復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)的三角形式及乘除運(yùn)算宇文皓月 TOC o 1-5 h z 一、主要內(nèi)容:復(fù)數(shù)的三角形式，模與輻角的概念及幾何意義，用三角形式進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算及幾何意義.二、學(xué)習(xí)要求:1熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化，會求復(fù)數(shù)的模、輻角及輻角主值.2深刻理解復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征，熟練運(yùn)用有關(guān)三角公式化復(fù)數(shù)為三角形式.3能夠利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的幾何意義求它們的范圍(最值).4利用復(fù)數(shù)三角形式熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算，并能根據(jù)乘除運(yùn)算的幾何意義解決相關(guān)問題 .5注意多種解題方法的靈活運(yùn)用，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.三、重點(diǎn) :復(fù)數(shù)的代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)換，復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算幾何意義的綜合

2、運(yùn)用 .四、學(xué)習(xí)建議:1復(fù)數(shù)的三角形式是完全解決復(fù)數(shù)乘、除、乘方和開方問題的橋梁，相比之下，代數(shù)形式在這些方面顯得有點(diǎn)力不從心，因此，做好代數(shù)形式向三角形式的轉(zhuǎn)化是非常有需要的 .前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過了復(fù)數(shù)的另兩種暗示.一是代數(shù)暗示，即 Z=a+bi(a,b 6 R).二是幾何暗示，復(fù)數(shù)Z 既可以用復(fù)平面上的點(diǎn) Z(a,b) 暗示，也可以用復(fù)平面上的向量近來暗示.現(xiàn)在需要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角暗示.既用復(fù)數(shù)Z的模和輻角來暗示，設(shè)其模為r,輻角為8,則Z=r(cos 0+isin 0 )(r 0).既然這三種方式都可以暗示同一個(gè)復(fù)數(shù)，它們之間一定有內(nèi)在的聯(lián)系并能 夠進(jìn)行互化.代數(shù)形式r=行三角形式b名+=一(

3、以土6 仁 中Z=a+bi(a,b 6 R)蛇皿啦匕=皿地 z=r(cos 0 +isin 0 )(r 0)復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連 .否則不是三角形式.三角形式中9應(yīng)是復(fù)數(shù)Z的一個(gè)輻角，紛歧定是輻角主值.五、基礎(chǔ)知識1)復(fù)數(shù)的三角形式定義：復(fù)數(shù) z=a+bi (a,b 6 R)暗示成r (cos。+ i sin 0 )的形式叫復(fù)數(shù) z 的三角形式。即 z=r (cos 6 + i sin。)其中憶r。為復(fù)數(shù)z的輻角。非零復(fù)數(shù)z輻角。的多值性。以ox軸正半軸為始邊，向量oz所在的射線為終邊的角 。叫復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角因此復(fù)數(shù)z的輻角是8+2k (k6z)輻角

4、主值暗示法；用arg z暗示復(fù)數(shù)z的輻角主值。定義：適合0 , 2 )的角。叫輻角主值0 argz 2唯一性：復(fù)數(shù)z的輻角主值是確定的，唯一的。不等于零的復(fù)數(shù)的模 z r是唯一的。z=0時(shí)，其輻角是任意的。復(fù)數(shù)三角形式中輻角、輻角主值的確定。(求法) 這是復(fù)數(shù)計(jì)算中肯定要解決的問題，物別是復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法、乘方、開方等運(yùn)算，尤其是建美佛定理定理只有對復(fù)數(shù)三角形式時(shí)才干使用。因此復(fù)數(shù)化三角式是復(fù)數(shù)運(yùn)算中極為重要的內(nèi)容(也是解題術(shù))復(fù)數(shù)在化三角式 的過程中其模的求法是比較容易的。輻角的求法，輻角主值的確定是難點(diǎn)，也 是關(guān)鍵存在，這個(gè)專題只簡單歸納復(fù)數(shù)輻角及輻角主值的求法。2)復(fù)數(shù)的向量暗示

