高三數(shù)學(xué)一元二次不等式的應(yīng)用

1、22一元二次不等式的應(yīng)用一、一元二次方程的解與不等式的解之間的關(guān)系1一般地，ax2bxc0(a0)有_解b24ac0；ax2bxc0(a0)有_解b24ac0；ax2bxc0(a0)_解b24ac0)的根的分布問題：記f(x)ax2bxc，其根的情況、圖像情況、不等式三者關(guān)系如下：二、簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)0用_(或稱數(shù)軸穿根法，根軸法，區(qū)間法)求解，其步驟是：1將f(x)最高次項(xiàng)的系數(shù)化為_數(shù)；2將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或者若干個(gè)_之積；3將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從_依次穿過每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過，奇次方根既穿又過)；4根據(jù)曲

2、線顯現(xiàn)出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出_.四、用一元二次不等式解決實(shí)際問題的操作步驟大致為：1理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；2建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；3解這個(gè)一元二次不等式得到實(shí)際問題的解對(duì)于高次不等式及分式不等式應(yīng)如何解決，并應(yīng)注意些什么問題？1高次不等式也是一種很常見的不等式，在許多問題中都牽涉到解高次不等式另外，許多分式不等式也可以轉(zhuǎn)化為高次不等式，解高次不等式主要使用以下三種方法：以不等式(x3)(x2)(x4)0為例方法一：原不等式可化為幾個(gè)不等式(組)進(jìn)行求解此種方法的本質(zhì)是分類討論，強(qiáng)化了“或”與“且”，進(jìn)一步滲透了“交”與“并”的思想

3、方法方法二：不等式(或方程)有三個(gè)零點(diǎn)，3,2,4，先在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)，這些零點(diǎn)把數(shù)軸分成了若干個(gè)區(qū)間(如下圖)針對(duì)這些區(qū)間，逐一討論各因式的符號(hào)，情況列表如下：從上表可看出(x3)(x2)(x4)0的解集為x|3x4因式x3x2x4(x3)(x2)(x4)當(dāng)x4時(shí)當(dāng)2x4時(shí)當(dāng)3x2時(shí)當(dāng)x3時(shí)方法三：先在數(shù)軸上標(biāo)出零點(diǎn)(如下圖)根標(biāo)出來后，不是分區(qū)間進(jìn)行驗(yàn)證討論，而是直接標(biāo)出綜合因式(x3)(x2)(x4)的正負(fù)號(hào)，再根據(jù)題目要求，直接寫出解集為x|3x4注：這種方法常稱為“數(shù)軸標(biāo)根法”這種方法的本質(zhì)是“列表討論法”的簡(jiǎn)化及提煉這樣的“線”也可看成是函數(shù)y(x3)(x2)(x4)的圖像草圖(y

4、軸未畫)利用數(shù)軸標(biāo)根法要先把x的系數(shù)化為正數(shù)，最好是1，否則很容易寫錯(cuò)結(jié)論通過以上四種形式之一轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式或特殊高次不等式求解.二次函數(shù)是主體，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)值為零和不為零的兩種情況，一般討論二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究，而討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：例1m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程：(m1)x22(2m1)x(13m)0(1)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根；(2)有兩個(gè)實(shí)根，且它們之和為非負(fù)數(shù)變式訓(xùn)練1若0 x1，yx22axa21，求當(dāng)a為

5、何實(shí)數(shù)值時(shí)，恒有y0.解析：解法1：二次函數(shù)yx22axa21的二次項(xiàng)系數(shù)為1，所以它的圖像開口向上，如右圖所示令y0，可得圖像與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1a1，x2a1且x10.由圖可知x11或x21或a12或a0，則x22axa210.方程x22axa210的兩根為a1、a1.且a1a1或xa1.依題意可得a11，即a2.對(duì)分子分母含x的因式的不等式，先把不等式右邊化為0，再通過符號(hào)法則，把它轉(zhuǎn)化成整式不等式來解，從而使問題化繁為簡(jiǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)型p(x)(xx1)(xx2)(xxn)v0(這里的v表示或)再利用穿根法寫出解集，其穿根的步驟：(1)分解因式；(2)確定零點(diǎn)；(3)在數(shù)軸上按照從小到大的順

6、序標(biāo)根；(4)當(dāng)最高次項(xiàng)的系數(shù)為正時(shí)，右起為正(其中奇過偶不過)進(jìn)行穿根(2)先化簡(jiǎn)不等式得x(x22x8)0，分解因式，得x(x2)(x4)0.如右圖所示，由穿針引線法可知原不等式的解集為(，2)(0,4)變式訓(xùn)練3解下列不等式(1)x32x230；(2)x(x1)2(x1)3(x2)0.解析：(1)原不等式轉(zhuǎn)化為：(x1)(x23x3)0恒成立(3)2120)，原不等式等價(jià)于x10.原不等式的解集為：x|x1(2)各因式的根分別為0,1，1，2，其中1為雙重根，1為3重根(1為偶次根，1為奇次根)，結(jié)合圖示，可得不等式解集為x|2x1或x0分析：(1)根據(jù)方程根的意義，列方程組求解(2)解

