球面三角基本公式

1、球面三角基本公式一、球面三角的基礎(chǔ)知識(shí)天文學(xué)，特別是球面天文學(xué)需要球面三角學(xué)的知識(shí)。球面三角中，常要用到角度和圓弧的度量關(guān)系：從平面三角學(xué)我們知道，一圓周的丄，叫做1度的弧。1度弧的丄叫做136060角分的弧。1角分弧的丄叫做1角秒的弧。60根據(jù)弧和所對(duì)圓心角的關(guān)系，可以得出角的量度。一圓周所對(duì)的圓心角為360。因此，1度的弧所對(duì)的圓心角，叫做1的角；1角分的弧相對(duì)的圓心角，叫做1；1角秒的弧所對(duì)的圓心角，叫做1。1=601=60角和弧的量度單位，常用的有兩種：弧度：長(zhǎng)度和半徑相等的圓弧所對(duì)的圓心角，叫做1弧度(rad)。由于一圓周的長(zhǎng)度等于2n個(gè)圓半徑的弧長(zhǎng)，根據(jù)以上弧度的定義，得到弧度和度

2、的關(guān)系如下：2nrad=3601rad=57.3=3438=206265；2n或者1=1rad57.31=(丄)=rad6034381=()=rad60206265如果一個(gè)角的值以弧度表示時(shí)為9，那么以度表示時(shí)其值為57.3X0；以角分表示時(shí)為3438ZX0；以角秒表示時(shí)為206265X0。為了方便起見，我們用符號(hào)0，0，0表示一個(gè)角的度數(shù)、角分?jǐn)?shù)、角秒數(shù)。0=57.30，0=34380，0=2062650當(dāng)角度很小時(shí)，角度的正弦或正切?？梢越频赜盟鶎?duì)的弧來表示。例如：sin1tan11=1rad206265由此得：1rad=206265=206265sin1根據(jù)相同的理由，得：sin0t

3、an00=q=0sin1206265上式常寫為：0=0sin1球面上的圓：從立體幾何學(xué)得知，通過球心的平面截球面所得的截口是一個(gè)圓，叫做大圓；不通過球心的平面截球面所得的截口也是一個(gè)圓，叫做小圓。通過球面上不在同一直徑兩端的兩個(gè)點(diǎn)，能做并且只能做一個(gè)大圓。例如通過圖F3.1中的任意兩點(diǎn)A和B也僅可以做一個(gè)大圓ABC。A、B兩點(diǎn)間的大圓?。ㄐ∮?80的那段?。┛梢杂镁€長(zhǎng)、也可以用角度計(jì)量，在天文上常用角度來計(jì)量，叫做A、B間的角距，記為AB，它等于大圓弧AB所對(duì)的中心角ZAOBo圖F3.1經(jīng)過球面上任意兩點(diǎn)A、B可做一大圓上圓的極P圖f3.2球面P球面上圓的極：設(shè)ABC為球面上的一個(gè)任意圓I（圖

4、F3.2）,它所在的平面為BC的球直徑，則它的兩個(gè)端點(diǎn)P和P叫做圓ABC的極。如果用一句話來表達(dá)，可以這樣說：垂直于球面上一已知圓（不論大圓或小圓）所在平面的球直徑的端點(diǎn)球面上某一圓的極和這個(gè)圓上任一點(diǎn)的角距，叫做極距。可以證明，極到圓上各點(diǎn)的角距都是相等的；如果所討論的圓是一個(gè)大圓的話，則極距為90。球面角：兩個(gè)大圓弧相交所成的角，叫做球面角。它們的交點(diǎn)叫做球面角的頂點(diǎn)。大圓弧本身叫做球面角的邊。圖F3.3繪出了兩個(gè)相交的大圓弧PA和PB，O為球心，PA所在的平面為POA，PB所在的平面為POB,兩者的交線為OP。MABC,又設(shè)PP為垂直于平做這個(gè)圓的極。球面角ZAPB用POA和POB所構(gòu)成

5、的兩面角來量度。在圖F3.3中做以P為極的大圓QQ，設(shè)場(chǎng)（或其延線）和QQ相交于A乍B（或其延線）和QQ相交于B，則由于P為QQ，的極，所以O(shè)P垂直于平面QQ，因而也垂直于OA，和OB，所以ZA，OB，就是平面POA和POB所構(gòu)成的兩面角。即：球面角ZAPB可以用ZAOB量度，又因?yàn)閆AOB可以用AB以最后得到的球面角ZAPB是以A弧量度的。量度，所00Q!度角的頂點(diǎn)為極作大圓，則球從上面的討論可以概括出下述結(jié)果：面角的邊或其延長(zhǎng)線在這個(gè)大圓上所截取的那個(gè)弧段便是球面角的數(shù)值。球面三角形：把球面上的三個(gè)點(diǎn)用三個(gè)大圓弧聯(lián)結(jié)起來，所圍成的球面三角形。這三個(gè)大圓弧叫做球面三角形的邊，通常用小寫拉丁字