5、在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)Zi、Z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi、Z2 (如圖)何量0Z1對應(yīng)于Zi何量0Z2對應(yīng)于Z2何量ZiZ2對應(yīng)于Z2 Zi Z與復(fù)數(shù)Z2Z1對應(yīng)的向量為0Z顯然 0Z / Z1Z2貝U arg z百/ xoz產(chǎn) 6 iarg Z2=/ x0Z2= 6 2arg z(Z2 Zi) =arg z=/xoz=。3)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義主要是三角式乘法、除法等運(yùn)算中輻角的變更如 Zi=ri (cos 6 i+i sin 6 i) Z2=r2 (cos 6 2+i sin 0 2)乘法：z=Zi - Z2=ri r2 cos( 6 i+ 6 2)+ i sin( 6 i+ 6 2)04 0Z2 0Z

6、如圖：其對應(yīng)的向量分別為顯然積對應(yīng)的輻角是 。i+。20Zi若。2 0則由。Zi逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。2角模變成的2倍所得向量即是積Zi - Z2=Z 的向量 0Z。若。2V 0 則由向量 明順時(shí)針旋轉(zhuǎn)I 2角模變成ri r2所得向量即是積Zi - Z2=z 的向量 oz0為此，若已知復(fù)數(shù) Z1的輻角為0c , Z2的輻角為B求 + B時(shí)即可求出Z1 - Z2=ZaZ對應(yīng)的輻角就是 +B這樣即可將求“角”的問題轉(zhuǎn)化為求“復(fù)數(shù)的積”的運(yùn)算。Z1 ri rz z1 z2cos( 1 2) isin( 1 2)除法z2 r2(其中Z2#0)除法對于輻角主要是“相減”(被除數(shù)的輻角一除數(shù)的輻角)依向量旋轉(zhuǎn)同乘法

7、簡述如下：20時(shí)。z1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2角O0時(shí)。乙逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 2角O例1.下列各式是否是三角形式，若不是，化為三角形式 Z 1=-2(cos 0 +isin 0 )(2) Z 2=cos 0 -isin 0(3) Z 3=-sin 0 +icos 0Z 4=-sin 0 -ic os 0(5) Z 5=cos60 +isin30分析：由三角形式的結(jié)構(gòu)特征，確定判斷的依據(jù)和變形的方向.變形時(shí)，可依照如下步調(diào)進(jìn)行：首先確定復(fù)數(shù)Z對應(yīng)點(diǎn)所在象限(此處可假定 0為銳 角)，其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角 .此步調(diào)可簡稱為“定 點(diǎn)一定名一定角”.這樣，使變形的方向更具操縱性，能有效提高解決此類

8、問題 的正確率.解：(1)由“模非負(fù)”知，不是三角形式，需做變換:Z1=Z(- cos0 - isin 0)復(fù)平面上 乙(-2cos0 , -2sin 0)在第三象限(假定 0為銳角)，余弦“- cos 0 ”已在前，不需再變換三角函數(shù)名稱，因此可用誘導(dǎo)公式“兀 + 0 ”將 0 變換到第三象限. Z1=Z(- cos 0 - isin 0 )=2cos(兀 + 0 )+isin(兀 + 8)(2)由“加號連”知，不是三角形式復(fù)平面上點(diǎn) 乙(cos 0 , -sin 0)在第四象限(假定 0為銳角)，不需改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“2兀-0 ”或“ -0 ”將0變換到第四象限Z 2=cos

9、 0 - isin 0 =cos( - 0 )+isin( - 0)或 Z2=cos 0 - isin 0 =cos(2 兀-0 )+isin(2 兀-8 )考慮到復(fù)數(shù)輻角的不唯一性，復(fù)數(shù)的三角形式也不唯一(3)由“余弦前”知，不是三角形式復(fù)平面上點(diǎn)Z3(- sin 0 ,cos 0)在第二象限(假定 0為銳角)，需改變?nèi)?函數(shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“萬+8”將0變換到第二象限.42(- sin 0 ,cos 0 )=cos( 2 +。)+isin( 2 + o)33同理(4) Z4=-sin 0 - icos 0 =cos( 2 兀-o )+isin( 2 兀-。)ill i支 蒐 Vs 阡Z

