數(shù)學與金融剖析課件

1、27 七月 2022第六講 數(shù)學與金融引言金融數(shù)學是一門新興的邊緣科學，是數(shù)學與金融學的交叉。它是在兩次華爾街革命的基礎上產(chǎn)生和發(fā)展起來的，其核心問題是不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資策略的選擇理論和資產(chǎn)的定價理論。今天我們將簡述了金融數(shù)學的主要內(nèi)容，并展望了其進一步發(fā)展的前沿課題及前景。簡單地說，金融數(shù)學就是用數(shù)學的方法解決金融問題。在金融數(shù)學的發(fā)展史上，一些諾貝爾經(jīng)濟學獎的獲獎工作，對金融數(shù)學的研究起著決定性的作用?？梢哉f，金融數(shù)學的主流研究方向就是以這些獲獎工作為基礎的。 1990年諾貝爾經(jīng)濟獎授予H.Markowitz，W.Sharpe 和M.Miller，獎勵他們在金融經(jīng)濟學中的先驅(qū)工作H.M

2、arkowitz 的投資組合理論、W.Sharpe的 資本資產(chǎn)定價理論M.Miller 的公司財務理論。諾貝爾經(jīng)濟獎簡介（1）注H.Markowitz 在資產(chǎn)組合選擇一文中，第一次從風險資產(chǎn)的收益率和風險之間的關系出發(fā)，討論了不確定經(jīng)濟環(huán)境中最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇問題。 其主要成就是將大量的不同資產(chǎn)的投資組合選擇的復雜的多維問題，簡化為平衡兩個因素，即投資組合的期望回報及其方差，最終化為一個概念清晰的、簡單的二次規(guī)劃問題，即均值方差分析；并且給出了最優(yōu)投資組合問題的實際計算方法。W.Sharpe 的資本資產(chǎn)定價理論，在較強的市場假設下，給出了Markowitz 均值方差模型的均衡版本，即資本資產(chǎn)定

3、價模型。（CAPM）2 其主要貢獻是在有價證券理論方面對不確定條件下金融決策的規(guī)范分析，以及資本市場理論方面關于以不確定性為特征的金融市場的實證性均衡理論。馬克維茨的分析方法進一步發(fā)展為著名的資本資產(chǎn)定價模型，用來說明在金融市場上如何建立反映風險和潛在收益有價證券價格。M.Miller的公司財務理論（1958）主要研究資本結(jié)構(gòu)與其企業(yè)市場價值的關系。 Miller在資本成本、公司理財和投資理論論文中證明，在一定假設下，企業(yè)的市場價值與其資本結(jié)構(gòu)無關。傳統(tǒng)觀念認為，公司的價值與其資本結(jié)構(gòu)有內(nèi)在關系，Miller的結(jié)論與傳統(tǒng)觀念大相徑庭，一經(jīng)提出就引起了廣泛的爭議。從50年代末到60年代末，經(jīng)過一

4、輪唇槍舌戰(zhàn)的辯論之后，Miller的公司財務理論開始盛行于財務學界，逐步確定它在學術界的主流地位。 1997年諾貝爾經(jīng)濟獎授予R.Merton和M.Schole, 以獎勵他們和F.Black在確定衍生證券價值方法方面的貢獻，也就是關于期權定價的著名的Black-Sholes公式。諾貝爾經(jīng)濟獎簡介（2）注 1973年，M.Scholes與已故的經(jīng)濟學家F.Black發(fā)表期權定價和公司債務一文，給出了期權定價的Black-Sholes公式。指出期權價格僅依賴于股票價格的波動量、無風險利率、期權到期時間、執(zhí)行價格、股票時價. 其主要貢獻是提出用標的股票和無風險資產(chǎn)構(gòu)造的投資組合的收益來復制期權的收益

5、。這一復制法則的重要性在于，它告訴人們可以利用已存在的證券來復制符合于某種投資目的的新的證券品種，這成為金融機構(gòu)設計新的金融產(chǎn)品的思想方法。注1973年R.Merton在經(jīng)濟和管理科學雜志上發(fā)表了理性期權定價理論的文章，對Black-Sholes公式的假定條件做了進一步削弱，在許多重要方面都對Black-Sholes的研究做了推廣 Merton對Black-Sholes原用的分析方法進行了改進，以股價變動的跳躍過程而不是擴散過程為出發(fā)點，也就是認為股價變動是不連續(xù)的，可以從一個價格跳到另一個價格而不經(jīng)歷其間的價格這樣推導出的公式更加現(xiàn)實注2003年度諾貝爾經(jīng)濟學獎授予Robert F.Engl