6、母a、b、表示；這三個(gè)大圓弧所構(gòu)成的角叫做球面三角形的角，通常用大寫拉丁字母A、B、C表示，并且規(guī)定：A角和a邊相對(duì)，B角和b邊相對(duì)，C角和c邊圖F3.4所示）。三個(gè)邊和三個(gè)角合稱球面三角形的六個(gè)元素。圖形叫做c相對(duì)（如F3.4球面三角形邊a、b、極三角形：設(shè)球面三角形ABC并設(shè)弧AABB、CC都小于90則由通過A、B/C的大圓弧構(gòu)成的球面三角形ABC叫做原球面三角形的極三角形。極三角形和原三角形有著非常密切的關(guān)系，這種關(guān)系存在著兩條定理。定理1：如果一球面三角形為另一球面三角形的極三角形，則另一球面三角形也為這一球面三角形的極三角形。這條定理很容易證明，請(qǐng)讀者自證。定理2：極三角形的邊和原三

7、角形的對(duì)應(yīng)角互補(bǔ)；極三角形的角和原三角形的極分別為A、B、C，（圖F3.5）,的對(duì)應(yīng)邊互補(bǔ)。但由定理1,A是BC的極，故有DE=A，將此式以及BC=a代人上式，便得到1.1)a+A=180（1.1）式即定理2的前半的證明。定理2的后半不需證明；因?yàn)閷?shí)際上，它只是定理1和定理2的前半的一個(gè)推論。二、球面三角的邊和角的基本性質(zhì)1球面三角形兩邊之和大于第三邊。證明：將球面三角形ABC的頂點(diǎn)和球心O連結(jié)起來（圖F3.6）,由立體幾何得知：三面角的兩個(gè)面角之和大于第三個(gè)面角，即ZAOB+ZBOOZAOC故c+ab。同理a+bc，a+ca。推理：球面三角形兩邊之差小于第三邊。證明：因?yàn)閍，b，c均為正，故

8、a+b+c0，又由立體幾何得知凸多面角各面角之和小于360，因此ZAOB+ZBOC+ZCOA360所以0A+B+C3603球面三角形三角之和大于180而小于540。證明：由極三角形和原三角形的關(guān)系得：a+A=180,b+B=180,c+C=180,即A+B+C=540（a+b+c）cosa=cosbcosc+sinbsinccosA1.2)但根據(jù)定理2有：0Va+b+cV360所以上式化為180VA+B+CV540除了上述三個(gè)基本性質(zhì)以外，還有兩個(gè)重要的基本性質(zhì)；對(duì)于這兩個(gè)性質(zhì)，我們只寫出結(jié)果，而不給出證明。4若球面三角形的兩邊相等，則這兩邊的對(duì)角也相等。反之，若兩角相等則這兩角的對(duì)邊也相等。

9、5在球面三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角。三、球面三角的基本公式下面我們要推導(dǎo)出六個(gè)基本公式，它們?nèi)轻槍?duì)三個(gè)邊都小于90的球面三角形導(dǎo)出的，但是能夠證明所得公式適用于任何球面三角形。1邊的余弦公式取球面三角形ABC,將各頂點(diǎn)與球心。連結(jié)，可得一球心三面角O-ABC（圖F3.7）。:的圖過頂點(diǎn)A做b、c邊的切線，分別C,OB的延長(zhǎng)線于N、M,由此得到兩個(gè)平面直角三角形OAM、OAN和兩個(gè)平面普通三角形OMN、AMN。在平面三角形OMN中，應(yīng)用平面三角的余弦定理，得MN2=OM2+ON2-2OMONco在平面AAMN中，得因此OM2+ON22OMOncosa=AM2+AN22AMANcosA，即

10、2OMOncosa=(ON2AN2)+(OM2AM2)+2AMANcosA=OA2+OA2+2AMANcosA.或OAOAANAMcosa一+cosA.ONOMONOM同理，MN2=AM2+AN-2AMANcosA.AMOAOA將=cosb,=coscONOM代入上式，便得到ANON=sincOM（1.2）式是a邊的余弦公式，其他兩個(gè)邊的余弦公式在形式上和（1.2）式完全一樣，可以用依次輪換邊和角的字母的方法而得出，所以從（1.2）式得到b邊的余弦公式為cosb=cosccosasincsinacosb（1.3）由（1.3）式得到c邊的余弦公式為cosc=cosacosbsinasinbcos