10、5=cos60 +isin30 = 2 +2 i= - (1+i)= 2 (cos + +isin 4 )= 2 (cos 4 +isin乳一)小結(jié)：對這類與三角形式很相似的式子，如何將之變換為三角形式，對于初學(xué)者 來講是個(gè)難點(diǎn).有了 “定點(diǎn)一定名一定角”這樣一個(gè)可操縱的步調(diào)，應(yīng)能夠很好 地解決此類問題.例2.求復(fù)數(shù)Z=1+cos0 +isin。(兀02兀)的模與輻角主值.分析：式子中多3個(gè)“1”，只有將“ 1”消去，才干更接近三角形式，因此可利 用三角公式消“ 1” .解:Z=1+cos 0 +isin 0 =1+(2cos 22 - TOC o 1-5 h z & e eg1)+2i si

11、n 2 cos 2 =2cos 2 (cos + +isin 2 )(1)冗e日 兀 02 兀. 2兀，.cos 5 0gg gg g (1)式右端=-2cos 2 (-cos2-isin 2 尸-2cos2 cos(兀 + 2)+isin(兀 + 2) f. r=-2cos 2 , ArgZ=兀+ 2 +2k 兀（k Z）636g2 2 兀 /. / 兀 兀 + 2 2 兀, 二 argZ=兀 + 2 .小結(jié)：（1）式右端從形式上看似乎就是三角形式.很多同學(xué)認(rèn)為r=2cos 2 ,66argZ= 2 或 ArgZ= ?錯(cuò)誤之處在于他們沒有去考慮0角范圍，因此一定要用“模非負(fù)，角相同，余弦前，

12、加號連”來判斷是否為三角形式.看了這道例題，你一定能解決如乙=1-cos 8+isin 。（兀02 兀）,Z2=1+cos0 - isin 。（兀02 兀）等類似問題.迦日11例3.將2=1一迦日（子兀03兀）化為三角形式，并求其輻角主值.下一步當(dāng)然是要分母分析：三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切為弦” 實(shí)數(shù)化，再向三角形式轉(zhuǎn)化.十*14距日-sin D cos + ssin G ，十日五白產(chǎn) 1 - 解：1-謔5= 儂日=36-tm6i=cosATsmH)(m54+5inHj =cos2 0+isin2 011:4 兀 0 3 兀,11_ 2 0 6兀, 2 兀 2 0 - 4 兀 2

13、兀，. argZ=2 8 - 4 兀小結(jié)：掌握三角變形是解決這類問題的根本.但在此之前的解題方向一定要明確，即要分析式子結(jié)構(gòu).比較其與三角形式的異同，從而決定變形的方向，采取 正確的方法.要求學(xué)生做好每道例題后的反思，并能由此及彼，舉一反三，達(dá)到 熟練解決一類問題的目的，如 1-itg 0 , tg 0 +i, i -ctg 0等.復(fù)數(shù)Z的模|Z|的幾何意義是：復(fù)平面上點(diǎn)Z到原點(diǎn)距離，復(fù)數(shù)模|Z 1-Z2I 的幾何意義是：復(fù)平面上兩點(diǎn)Zi,乙之間距離.輻角幾何意義是：以x軸正半軸為 角始邊，以向量所在射線為終邊的角記為 ArgZ.在0 , 2兀）范圍內(nèi)的輻角稱 輻角主值，記為argZ.要求學(xué)生

14、不但要理解以上所說各幾何意義，還要運(yùn)用幾何意義去解決相關(guān) 問題.例4.若Z6 c, |Z-2|W1,求| Z |的最大，最小值和argZ范圍.解：法一，數(shù)形結(jié)合由|Z- 2|W1,知Z的軌跡為復(fù)平面上以（2, 0）為圓心，1為半徑的圓面（包含圓周），|Z|暗示圓面上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距 離.顯然 1W|Z| =3, |Z| min=1,另設(shè)圓的兩條切線為 OA OR a, B為切點(diǎn)，由|CA|=1 , |OC|二2知冗/ AOCN BOC=，圮 11二 argZ 6 0, 6 U 6 兀,2 兀)法二：用代數(shù)形式求解|Z|的最大，最小值，設(shè) Z=x+yi(x,y 6 R)則由 |Z- 2| 1 得

