概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第八章 假設(shè)檢驗

1、第八章 假設(shè)檢驗1如何利用樣本值對一個具體的假設(shè)進(jìn)行檢驗?假設(shè)推斷原理:“一個小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的”.假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出判斷: 是接受, 還是拒絕.處理假設(shè)檢驗要做兩件事：1）確定一個檢驗統(tǒng)計量，它的值決定于樣本值；2）確定一個否定域（拒絕域），它是檢驗統(tǒng)計量的值的集合.8.1 假設(shè)檢驗的基本原理2實例 某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖, 包得的袋裝糖重是一個隨機變量, 它服從正態(tài)分布. 當(dāng)機器正常時, 其均值為0.5千克, 標(biāo)準(zhǔn)差為0.015千克.某日開工后為檢驗包裝機是否正常, 隨機地抽取它所包裝的糖9袋, 稱得凈重為(千克): 0.497 0.506

2、0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512問機器是否正常? 分析:由長期實踐可知, 標(biāo)準(zhǔn)差較穩(wěn)定, 由此，機器工作是正常的： 機器工作不正常：3問題:根據(jù)樣本值判斷提出兩個對立假設(shè)利用已知樣本作出判斷：是接受假設(shè) H0 (拒絕假設(shè) H1) , 還是拒絕假設(shè) H0 (接受假設(shè) H1).如果作出的判斷是接受 H0, 即認(rèn)為機器工作是正常的, 否則, 認(rèn)為是不正常的.由于要檢驗的假設(shè)涉及總體均值, 故可借助于樣本均值來判斷.問題分析: 那么，如何判斷原假設(shè)H0 是否成立呢？因此，可以根據(jù) 與 的差距來判斷H0是否成立.4較小時，可以認(rèn)為H0是成立的；當(dāng)- |當(dāng)

3、較大時，應(yīng)認(rèn)為H0不成立，即生產(chǎn)已不正常.- |問題轉(zhuǎn)化為: 較大、較小是一個相對的概念，合理的界限在何處? 應(yīng)由什么原則來確定？若H0成立，則偏離 不應(yīng)該太遠(yuǎn),取較大值是小概率事件.問題:若H0成立，則5小概率事件在一次試驗中基本上不會發(fā)生 .于是可以選定一個適當(dāng)?shù)恼龜?shù)c, 使得：6在 中的點z為N(0, 1)分布的上分位點。PX z = ,xz1z0(1) 滿足條件z= -z1即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點設(shè)X N(0, 1)，對給定的 (01）(2)滿足條件的點 為N(0, 1)分布的雙側(cè)分位點。x01- 7由：于是拒絕假設(shè)H0, 認(rèn)為包裝機工作不正常.8以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的.

4、9(1) 原假設(shè)與備擇假設(shè)假設(shè)檢驗問題通常敘述為（以總體均值假設(shè)檢驗為例）:(2) 否定域(拒絕域) 當(dāng)檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域W 中的值時, 我們拒絕原假設(shè)H0, 則稱區(qū)域 W 為否定域(拒絕域).假設(shè)檢驗的相關(guān)概念10(3). 兩類錯誤 假設(shè)檢驗的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗中很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生, 因而假設(shè)檢驗所作出的結(jié)論有可能是錯誤的. 這種錯誤有兩類:a) 當(dāng)原假設(shè)H0為真, 觀察值卻落入否定域, 而作出了拒絕H0的判斷, 稱做第一類錯誤, 又叫棄真錯誤, 這類錯誤是“以真為假”. 犯第一類錯誤的概率是顯著性水平b) 當(dāng)原假設(shè) H0 不真, 而觀察值卻落入接受域, 而作出

5、了接受 H0 的判斷, 稱做第二類錯誤, 又叫取偽錯誤, 這類錯誤是“以假為真”. 11正確正確假設(shè)檢驗的兩類錯誤H0 為真H0 為假真實情況所作判斷接受 H0拒絕 H0第一類錯誤(棄真)第二類錯誤(取偽)犯第二類錯誤的概率記為 當(dāng)樣本容量 n 一定時, 若減少犯第一類錯誤的概率, 則犯第二類錯誤的概率往往增大. 若要使犯兩類錯誤的概率都減小, 除非增加樣本容量.12(4). 顯著性檢驗 只對犯第一類錯誤的概率加以控制, 而不考慮犯第二類錯誤的概率的檢驗, 稱為顯著性檢驗.關(guān)于零假設(shè)與備擇假設(shè)的選取在控制犯第一類錯誤的概率的原則下, 使得采取拒絕H0 的決策變得較慎重, 即H0得到特別的保護.