6、e和 Clive Granger。 令Engle 摘取桂冠的是他于1982年提出的ARCH模型。 Granger因為時間序列的協(xié)整分析方法而獲獎,他的貢獻將用于研究財富與消費、匯率與物價水平、以及短期與長期利率之間的關系。諾貝爾經(jīng)濟獎簡介（3） 對收益率的建模研究一直在計量經(jīng)濟學中占據(jù)很重要的位置。顯然對于一階矩的刻畫是比較容易的,所以人們將注意力都放在了對二階矩的建模上,也就是對收益率波動的計量建模。為了尋求對股票市場價格波動行為更為準確的描述和分析方法,許多金融學家嘗試了不同的模型。其中, Engle于1982年提出的ARCH模型,被認為是最集中反映了方差變化特點而被廣泛應用于金融數(shù)據(jù)時間

7、序列分析的模型。20世紀70年代以前計量經(jīng)濟學的建模方法都是以經(jīng)濟變量平穩(wěn)這一假設條件為基礎。但在實際中,許多經(jīng)濟指標的時間序列都是非平穩(wěn)的,并不具有固定的期望值,并且呈現(xiàn)出明顯的趨勢性和周期性。經(jīng)濟變量表現(xiàn)出的非平穩(wěn)性使傳統(tǒng)建模遇到了前所未有的困難。格蘭杰注意到某些經(jīng)濟變量之間似乎不會存在任何均衡關系,但若干個非平穩(wěn)經(jīng)濟時間序列的某種線性組合卻有可能是平穩(wěn)序列。提出了協(xié)整的概念及其方法。所謂協(xié)整,是指多個非平穩(wěn)經(jīng)濟變量的某種線性組合是平穩(wěn)的。目前,協(xié)整分析已成為處理非平穩(wěn)金融、經(jīng)濟變量相依關系的行之有效的方法。 本文主要介紹投資組合理論Ross套利定價理論衍生證券的定價理論二杈樹模型Blac

8、k-Sholes模型ARCH模型及其應用利率期限結(jié)構(gòu)理論公司資本結(jié)構(gòu) 保險精算學簡介1.投資組合理論簡介在投資活動中，人們發(fā)現(xiàn)，投資者手中持有多種不同風險的證券，可以減輕風險帶來的損失，對于投資若干種不同風險與收益的證券形成的證券組稱為證券投資組合。證券投資組合的原則是，組合期望收益愈大愈好，組合標準差愈小愈好，但在同一證券市場中，一般情形是一種證券的平均收益越大，風險也越大，因而最優(yōu)投資組合應為一個條件極值問題的解，即對一定的期望收益率，選擇資產(chǎn)組合使其總風險最小。2.資本資產(chǎn)定價模型資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）是在理想的資本市場中,根據(jù)兩基金分離定理建立的。它的基本結(jié)論是(Sharp-Li

9、ntner-Monssin)假設市場上可以獲得無風險資產(chǎn)，當市場達到均衡時，任意資產(chǎn)的超額收益率與風險資產(chǎn)的市場資產(chǎn)組合超額收益率成正比，即有關系式其中稱為資產(chǎn)X的市場beta系數(shù),表示資產(chǎn)X所面臨的風險系數(shù)。注3. Ross 套利定價理論（APT）在金融理論中，確定風險資產(chǎn)合理價值主要有兩種方法。一種是基于競爭均衡理論的定價方法，如上節(jié)的CAPM，認為資產(chǎn)的合理價格由所謂的“內(nèi)在源”，也就是資產(chǎn)市場中現(xiàn)有的所有資產(chǎn)所共同確定；另一種是基于一般套利定價理論的定價方法（GAPT），如本節(jié)將要介紹的Ross套利定價理論（APT）認為資產(chǎn)的合理價格由所謂的“外在源”，也就是資本市場的其他因素所確定。

10、 基于上述思想，被譽為美國“金融神童”的Ross在1976年Journal of Economic Theory上發(fā)表的Arbitrage Theory of Capital Assert Pricing一文中十分武斷地指出：任何資產(chǎn)的價格可以表示為一些“共同因素”的線性組合。這些“共同因素”可以是通貨膨脹率，人口出生率，工業(yè)增長指數(shù)，證券市場綜合指數(shù)，外匯匯率等等各種因素，然后利用套利定價方法給出了資產(chǎn)收益率的一般表達式。注5. Black-Sholes模型當考慮股票價格隨時間連續(xù)變動情形時，Black-Scholes給出了市場的如下描述： 僅考慮一個簡單的證券市場。市場中僅有一種債券和一種

