2.2.1綜合法與分析法 (5)

1、普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2人民教育出版社A版2.2.1 綜合法和分析法 (直接證明) 2.2直接證明與間接證明教學目標：1.知識與技能目標：（1）理解綜合法與分析法證明的概念；（2）能熟練地運用綜合法與分析法證明數(shù)學問題.2.過程與方法目標： 通過實例引導學生分析綜合法與分析法的思考過程與特點.3.情感、態(tài)度與價值觀 體會數(shù)學思維的嚴密性、抽象性、科學性.教學重難點重點結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學案例，了解直接證明的兩種基本方法綜合法和分析法；了解綜合法、分析法的思考過程、特點.難點 根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法、分析法的 思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法或把不同的證明方法結(jié)合使用.演繹推

2、理是證明數(shù)學結(jié)論、建立數(shù)學體系的重要思維過程.數(shù)學結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.推 理合情推理（或然性推理）歸納(特殊到一般）類比（特殊到特殊）演繹推理（必然性推理）三段論（一般到特殊）一、復(fù)習引入復(fù)習提問：合情推理得到的結(jié)論是不可靠的，需要證明。數(shù)學中證明的方法有哪些呢？引例:已知a0,b0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc提示 首先，分析待證不等式的特點：不等式的右端是3個數(shù)a,b,c乘積的4倍，左端為兩項之和，其中每一項都是一個數(shù)與另兩個數(shù)的平方和之積.據(jù)此，只要把兩個數(shù)的平方和轉(zhuǎn)化為這兩個數(shù)的積的形式，就能使不等式左、右兩端具有相同的形式.二、新課實施1、綜合法

3、其次，尋找轉(zhuǎn)化的依據(jù)及證明中要用的其他知識：應(yīng)用不等式x2+y22xy就能實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，不等式的基本性質(zhì)是證明的依據(jù). 最后，給出具體證明：由 b2+c2 2ab及條件a0，得a(b2+c2) 2abc；類似地，得b(c2+a2) 2abc.從而有 a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.證明: b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2) 2abc.又 c2+b2 2bc,b0 b(c2+a2) 2abc. a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.探究思考證明過程有什么特點？ 證明過程是從已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等出發(fā)，通過推理推導出所要的結(jié)論.知識要點 一般地，利用已知條件

4、和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.其特點是“由因?qū)Ч? 則綜合法可用框圖表示如下： 用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論. 你能用框圖表示綜合法嗎？例題1 在ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證ABC為等邊三角形分析將A，B，C成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是2B=A+C； 此時，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進一步尋找角和邊之間的關(guān)系，進而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求.于是，可以用余弦定理為工具進行證明.a，b，

5、c成等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為符號語言就是A，B，C為ABC的內(nèi)角，這是一個隱含條件，即A+B+C=180；證明：由A，B，C成等差數(shù)列，有2B=A+C.因為A，B，C為C的內(nèi)角,所以+=180.由a，b，c成等比數(shù)列，有由，得，得由，得由余弦定理及，可得再由，得即因此a=c.從而A=C.由,得所以C為等邊三角形.注意 解決數(shù)學問題時，往往要先做語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等.還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來.不等式： (a0,b0)的證明.動動腦 大家想一想，除了綜合法，還有別的證明方法嗎？2、分析法證明:要證只需證:只需證:只需證:因為: 成立所以

6、 成立 類比綜合法，你能分析一下這個證明的思考過程和特點嗎？ 要證明結(jié)論成立，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.這類證法的特點是: 這就是另一種證明方法分析法.知識要點 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法 特點：執(zhí)果索因. 類似綜合法，我們也可以后框圖來表示分析法：得到一個明顯成立的結(jié)論分析法的適用范圍： 當已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明

7、顯、直接，證明中需要用哪些知識不太明確具體時，往往采用從結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，逐步反推，尋求使當前命題成立的充分條件的方法.注意例題2分析 從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件.證明：只需證展開得只需證因為 和 都是正數(shù)，所以要證只需證2125.因為2125成立，所以 成立.反思 在本例中，如果我們從“2125”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論.但由于我們很難想到從“2125”入手，所以用綜合法比較困難. 請對綜合法與分析法進行比較，說出它們各自的特點.回顧以往的數(shù)學學習，說說你對這兩種證明方法的新認識. 綜合法就是利用已知條件和某些

8、數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結(jié)論成立.分析法最大的特點就是執(zhí)果索因.注意 事實上，在解決問題時，我們把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論 ；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 .若由 可以推出 成立，就可以證明結(jié)論成立.例題3求證:分析 比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有 出現(xiàn)角 ，因此第一步工作可以從已知條件中消去 . 觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)現(xiàn)其中蘊含數(shù)量關(guān)系 ，于是，由(1) (1)-2(2)得 .把它與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名不同. 于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論：統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù)

9、.把結(jié)論轉(zhuǎn)化為 再與 比較，發(fā)現(xiàn)只要把 的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦，就能達到目的.證明：（3）由于上式與相同，于是問題得證.三、鞏固練習證明：a，b，c為不相等正數(shù)，且abc=1,提示此題采用綜合法.1.已知a，b，c為不相等正數(shù)，且abc=1,求證：練一練2.如圖,SA平面ABC,ABBC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證 AFSC.FESCBA提示此題采用分析法.證明:要證AFSC只需證:SC平面AEF只需證:AESC只需證:AE平面SBC只需證:AEBC只需證:BC平面SAB只需證:BCSA只需證:SA平面ABC因為:SA平面ABC成立所以. AFSC成立FESCBA四、課堂小結(jié)1.綜合法的概念： 一般地，利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.2.分析法的概念: 一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法 3.分析法的適用范圍： 當已知條件與結(jié)論之