《導數(shù)的幾何意義》(新人教A版選修)課件

1、3.1導數(shù)的幾何意義7/27/2022先來復習導數(shù)的概念 定義：設函數(shù)y=f(x)在點x0處及其附近有定義,當自變量x在點x0處有改變量x時函數(shù)有相應的改變量y=f(x0+ x)- f(x0).如果當x0 時,y/x的極限存在,這個極限就叫做函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)(或變化率)記作 即:7/27/2022 瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù). 是函數(shù)f(x)在以x0與x0+x 為端點的區(qū)間x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均變化率,而導數(shù)則是函數(shù)f(x)在點x0 處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度 如果函數(shù)y=f(x)在點x=x0存在導數(shù),就說函數(shù)y=f(x

2、)在點x0處可導,如果極限不存在,就說函數(shù) f(x)在點x0處不可導.7/27/2022 由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負. 自變量的增量x的形式是多樣的,但不論x選擇 哪種形式, y也必須選擇與之相對應的形式.7/27/2022下面來看導數(shù)的幾何意義: y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點,Q(x0+x,y0+y)為P鄰近一點,PQ為C的割線,PM/x軸,QM/y軸,為PQ的傾斜角.斜率!7/27/2022PQox

3、yy=f(x)割線切線T請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況.7/27/2022 我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即x0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線. 設切線的傾斜角為,那么當x0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即: 這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在x=x0處的導數(shù).7/27/2022例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點處的切線方程的

4、基本步驟:先利用切線斜率的定義求出切線的斜率,然后利用點斜式求切線方程.7/27/20227/27/20227/27/2022練習:如圖已知曲線 ,求:(1)點P處的切線的斜率; (2)點P處的切線方程. yx-2-112-2-11234OP即點P處的切線的斜率等于4. (2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.7/27/2022在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)什么是導函數(shù)?由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當時,f(x0) 是一個確定的數(shù).那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).即:7/27/2022如何求函數(shù)y=f

5、(x)的導數(shù)?7/27/2022看一個例子:7/27/2022下面把前面知識小結(jié):a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù) 學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義了解認識這一概念的實質(zhì)，學會用事物在全 過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。 b.要切實掌握求導數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增 量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù)。7/27/2022（3）函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù) 就是導函數(shù) 在x=x0處的函數(shù)值，即 。這也是 求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。 小結(jié):（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的, 就是函數(shù)f(x)的導函數(shù) 。（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個 常數(shù)，不是變數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。7/27/2022（1）求出函數(shù)在點x0處的變化率 ，得到曲線 在點(x0,f(x0)的切線的斜率。（2）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即d