三垂線定理復(fù)習(xí)

1、三垂線定理(04高考復(fù)習(xí))復(fù)習(xí)目標(biāo)：三垂線定理是反映三種垂直之間關(guān)系定理，要求熟練掌握三垂線定理及逆定理，并據(jù)此能夠進(jìn)行推理、論證和解決有關(guān)問(wèn)題。 一、引例：如圖，已知PA平面ABC，ABC=90，求證：BCPB。思考：（1）證明線線垂直的方法有哪些？（2）三垂線定理及其逆定理的主要內(nèi)容。 證明：PA平面ABC，BC在平面ABC內(nèi)，PABC，又ABC=90， BCAB，BC平面PAB，PB在平面PAB內(nèi)，BCPB線線垂直的方法 ：（1）a ,b在 內(nèi)，則ab（2）ab，mb，則am （3）三垂線定理及其逆定理三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線

2、垂直。三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面內(nèi)的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。PAOa三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？線射垂直PAOa線面垂直 線斜垂直PAOa直 線 和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直線射垂直線斜垂直PAOaPAOa平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理和其逆定理？三垂線定理的逆定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂

3、直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直 線斜垂直 定 理逆定理二、定理內(nèi)容闡述：1、三垂線定理包括5個(gè)要素：一面(垂面)；四線（斜線、垂線、射影和平面內(nèi)的直線。 順口溜：一定平面，二定垂線，三找斜線，射影可見(jiàn)，直線隨便。2、“三垂線”的含義：（1）垂線與平面垂直（2）射影與平面內(nèi)的直線垂直（3）斜線與平面內(nèi)的直線垂直“一面四線”的不同情況三、鞏固性練習(xí)：1、若一條直線與平面的一條斜線在此平面上的射影垂直，則這條直線 與斜線的位置關(guān)系是（ ）（A）垂直 （B）異面 （C）相交 （D）不能確定2、在一個(gè)四面體中，如果它有一個(gè)面是直角三角形，那么它的另外三個(gè)面（ ）（A）至多只能有一個(gè)直角三角形 （

4、B）至多只能有兩個(gè)直角三角形（C）可能都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形DC四、例題分析：例1：如圖所示，已知PA 平面ABC，ACB= 90， AQPC，ARPB，試證PBC、 PQR為直角三角形。證明：PA平面ABC，ACB= 90， ACBC，AC是斜線PC在平面ABC的射影，BCPC（三垂線定理），PBC是直角三角形；BC平面PAC，AQ在平面PAC內(nèi)，BCAQ，又PCAQ，AQ平面PBC，QR是AR在平面PBC的射影，又ARPB，QRPB（三垂線逆定理）， PQR是直角三角形。小結(jié)：凡是能夠使用三垂線定理或逆定理證明的結(jié)論，都能由線面垂直的性質(zhì)來(lái)證明，而我們的目標(biāo)應(yīng)該是能夠熟悉

5、這兩個(gè)定理的直接應(yīng)用。例題2、空間四邊形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求證：AC BD。證明：如圖，若AB是平面BCD的斜線，過(guò)A作AO平面BCD于O，連結(jié)BO，ABCD，CDBO（三垂線逆定理），同理可得BCOD，則O為BCD的垂心，BDOC，OC是AC的射影，BDAC（三垂線定理）。若AB 平面BCD，垂線即是AB，由條件BCAD，則BCBD（三垂線逆定理），而B(niǎo)C是AC的射影， BDAC（三垂線定理）小結(jié)：運(yùn)用三垂線定理及逆定理，必然要涉及平面的斜線，此題的討論是必要的。例題3、如圖示，已知DB、EC都垂直于正三角ABC所在的平面，且BC=EC=2DB，求平面ADE與平面A

6、BC所成二面角的平面角。F解：延長(zhǎng)ED、BC交于F，連AF，則AF為二面角的棱，由已知DB、EC都垂直正三角ABC， DB/EC，又BC=EC=2DB FB=BC=AB， FAC為Rt ，且FAAC，而EC 平面ABC， AFAE（三垂線定理），于是EAC為平面ABC與平面ADE的平面角，又EC=AC， EAC= 45， 二面角的平面角為45。 思考：本題還可以用什么方法求二面角的平面角？（用 ）小結(jié)：求二面角往往是作出二面角的平面角，先確定二面角的棱，再設(shè)法過(guò)棱上一點(diǎn)在二面角的二個(gè)半平面上做棱的兩條垂線以找到平面角，從而轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決。作二面角的平面角的方法有（1）定義法，（2）三垂線