11、股票。設債券在t時刻的價格P0(t)，股票在t時刻的價格P(t).滿足方程：衍生證券定價問題的進一步研究方向放寬理想市場假設（如有賣空限制，交易費等）對新型衍生證券進行定價模型改進（如隨機利率，隨機波動率，跳過程等）不完備市場模型期權定價技術的應用 期權定價理論雖然源于對金融期權的估值，但其主旨為降低不確定性所必須付出的成本問題，而不確定性是所有經(jīng)濟活動的本質(zhì)特征。這決定了期權定價技術(以下簡稱0PT)的應用絕不僅僅局限于對以金融資產(chǎn)為標的資產(chǎn)的期權。許多現(xiàn)實問題在分析的過程中常?？梢园押诵膯栴}歸結(jié)為期權定價問題來處理，即歸結(jié)為確定期權價值的5個因素：執(zhí)行價格、現(xiàn)貨價格、到期時間、波動率和無風

12、險利率的分析計算。注目前期權定價理論主要應用于1金融衍生證券的定價 2保險合同的定價 3政府政策與行為 4個人家庭決策 5投資決策 6 ARCH模型及其應用在計量經(jīng)濟學中, 收益率的建模研究一直具有很重要的地位。經(jīng)典資本市場理論在描述股票市場收益率變化時,所采用的計量模型一般都假定收益率方差保持不變。這一模型運用簡便,常用來預測和估算股票價格。但對金融數(shù)據(jù)的大量實證研究表明,有些假設不甚合理。一些金融時間序列常常會出現(xiàn)某一特征的值成群出現(xiàn)的現(xiàn)象。注7 利率期限結(jié)構(gòu)理論 在社會經(jīng)濟生活中一部分人通過儲蓄或購買債券來保存多余的資金，而部分家庭和廠商也可以通過貸款獲得資金。資金的提供不是無償?shù)?，利?/p>

13、就是借入資金的個體為了在一段時間里使用資金而必須支付給資金出借人的補償。顯然利息與投資本金和儲蓄時間有關；利息與期初投資本金的比值稱為該時期的利率。不同時期投資可能利率不同。利率的期限結(jié)構(gòu)理論主要研究隨機波動利率與（較長）時期的對應關系。注經(jīng)濟學家認為，在決定利率期限結(jié)構(gòu)過程中，投資者對未來變動的預期是致關重要的。然而，投資者對自己是否既有十分準確地分析未來變動的能力是缺乏信心的。因此，一般情況下，假定投資者對利率未來的變動滿足一隨機過程。比較常用的模型有Cox-Ingersoll-Ross模型，Hull-White-Vasicek模型。由于利率期限結(jié)構(gòu)理論涉及到“利息理論”的許多概念和“合理

14、預期理論”的思想，這里不再深入介紹。8 公司資本結(jié)構(gòu)理論公司財務管理在西方經(jīng)濟理論體系中是金融理論中的一個組成部分。它是專門研究企業(yè)如何進行財務決策，包括籌資、投資及股息分配政策，以實現(xiàn)企業(yè)價值或企業(yè)財富最大化的一門科學。該理論的研究重點集中在兩個方面：1。公司最佳資本結(jié)構(gòu)的組合。即探討企業(yè)在投資時，應怎樣選擇使企業(yè)資金成本最低的資產(chǎn)組合，包括負債與股票，短期負債與長期負債；2。研究公司的最佳資產(chǎn)組合，即公司在制定投資政策時，如何使企業(yè)在風險既定下，取得最大的投資收益率。注設市場滿足如下完美條件：1.公司處于沒有稅收的經(jīng)濟環(huán)境之中；2.公司的股息政策與企業(yè)價值無關；3.公司發(fā)行新債務時，不會對

15、公司已有債務的市場價值產(chǎn)生影響； 4. 公司沒有破產(chǎn)成本； 5.資本市場高度完善，即資金可以充分流動，存在充分競爭機制，因此有同樣預期收益率的證券有相同的價格，利率一致，存在充分信息。Miller證明了，在上述完美條件下，企業(yè)的市場價值與其資本結(jié)構(gòu)無關。注 由于Miller的定理是在一系列完美條件下推導的，此后二十年中， Miller的公司財務理論在眾多西方學者的支持下，又在一些不完美條件下進行了拓展，到了Miller于1990年獲得諾貝爾獎的時候，該理論已被視為現(xiàn)代理財理論的奠基之作。成為西方經(jīng)濟學、金融學和理財學課程的必修內(nèi)容。9 保險精算學簡介所謂精算學，實際上是將數(shù)學方法應用于金融保險所形成的一套理論體系。包括利息理論，精算數(shù)學，風險理論，人口數(shù)學等。在現(xiàn)代保險中，科學的理論和方法，特別是精確的定量計算起著十分重要的作用，保險業(yè)運營中的一些重要環(huán)節(jié)，如新險種的設計，保險費率和責任準備金的計算，分保額的確定，養(yǎng)老金等社會保