收斂數(shù)列的性質(zhì)課件

1、 收斂數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)目的：熟悉收斂數(shù)列的性質(zhì)；掌握求數(shù)列極限的常用方法。教學(xué)要求：（）使學(xué)生理解并能證明數(shù)列性質(zhì)、極限的唯一性、 局部有界性、保號(hào)性、保不等式性； （）掌握并會(huì)證明收斂數(shù)列的四則運(yùn)算定理、迫斂性 定理，并會(huì)用這些定理求某些收斂數(shù)列的極限。1.唯一性 定理 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.若數(shù)列收斂，則它只有一個(gè)極限。一、數(shù)列極限的性質(zhì)證故極限唯一.由定義,2.有界性定理2.3 收斂的數(shù)列必定有界. 證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.3.保號(hào)性 定理2.4若（或），則對(duì)任何（或），存在正數(shù)，使時(shí)有（或）。得當(dāng)4.保不等性定理2.5設(shè)數(shù)列與均收斂，若存

2、在正數(shù)使得當(dāng)時(shí)有，則。，思考：如果把條件“”換成“把結(jié)論換成”，那么能否？證5.夾逼準(zhǔn)則本定理既給出了判別數(shù)列收斂的方法；又提供了一個(gè)計(jì)算數(shù)列極限的方法。設(shè)收斂數(shù)列、都以a為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)有則數(shù)列收斂，且.定理2.6上兩式同時(shí)成立,證注意:例2 求數(shù)列 的極限。上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限例3 解： 記 ， 這里 ，則有：左右兩邊的極限均為1， 故由夾逼準(zhǔn)則本例得證。解由夾逼定理得6、極限運(yùn)算法則 例：求解：由于 所以例：求解：例4 求解: 解：若 則 若，則由 有 若，則例5求 解：由于 故 從而二 數(shù)列的子列子列的定義定義 設(shè)為正整數(shù)集的無(wú)限稱(chēng)為數(shù)列的一個(gè)子列，簡(jiǎn)記為.子集，且注1 的子列的各項(xiàng)都來(lái)自且保持這些項(xiàng)在中的的先后次序, 為數(shù)列，則數(shù)列注2 子列中的表示是中的第項(xiàng)，表示 是中的第k項(xiàng) 注3 數(shù)列本身以及去掉有限項(xiàng)以后得到的子列，稱(chēng)為的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱(chēng)為平凡子列。的非數(shù)列 與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散， 時(shí)有相同的極限。 且在收斂定理2.8 數(shù)列收斂 的任何非平凡子列都收斂。 2 子列與其本斂散性關(guān)系若數(shù)列 有一個(gè)子列發(fā)散，或有兩個(gè)子列收斂而注 極限不相等，則數(shù)列 一定發(fā)散。 如 收斂于是1, 收斂于是-1。故 發(fā)散例：證明 證明：由于