7、定理法，（3）作垂面法。此外射影面積定理也是求二面角大小的一種常用方法。(學(xué)習(xí)空間向量之后,我們還有另外的方法來(lái)求二面角,例如法向量法等.)例題4、直角三角形ABC中，B= 90， C= 30，D是BC的中點(diǎn)，AC=2，DE平面ABC且DE=1，求E到斜線AC的距離？解：過(guò)點(diǎn)D作DF AC于F，連結(jié)EF， DE平面ABC，由三垂線定理知EFAC，即E到斜線AC的距離為EF，在Rt ABC中， B= 90，C= 30，AC=2， BC=，DFAC， 在Rt EDF中 為所求小結(jié)：求點(diǎn)到直線的距離，常運(yùn)用三垂線定理（或逆定理）把垂線段作出，按“一作、二證、三計(jì)算”的步驟求解。方法規(guī)律：三垂線定理及

8、其逆定理的應(yīng)用：（1）證明兩條異面直線垂直；（2）確定二面角的平面角；（3）確定點(diǎn)到直線的垂線段。運(yùn)用定理時(shí)要習(xí)慣非常規(guī)位置圖形上的應(yīng)用，不能只習(xí)慣于水平放置的平面上運(yùn)用。能力拓展：1、如圖所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ACB= 90，BAC=30，BC=1， ，M是CF的中點(diǎn)，求證AEDM。證明：連結(jié)AF， Rt AFC Rt MDF， AFC= MDF ， DMF+AFC=DMF+MDF= 90， DM AF，又ABC-DEF為直三棱柱， CFEF，又EFDF， EF平面AF，由三垂線定理知AEDM能力拓展：2、過(guò)Rt BPC的直角頂點(diǎn)P作線段PA 平面BPC，求證： ABC的垂心

9、H是P點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影。證明：H是ABC的垂心，連結(jié)AH延長(zhǎng)交BC于D，連結(jié)BH延長(zhǎng)交AC于E，ADBC，BEAC，AP平面PBC，BCPD，ADPD=D，BC平面ADP，BCPH，又AP面PBC，APPB，由已知BPPC，PB面APC，又BEAC，PEAC，AC面PBE，PHAC，ACBC=C，PH面ABC，H是P點(diǎn)在平面ABC的射影。1.直接利用三垂線定理證明下列各題：(1) PA正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)求證：POBD，PCBD(3) 在正方體AC1中，求證：A1CB1D1，A1CBC1(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BCAMA D

10、 C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1) PA正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：POBD，PCBDPOABCD證明:ABCD為正方形 O為BD的中點(diǎn) AOBD又AO是PO在ABCD上的射影POBD 同理，ACBD AO是PO在ABCD上的射影PCBDPMCAB(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中點(diǎn)， 求證：BCAMBCAM證明: PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM BCPA平面PBCPM是AM在平面PBC上的射影(3) 在正方體AC1中，求證：A1CBC1 ， A1CB1D1 在正方體AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1

11、C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 C B A1B1 C1A D D1證明： C B A1B1 C1A D D1同理可證， A1CB1D1由三垂線定理知 A1CBC1 若a是平面的斜線，直線b垂直于 a在平面內(nèi)的射影，則 ab （ ）若a是平面的斜線,b,直線 b垂直于a在平面內(nèi)的射影， 則 ab （ ）若a是平面的斜線，直線b 且b垂直于a在另一平面內(nèi)的射 影則ab （ ）若 a是平面的斜線，平面內(nèi) 的直線b垂直于a在平面內(nèi)的射 影，則 ab （ ）2.判斷下列命題的真假：面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 垂線 bADCBA1D1C1B1面ABCD 面面B1BCC1面直線

12、A1C 斜線 a直線AB 垂線 b面ABCD 面直線A1C 斜線 a直線B1B 垂線 b已知：BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：BAO=CAO分析： 要證 BAO=CAO只須證OE=OF, OEAB,OFACP C B A O F E ?證明： PO OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影 PE=PF OE=OF由OE是PE的射影且PEABOEAB同理可得OFAC結(jié)論成立 3. 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。4. 在四面體ABCD中，已知ABCD，ACBD求證：ADBCDOBC，于是ADBC.證明：作AO平面BCD于點(diǎn)O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，1. 在正方體AC1中，E、G分別是AA1和CC1的中點(diǎn)， F在AB上，且C1EEF，則EF與GD所成的角的大小為（ ）(A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90DF A D C B A1D1