15、(x-2) 2+y21,. |Z|二v (x-2) 2+y2 1, /. (x-2) 2 1, .-1Wx-2W1, /.1x3, 14x-39, /. 1|Z| 0)|Z Z| 2=k2+(2k) 2-2k 2k cos 3 =3k2. |Z 億|=唐 k,而k2+(后k)2=(2k) 2,.OZZ2為有一銳角為60的直角三角形.小結(jié)：此題中利用除法幾何意義來解決三角形中角的大小問題，十分方便.例8.已知直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸正半軸上，若點(diǎn)A(-1,0)和B(0,8)關(guān)于l的對稱點(diǎn)都在C上，求直線l與拋物線C的 方程.解：如圖，建立復(fù)平面x0y,設(shè)向量0A 赤

16、對應(yīng)復(fù)數(shù)分別X1+y1i, x 2+y2i.由對稱性，|OA|=|OA|=1, |OB|=|OB|=8,x 2+y2i=(x 1+y1i)8i=-8y 1+8xig-孫IL*”設(shè)拋物線方程為 y2=2px(p0)貝U有 y；=2px1, y 22=2px2,P二 x 1=2 , y 12=p2,又 |OA|=1 ,上-75(舍) *( 2 )2+p2=1, -p=5 或-$二拋物線方程為丫?X,直線方程為：y=x.小結(jié)：對于解析幾何的許多問題，若能借助于復(fù)數(shù)的向量來暗示，經(jīng)常有意想不 到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊關(guān)系的圖形時(shí)，尤顯其效五、易錯(cuò)點(diǎn).其實(shí)不是每一個(gè)復(fù)數(shù)都有唯一確定的輻角主值.

17、如復(fù)數(shù)零的模為0,輻角主值不確定.注意ArgZ與argZ的區(qū)別.ArgZ暗示復(fù)數(shù)Z的輻角，而argZ暗示復(fù)數(shù)Z 的輻角主值.ArgZ=argZ+2k兀(k 6 Z),argZ 6 0,2兀)，輻角主值是0,2兀)內(nèi)的輻角，但 輻角紛歧定是輻角主值.復(fù)數(shù)三角形式的四個(gè)要求：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連，缺一不 成.任何一個(gè)不滿足，就不是三角形式.注意復(fù)數(shù)三角形式的乘除運(yùn)算中，向量旋轉(zhuǎn)的方向六、練習(xí).寫出下列復(fù)數(shù)的三角形式ai(a 6R) (2) tgO+i(50兀) (3)- 石 (sin 0 - icos 0)2,設(shè)Z=(-3點(diǎn)+3血i) n, n 6 N,當(dāng)Z6 R時(shí)，n為何值？3.在復(fù)平

18、面上 A, B暗示復(fù)數(shù)為 , B(%#0),且 B=(1+i) %,判斷 AAOB2形狀，并證明SaAOE=；：|d| 2.參考答案：點(diǎn)(t 6 s + 3 sin )t 2 0)33一n 十皿一耳)(口 。)( 1) ai= L22133tg 0 +i( 20 -a.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+x+p=0的兩虛根a, b滿足|a-b|=3 , 的值是()5A、-2B、-5?Lc、Ed 15比cos2 + i sin TOC o 1-5 h z .設(shè)兀0 3 0 -兀定5經(jīng)過n次乘方后，所得的哥等于它的共鈍復(fù)數(shù)，則n的值等于()A A. 3B、12C、6k-1(k 6 Z) D 6k+1(k6

19、Z)2215. z 為復(fù)數(shù)，(2 ) 1z-31 =( 2 ) |z+3| (2)-1 的圖形是()1A、直線廣B、半實(shí)軸長為1的雙曲線lC、焦點(diǎn)在x軸，半實(shí)軸長為&的雙曲線右支 應(yīng)D不克不及確定答案與解析3氧argz= 2 ,a3 4 -1 = 0”,a=-1 ,本題 |a-b|=| 4P 7 |=3 ,答案：1、B 2、C3、B4、C5、C解析：1.z=(a+i) 2=(a 2-1)+2ai ,選B.-1 .2.求根 a, b= 2(=1-4p0)5 4p-1=9 , p=之，故本題應(yīng)選 Ccos26 sin 2日 cos 明 + ：皿 29 TOC o 1-5 h z 依質(zhì)后 1cos