6、因而,通常把有把握的、有經(jīng)驗的結(jié)論作為原假設(shè), 或者盡可能使后果嚴(yán)重的錯誤成為第一類錯誤.注13(5) 雙邊假設(shè)檢驗(6) 右邊檢驗與左邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗.14(7) 單邊檢驗的拒絕域15假設(shè)檢驗的一般步驟3). 確定檢驗統(tǒng)計量以及否定域形式;16例 某廠生產(chǎn)的螺釘, 按標(biāo)準(zhǔn)強度為68N/mm2, 而實際生產(chǎn)的強度X服N(, 3.62 ). 若E(X)=68, 則認(rèn)為這批螺釘符合要求, 否則認(rèn)為不符合要求. 現(xiàn)從整批螺釘中取容量為36的樣本,其均值為 , 問螺釘是否符合要求?（取 ）提出假設(shè):解析：H1 : 68H0 : = 68若原假設(shè)正確, 則因而 偏離68不應(yīng)該太遠(yuǎn),

7、故取較大值是小概率事件.可以確定一個常數(shù)c 使得因此,17由 (實際上沒理由拒絕)?，F(xiàn)落入接受域,則接受原假設(shè)即區(qū)間( , 66.824 ) 與 ( 69.18, + )為檢驗的拒絕域稱 的取值區(qū)間(66.824, 69.18)為檢驗的接受域H0: = 68取 , 則18P(拒絕H0|H0為真)犯第一類錯誤的概率H0不真, 即 68, 可能小于68, 也可能大于68, 的大小取決于 的真值的大小.犯第二類錯誤的概率 = P(接受H0|H0不真)19設(shè) 若20仍取=0.05,則由可以確定拒絕域為 ( , 67.118 ) 與 ( 68.882, + )因此，接受域為(67.118, 68.882

8、)現(xiàn)增大樣本容量, 取n = 64, = 66, 則2122解例2324作業(yè): 31. 均值的假設(shè)檢驗2. 方差的假設(shè)檢驗8.2 正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗251. 方差2已知情況下1) 假設(shè) H0： = 0; H1： 0 構(gòu)造Z統(tǒng)計量 由 雙邊檢驗 如果統(tǒng)計量的觀測值 則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)確定否定域 H0為真的前提下 Z 檢驗法總體N(, 2)均值的檢驗262) 假設(shè) H0: 0; H1: 0 選擇統(tǒng)計量并令H0若成立，即0 ，則因為對于給定的，可查表得臨界值z使所以右邊檢驗 即有這說明如果H0成立，事件 是小概率事件因此， H0的拒絕域為 。左邊檢驗的拒絕域可類似獲得2. 方差2

9、未知的情況下1) 假設(shè) H0： = 0；H1： 0 雙邊檢驗 由于2未知，現(xiàn)在不能利用 來確定否定域了。 構(gòu)造t統(tǒng)計量 由 確定否定域 如果統(tǒng)計量的觀測值 則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè) 28t檢驗法H0： =0；H1： 0,H0： 0 ；H1： 0, 由 Pt t(n 1) =, 得顯著性水平為的拒絕域為t t(n1)2) 假設(shè)右邊檢驗 或H0： =0 ；H1： 0H0： 0 ；H1： 1020 檢驗統(tǒng)計量：比較：計算的z = 2.4 z = 1.645判斷：拒絕H0，接受H1，即這批產(chǎn)品的壽命確有提高。例 根據(jù)以往的資料，某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的使用壽命服從正態(tài)分布N(1020, 1002)，并設(shè)方

10、差穩(wěn)定?，F(xiàn)從最近生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取16件，測得樣本平均壽命為1080小時。問這批產(chǎn)品的使用壽命是否有顯著提高（顯著性水平：0.05）？解:例 某廠生產(chǎn)鎳合金線，其抗拉強度的均值為10620 (kg/mm2)今改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批鎳合金線，抽取10根, 測得抗拉強度(kg/mm2)為: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670.認(rèn)為抗拉強度服從正態(tài)分布, 取 = 0.05 ,問新生產(chǎn)的鎳合金線的抗拉強度是否比過去生產(chǎn)的合金線抗拉強度要高?解: H0：=10620；H1：10620由Pt t0.05

11、(9) = 0.05, 得拒絕域為t t0.05(9) = 1.8331這里接受H0例 設(shè)正品鎳合金線的抗拉強度服從均值不低于10620 (kg/mm2)的正態(tài)分布, 今從某廠生產(chǎn)的鎳合金線中抽取10根,測得平均抗拉強度10600 (kg/mm2), 樣本標(biāo)準(zhǔn)差為80. 問該廠的鎳合金線的抗拉強度是否不合格? ( = 0.1) 解: H0：10620；H1：10620由Pt -t0.1(9) = 0.1, 得拒絕域為t -t0.1(9) = -1.383這里接受H0假設(shè) 1. 均值已知的情況下雙邊檢驗 總體N(, 2)方差2的檢驗構(gòu)造2統(tǒng)計量 由 否定域 當(dāng)H0 成立時確定臨界值 如果統(tǒng)計量的

12、觀測值 則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè) 或 372檢驗法假設(shè) 2. 均值未知的情況下雙邊檢驗 我們?nèi)∮捎赟2是2的無偏估計，當(dāng) H0 為真時 ，比值S2/2一般來說應(yīng)在1附近擺動，而不應(yīng)過分大于1或過分小于1。由于當(dāng) H0 為真時,作為檢驗統(tǒng)計量。38由 如果統(tǒng)計量的觀測值 則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)。 確定臨界值 或 39例 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池, 其壽命長期以來服從方差 2 = 5000 (小時2) 的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批這種電池, 隨機地取26只電池, 測出其壽命的樣本方差s2 = 9200(小時2). 問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化?解否定域為:40認(rèn)為這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化.41小結(jié)真實情況(未知)所 作 決 策接受H0拒絕H0H0為真正確犯第I類錯誤H0不真犯第II類錯誤正確假設(shè)檢驗的兩類錯誤