jì)算：

8、也可使用下面圖形曲線得到計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)：側(cè)移失穩(wěn)時(shí)：利用受彎構(gòu)件和壓彎構(gòu)件的轉(zhuǎn)角位移方程，得到與A點(diǎn)有關(guān)的梁端和柱端力矩。其中側(cè)移角建立A點(diǎn)的平衡方程：將各端彎矩代入得：令 表示AB柱上端梁線剛度之和與柱線剛度之和的比值。則上式為同理，對(duì)于AB柱的下端B點(diǎn)也有如下關(guān)系：上述兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，還需一個(gè)方程。再建立柱本身的平衡方程： 而這樣平衡方程可以寫(xiě)成：此時(shí)由三個(gè)方程構(gòu)成一個(gè)關(guān)于AB桿兩端轉(zhuǎn)角A、B和相對(duì)位移的方程組。方程組有解時(shí)，其系數(shù)行列式為0。把C、S的三角函數(shù)代入，并令 ，經(jīng)整理得關(guān)于計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的屈曲方程為：此方程即為鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范附錄中側(cè)移剛架計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的計(jì)算公式，可以通過(guò)數(shù)值

9、方法求解。也可以使用實(shí)用公式：剛架整體的P-效應(yīng)（二階效應(yīng)）5-4 有側(cè)移剛架的彈性極限荷載剛架在豎向和水平荷載的共同作用下，柱頂產(chǎn)生側(cè)移，則此時(shí)豎向荷載將對(duì)剛架產(chǎn)生一個(gè)附加的外彎矩P，將繼續(xù)增大側(cè)移，降低彈性剛度，這種現(xiàn)象稱(chēng)之為P-效應(yīng)，或二階效應(yīng)。對(duì)剛架穩(wěn)定有一定影響，特別是對(duì)高層結(jié)構(gòu)不可忽略。對(duì)于整體剛架，外力與柱端反力的平衡條件為：柱的側(cè)移角為，側(cè)移為lc，則左柱與右柱的力平衡方程為：將上兩式相加，并代入前面的柱端反力，得：端彎矩可以使用上節(jié)的轉(zhuǎn)角位移方程得到，并代入得：(1)()由B點(diǎn)、C點(diǎn)的力矩平衡，可分別得到：(2)(3)由(1)(2)(3)式可以解得轉(zhuǎn)角A、B和側(cè)移角：上式即為

10、剛架二階彈性分析的荷載P與側(cè)移角的關(guān)系式，同時(shí)考慮了P-效應(yīng)和P-效應(yīng)。 C、S中體現(xiàn)了P-效應(yīng)的影響，上式分母中最后一項(xiàng)體現(xiàn)了P-效應(yīng)的影響。(a)如果忽略柱軸力P對(duì)抗彎剛度的影響，取C4，S2，（即忽略P-效應(yīng)），且梁柱線剛度比K11.0，則二階彈性分析（只考慮P-效應(yīng)）的近似公式為：(b)如果只考慮一階彈性分析，像結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法求解內(nèi)力那樣，（令公式中的柱軸力P0），可得此時(shí)荷載P與側(cè)移角的關(guān)系： 此時(shí)的側(cè)移角完全由水平力P引起。(c)當(dāng)0時(shí)，由(1)(2)(3)三式的系數(shù)行列式為0，也可得有側(cè)移剛架的分岔屈曲荷載為：將(a)(b)(c)(d)四個(gè)臨界荷載與側(cè)移角的關(guān)系式畫(huà)成曲線形式。

11、(a) 二階分析，考慮P-、P-效應(yīng)； (b) 二階分析，只考慮P-效應(yīng)； (c) 一階彈性分析； (d) 小撓度理論的分岔荷載；(d)(a)(b)(c)(d)可見(jiàn)二階效應(yīng)影響顯著，有側(cè)移剛架中是不能忽略的。彈塑性分析時(shí)極限荷載可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于彈性分析。如圖所示多層剛架，承受水平荷載H和豎向荷載q。一階分析時(shí)，可以分為兩個(gè)過(guò)程計(jì)算，并將兩個(gè)過(guò)程中的各桿彎矩相疊加：b是braced frame的縮寫(xiě)；s是side sway的縮寫(xiě)；5-5 有側(cè)移剛架二階彈性分析近似解二階分析的近似解就是利用一階分析結(jié)果，對(duì)Ms乘以放大系數(shù)2i ：下面來(lái)研究2i的取值。如圖所示懸臂柱的二階彎矩為：把tgu級(jí)數(shù)展開(kāi)：于是

12、得：所以懸臂柱的二階彎矩為對(duì)于懸臂柱：所以利用上述二式相等，得：對(duì)于多層多跨框架時(shí)，可用N代替P，H代替H，則得到鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中的公式：N所計(jì)算樓層各柱軸心壓力之和；H產(chǎn)生層間側(cè)移u的所計(jì)算樓層及以上各層水平力之和；u按一階彈性分析求得的所計(jì)算樓層的層間側(cè)移；h所計(jì)算樓層的高度；假想水平力：notional force用假想水平力考慮實(shí)際框架中必然存在的初始缺陷：如柱子的初傾斜、初彎曲、殘余應(yīng)力和塑性變形等?，F(xiàn)假設(shè)柱子有初傾斜0，則柱底產(chǎn)生附加彎矩Q0，這相當(dāng)于柱頂有一假想水平力Hn，如圖所示。5-6 規(guī)范中假想水平力Hni及內(nèi)力計(jì)算為一百分?jǐn)?shù)，各國(guó)規(guī)范取值不一。我國(guó)新規(guī)范在分析各種情況后，考慮n與框架的層數(shù)和鋼材的屈服點(diǎn)大小的關(guān)系，并參照國(guó)外規(guī)范，?。?其中：y為鋼材強(qiáng)度影響系數(shù)，對(duì)Q235取1.0；Q345取1.1；Q390取1.2；Q420取1.25；ns為框架總層數(shù)。因而得第i層柱頂?shù)募傧胨搅椋何覈?guó)新規(guī)范的二階分析假想水平力取值較有些國(guó)外規(guī)范（如英國(guó)規(guī)范?。貏e是當(dāng)樓層總數(shù)ni較大時(shí)。但我國(guó)規(guī)范規(guī)定Hn