20、=cos I 33 2巾_ _ . 珞_ _由復(fù)數(shù)相等的定義，得11n彳=-仙號)一方.MJT怎解得！T=2k兀-5, (k 6Z), . n=6k-1.故本題應(yīng)選 C.5.依題意，有|z-3|=|z+3|-1,|z+3|-|z-3|=1.由雙曲線定義，此方程暗示焦點(diǎn)(3, 0), 2a=1, a= 5的雙曲線右支，故本題應(yīng)選C.復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算疑難問題解析.復(fù)數(shù)的模與輻角：(1)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：I zi - Z2 | = I zi I - I z2 I(2)輻角的性質(zhì)：積的輻角等于各因數(shù)輻角的和.商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.一個(gè)復(fù)數(shù)n次哥(n 6 N)的輻角等于這個(gè)復(fù)數(shù)輻

21、角的n倍.注意：(1)輻角與輻角主值的區(qū)別，特別是解題過程中的分歧點(diǎn).如下面兩個(gè)問題：若 arg(2- i尸 , arg(3- i)= (3 ,求 + B 的值.( + (3 6(3 兀，4 兀)若 arg(2- i)= % , arg(3- i)= B ,求 arg(2-i)(3-i) 的“ 配以2川07比4兀，2 71)值.(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角主值紛歧定等于兩輻角主值的和，商的輻角主值紛歧定等于輻角主值的差.關(guān)于數(shù)的開方(1)復(fù)數(shù)的開方法則：r(cos 0 +isin 0)的n次方根是5/r (cos+ isin)(上=。31, 2. n -1)ti幾何意義: H + 2k7c . .

22、 8 + 2卜宜設(shè)瓦二心衿+食口1，2,口-6對應(yīng)于復(fù)平面上的點(diǎn)以，則有：第一個(gè)點(diǎn)M。，對應(yīng)的向量0M。與酒由正向夾角為，.所以，復(fù)數(shù)z的n次方根，在復(fù)平面內(nèi)暗示以原點(diǎn)為中心的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn).(2)復(fù)數(shù)平方根的求法.求-3-4i的平方根.解法一利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式.設(shè)-3-4i的平方根為x+yi(x , y6R),則有(x+yi) 2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i,由復(fù)數(shù)相等條件，得-3-4i 的平方根是士 (1 -2i).法二利用復(fù)數(shù)的三角形式.設(shè)一3-4i =+5mgi9 E( TT ,等)則有匚口6二一，1& 2近2 753.復(fù)數(shù)集中的方程.關(guān)于實(shí)系數(shù)的一元二次方程

23、的解法：設(shè)ax2+bx+c=0(a?0, a, b, c 6 R,Xi , X2為它的兩個(gè)根)(1)當(dāng)4=3-4200時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根當(dāng)=b2-4ac0時(shí)，方程有一對共鈍虛根(4)二次三項(xiàng)式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x i)(x-x 2)關(guān)于復(fù)系數(shù)的一元二次方程的解法：設(shè)ax2+bx+c=0(a#0, a、b、c 6 C,且至少有一個(gè)虛數(shù)，XiX2為它的兩個(gè)根)(4)二次三項(xiàng)式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x i)(x-x 2)仍然適用.0關(guān)于二項(xiàng)方程的解法形如anxn+ao=0(ao, an 6 C且an# 0)的方程叫做二項(xiàng)方程，任何一個(gè)二項(xiàng)方 程都可以化成xn=b(

24、b 6 C)的形式，因此都可以通過復(fù)數(shù)開方來求根.關(guān)于含有器樂I 2 I的復(fù)數(shù)方程的解法可以充分利用復(fù)數(shù)z的整體性質(zhì)，復(fù)數(shù)z的三種暗示方法及其轉(zhuǎn)換來解方 程.已知方程x2-4x+p=0兩虛數(shù)根為、B ,且| % - B |=2求實(shí)數(shù)p的值.解法1 .實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根共鈍設(shè) =a+bi,B =a-bi , (a , b 6 R) % + B =2a=4,a=2又. | % - B |=2, . |2bi|=2 得 b= 1即兩根為2+i , 2-i由韋達(dá)定理得：p=(2+i)(2-i)=5法2 由韋達(dá)定理可得： +8=4, % B =P于是 | % - B 12=|( % - B ) 2|

