控制系統(tǒng)根軌跡的繪制課件

1、第四節(jié) 控制系統(tǒng)根軌跡的繪制7/27/20221 前面學(xué)習(xí)了根軌跡的基本概念和繪制基本準(zhǔn)則（性質(zhì)），這里將手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟羅列如下： 標(biāo)注開(kāi)環(huán)極點(diǎn)“ ”和零點(diǎn) “ ”； 畫出n-m條漸進(jìn)線。其與實(shí)軸的交點(diǎn)（稱為重心）和傾角分別為： 確定實(shí)軸上的根跡區(qū)間； 計(jì)算極點(diǎn)處的出射角和零點(diǎn)處入射角：7/27/20222 計(jì)算根軌跡和虛軸的交點(diǎn)； 計(jì)算會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)： 利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。注意： 后兩步可能不存在； 在判斷大致形狀時(shí)，需知道根軌跡的支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性。7/27/20223一、 單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡 前面所討論的根軌跡（180度根軌跡）是基于單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的。

2、例開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：-2，0；漸進(jìn)線傾角： 與實(shí)軸的交點(diǎn)為：解 ：標(biāo)出四個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：0，-2， 。有四條根軌跡。7/27/20224-3+4j處的出射角 ：根據(jù)對(duì)稱性，可知-3-j4處的出射角 為：與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為：勞斯陣為：當(dāng)勞斯陣某一行全為零時(shí)，有共軛虛根。這時(shí)， 。輔助方程為： ，解得共軛虛根為：即為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。7/27/20225會(huì)合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為由 得： 由上式可求出分離點(diǎn)。但高階方程求解困難，可采用下述近似方法：我們知道，分離點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸-2，0區(qū)間上，所以當(dāng)s在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)， 最大時(shí)為分離點(diǎn)。6.2811.49

3、15.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 s可見(jiàn)分離點(diǎn)在-0.8-1.0之間，近似取-0.9。7/27/20226繪制根軌跡，如下圖所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345Real AxisImag Axis7/27/20227解：開(kāi)環(huán)零點(diǎn) ，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)根軌跡有兩支。起點(diǎn)在極點(diǎn)處，終點(diǎn)一支在開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處。一支在無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：例4-4中已求得，分別為分離點(diǎn)=-0.33,會(huì)合點(diǎn)=-1.67，分離角分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：繪制根軌跡。例4-7設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌

4、跡。7/27/20228例4-8設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：開(kāi)環(huán)零，極點(diǎn)分別為：根軌跡有四支。漸近線傾角重心：實(shí)軸上根軌跡區(qū)間實(shí)軸上無(wú)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。7/27/20229與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：勞斯陣列：勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根。令：輔助方程為：出射角：對(duì)7/27/202210繪制根軌跡圖，見(jiàn)下圖-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5Real AxisImag Axis7/27/202211特殊情況：對(duì)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 有零極點(diǎn)相對(duì)消的情況。-如：則： ，引起特征方程階數(shù)的下降。處理方法見(jiàn)下圖：-式中：以開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

5、 繪制根軌跡可得 的極點(diǎn)。閉環(huán) 系統(tǒng) 的極點(diǎn)由 和 組合而成。 由零極點(diǎn)相對(duì)消減少的極點(diǎn)由 的極點(diǎn)來(lái)補(bǔ)充。見(jiàn)下頁(yè)圖。7/27/2022127/27/202213二、 多回路系統(tǒng)的根軌跡 簡(jiǎn)單處理辦法：將多回路系統(tǒng)等效為單回路系統(tǒng)，再繪制180度根軌跡或參量根軌跡。三、 正反饋系統(tǒng)的根軌跡 以上我們討論的都是閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則。在實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)中，可能有局部的正反饋的結(jié)構(gòu)。正反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡略有不同。如下圖所示系統(tǒng)：+開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：7/27/202214相應(yīng)的跟軌跡方程為：幅值條件和相角條件為： 與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡比較，幅值條件相同，相角條

6、件不同。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件 是180度等相角條件；而正反饋系統(tǒng)的相角條件 是0度等相角條件。注意： 負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡稱為180度根軌跡或簡(jiǎn)稱為根軌跡； 正反饋系統(tǒng)根軌跡稱為0度根軌跡。7/27/202215繪制0度根軌跡的基本準(zhǔn)則： 對(duì)稱性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡； 起點(diǎn)、終點(diǎn)和根軌跡支數(shù)同常規(guī)根軌跡； 漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為： ，有n-m個(gè)角度。 實(shí)軸上的根軌跡：其右方實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)之和為偶數(shù)（包括0）的區(qū)域。分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角：同常規(guī)根軌跡；7/27/202216 與虛軸的交點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡； 閉環(huán)極點(diǎn)之和與之積：同常規(guī)根軌跡。 出射角和入射角：7/27/

7、202217例4-9：設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。 起點(diǎn)在0，-1，-5處，終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。有3支根軌跡。 漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)傾角： 實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：-5，-1，0， ） 分離角（點(diǎn)）：由 得：顯然， ，不在根軌跡上。分離點(diǎn)為： 。解：7/27/2022187/27/202219比較正負(fù)反饋的根軌跡方程：若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 則正負(fù)反饋的根軌跡方程分別為：可見(jiàn)，正反饋根軌跡相當(dāng)與負(fù)反饋根軌跡的 從 時(shí)的根軌跡。所以，可將正負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，得 時(shí)的整個(gè)區(qū)間的根軌跡，請(qǐng)閱讀p135,圖4-29及下頁(yè)比較圖。7/27/202220 左圖為正反饋（0度）根軌跡圖；右圖為負(fù)反饋（180度）根軌跡圖；將例4-9的給出的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別繪制正負(fù)根軌跡圖如下：作業(yè)：4-2 a,b，4-3a，