11、c（1.4）（1.2）式、（1.3）和（1.4）式合稱邊的余弦公式，可以用文字表達(dá)為：球面三角形任意邊的余弦等于其他兩邊余弦的乘積加上這兩邊的正弦及其夾角余弦的連乘積。2角的余弦公式設(shè)球面三角形ABC的極三角形為ABC,則按照（1.2）式有cosa=cosbcoscsinbsinccosA因?yàn)閍=180-A,b=180B,c=180C,A=180a所以上式化為cosA=cosBcosCsinBsinCcosa即cosA=cosBcosCsinBsinCcosa（1.5）利用輪換變更字母法，可以得出B角和C角的余弦公式。（1.5）式就是角的余弦公式,可用文字表達(dá)為：球面三角形任一角的余弦等于其它

12、兩角余弦的乘積冠以負(fù)號(hào)加上這兩角的正弦及其夾邊余弦的連乘積。3正弦公式取球面三角形ABC,做球心三面角O-ABC。過C點(diǎn)做OAB平面的垂線交此平面于D（圖F3.8）,再從D向OA、OB引垂線DE，DF。連接CE和CF；由此得四個(gè)平面三角形OEC、OFC、CDE、CDF。因CD垂直于平面OAB,DE丄OA,所以O(shè)A丄CE；同理OB丄CF,因此，四個(gè)平面三角形OEC、OFC、CDE、CDF都是直角三角形，并且有ZCED=A,ZCFD=B。A圖F3.8推導(dǎo)正弦公式的圖從圖F3.8可得sina=CECFsinA=OCCDsinb=CECFsinBOCCD因得皿=泌sinAsinB利用輪換變更字母法，可

13、以得出其它兩個(gè)類似的式子，最后得sina_sinb_sincsinAsinBsinC(1.6)式就是正弦公式，文字表達(dá)為：球面三角形各邊的正弦和對(duì)角的正弦成正比。4第一五元素公式由邊的余弦公式有：cosa=cosbcosc+sinbsinccosAcosb=cosccosa+sincsinacosB第二個(gè)式子可以改寫為：sincsinacosB=cosbcosccosa將第一個(gè)式子代入上式的右邊，得sincsinacosB=cosbcosc(cosbcosc+sinbsinccosA)=cosbcosbcos2csinbsinccosccosA=cosbsin2csinbsinccosCcos

14、A將上式兩端各除以sinc,便得到sinacosB=cosbsincsinbcosccosA同理，得sinacosC=coscsinbsinccosbcosA1.6)1.7)1.8)其他類似的式子可以從(1.7)式或(1.8)式，利用輪換變更字母法得出。(1.7)式或(1.8)式都是第一五元素公式，它具有一定的規(guī)律，但是它的文字表達(dá)式很繁瑣，因此這里不寫出來。5第二五元素公式利用極三角形和原三角形的關(guān)系(定理2)，可以導(dǎo)出下列兩個(gè)公式：sinAcosb=cosBsinC+sinBcosCcosa(1.9)sinAcosc=cosCsinB+sinCcosBcosa(1.10)其它類似的式子可以

15、從(1.9)式或(1.10)式，利用輪換變更字母法得出，(1.9)或(1.10)式都是第二五元素公式。它的文字表達(dá)式也沒有必要寫出來。6四元素公式把第一五元素公式和正弦公式聯(lián)合起來，可以導(dǎo)出球面三角形中相鄰的四個(gè)元素的關(guān)系式，即：cotAsinC=cosCcosb+sinbcota(1.11)cotAsinB=cosBcosc+sinccota(1.12)其他類似的式子，可以從(1.11)式或(1.12)式利用輪換變更字母法得出。四、直角球面三角形有一個(gè)角等于90的球面三角形叫做直角球面三角形。設(shè)球面三角形ABC中,C=90且cosC=0,sinC=l,將它們代入以上各公式，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，可得下列常用的直角三角形公式：cosc=cosacosb，sinb=sincsinB=sina=sincsinA，sinb=tanacotAsina=tanbcotB，cosc=cotAcotB(1.13)cosB=tanacotc，cosA=tanbcotccosB=cosbsinA，cosA=cosasinB聶比爾定則：為了便于記憶這十個(gè)直角三角形