7、含有參數(shù)k的分式不等式關(guān)鍵是搞清引起分類討論的原因m的取值范圍是m0對(duì)任意的x恒成立，則只需m2x28x6對(duì)任意的x恒成立2x28x62(x2)222，2x28x6在xR上最小值為2，m2.變式訓(xùn)練5當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式x2mx40恒成立，則m的取值范圍是_解析：設(shè)f(x)x2mx4，因?yàn)楫?dāng)x(1,2)時(shí)，不等式x2mx412，005x0.005x210，分別求解，得的解集為x30，得的解集為x40.由于x0，從而可得x甲30 km/h，x乙40 km/h.又因?yàn)楫?dāng)x甲40時(shí)，s甲20 m比12 m大得多，所以甲車車速?zèng)]有超過40 km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任變式訓(xùn)練8若二

8、次函數(shù)yx2mx1的圖像與兩端點(diǎn)為A(0,3)，B(3,0)的線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍； 霍山米斛 霍山石斛 orz70msr 正懷里，跑過來扶住她的胳膊，說：“大嫂，我們就是你和大哥七年半以前曾經(jīng)留宿，照顧過的那落難的仨兄妹??！大嫂你別激動(dòng)，我們進(jìn)屋里慢慢說話！”大嫂怎么能不激動(dòng)呢，由耿英扶著一邊往屋里走，一邊就在淌眼淚了。她激動(dòng)地絮叨著：“妹子，我不是在做夢(mèng)吧？我做了很多回像這樣的夢(mèng)呢！醒了就和你們大哥說，不知道你們到了景德鎮(zhèn)以后怎么樣了。你們那么小，多不容易?。　闭f著話，大家一起進(jìn)了屋里。大哥和大嫂讓兄妹三人坐下，趕快忙著沏茶。耿英對(duì)大嫂說：“嫂子你就甭忙活了，快坐著吧，

9、我來幫大哥沏茶！”大嫂說：“沒事兒，動(dòng)一動(dòng)好。都是你們大哥，非要我歇著，哪里用得著呢！”屋里非常寬敞明亮。一張頗大的八仙桌擺在起居室的中間，旁邊放著六把漂亮的銅漆木椅。靠里邊的一側(cè)放了一個(gè)酒柜，另一側(cè)擺了一個(gè)臺(tái)桌，桌上放了水罐，旁邊是一盤茶具，上面蓋著雪白的臺(tái)布。在正面墻上還掛了一幅氣勢(shì)磅礴的山水畫。泡上茶后，大嫂問：“你們一直在景德鎮(zhèn)？看來情況實(shí)在是很好呢！對(duì)啦，你們叫什么名字，家住哪里？好多的話都還沒有問呢！”耿直搶先將他感覺最重要的說了出來：“我們也姓耿，哥哥叫耿正、姐姐叫耿英、我叫耿直”耿英接著說：“我們是從杭州返回來的，要回老家山西”看耿大業(yè)夫婦聽得直瞪眼兒，耿正趕快伸手示意弟弟和妹

10、妹都不要再說下去了。他說：“你倆這樣沒頭沒腦地?fù)屩f不好，讓我來慢慢說給大哥大嫂聽吧！對(duì)啦，我們先把帶來的禮物交給大哥大嫂！”耿直聽了，趕快打開放在身邊的大皮箱。耿正把紅漆木匣子取出來放在八仙桌上，耿大業(yè)夫婦幾乎同時(shí)問：“兄弟，你這是”耿正把木匣子輕輕揭開，將里面紅綢襯墊上安放著的那個(gè)制作工藝非常精美的大元寶雙手捧起來，恭恭敬敬地送到大哥大嫂的面前，說：“這個(gè)元寶是專門為大哥大嫂定制的，她既代表了我們兄妹三人的一點(diǎn)兒小小的心意，更表達(dá)了我們對(duì)大哥大嫂慈善仁厚高尚品德的崇高敬意，請(qǐng)大哥大嫂收下！”耿大業(yè)夫婦接過來仔仔細(xì)細(xì)看過幾遍，眼含熱淚說：“如此貴重的禮物我們?cè)趺纯梢越邮苣?？”耿英說：“禮物再貴重，也比不上大哥大嫂在我們最艱難的時(shí)候，給予我們的關(guān)愛和叮囑那樣彌足珍貴！”耿直也說：“大哥大嫂仁慈的心和語(yǔ)重心長(zhǎng)的話，支撐著我們走過了那段最難的歲月，那