25、=|( % + B ) 2- 4 % B I=|4 2-4p|=4 , 即 |4-p|=1又 =42-4p 4, . p-4=1 , 得 p=5說明注意實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根與有兩個(gè)虛根的區(qū)別.若有兩實(shí)根入網(wǎng)有二環(huán)小口麗F這一等式成立.若有兩個(gè)虛根則上述等式不成立.因?yàn)? %-(3 I 2?( % - B )2.因此在解題時(shí)要重視復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)知識點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系，要防止出現(xiàn)混淆與干擾.已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模為1的根，求實(shí)數(shù)a的值.分析已知方程有模為1的根，此根可能是實(shí)數(shù)，也可能是虛數(shù)，故求實(shí)數(shù)a要注意分域討論.解 (1)若所給方程有實(shí)根則 =(3a) 2-4X2(a 2

26、-a)=a 2+8a0,即a由條件得根必為1或-1將x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a無實(shí)數(shù)解.將菖=-1代入原方程可得/4+2=0徭=2 上心(2)若所給方程有虛根則 =a2+8 0,即-8 a 石三1z%l =/ + 2.=（心）=三 R.法 4 .當(dāng) |z|=1 時(shí)有 z =1,Z蕓N. 1+1 = 3，1）y=e + 6 R.法5 復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)的充要條件是 z=3 ,而（/）=,又.|z|=1 時(shí),1W T -1-1 /. 2 - 21=1, /- 1 +Z2 G R!o評注:復(fù)習(xí)中，概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位，一方面深化理解(比方復(fù)數(shù)定義：形如a+bi (a,b 6 R)的數(shù)叫

27、復(fù)數(shù)”深入理解就有凡是復(fù)數(shù)都能寫成這樣，求一個(gè)復(fù)數(shù)，使用一個(gè)復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實(shí)；。)同時(shí)對一些概念的等價(jià)表達(dá)式要熟知。(比方： z=a+bi R o b=0(a,b 6 R)OZ=z OZ2A0；z=a+bi 是純虛數(shù) oa=0 且 b#0 (a,b R) oz+?=0 (z #0) oz21 -5.()100=(一+7i) 100=(-1+i) 50= 一1 =-一i.簡評10本題的解法體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和整體的思想方法，如果把兩個(gè)已知條件割裂開來去考慮，則需要解關(guān)于x, y的二元二次方程組，其運(yùn)算肯定很麻煩；1正_20在計(jì)算題中對1的立方根之一：w=-2 + 2 i的特性要熟知

28、即 w3=v 3=1,I = =w,1+w+w=0, 1+5+京=0,關(guān)于此點(diǎn)設(shè)計(jì)問題是命題經(jīng)常參考的著眼點(diǎn)。1盤(2)思路分析:由(1)知 z= 2 +T i , z 的特性：z3=-1 = z3, |z|=1,1方第E=工；z=cos 3+isin 3 , z k = 3 鵬德 e Z-ln3m? + 1 或3底 + 2,限 E=w, ,z2k+z2k 可怎么理解呢？ (z 2) k+(z 2)-kz2k -2k1后解法 1:令 w=-，+ z i ,貝U z2k+z-2k=W+wk,M梆 3加 中 巨 Z); =1,而 k 6 z,. k= +2當(dāng) k=3m時(shí)，z2k+z-2k =(w3

29、)m+(w3)-m=2,當(dāng) k=3m+1 時(shí),2卜+ -2k = 3m w+W3m - w-1=w+W=w+； =-1,-1 .w=w +w=-1,當(dāng) k=3m+2時(shí),z2k+z-2k=w3m - w2+w3m - w-2=.+w2 =w3 - w-1+w3綜上可知，集合 A中有2個(gè)元素。1 法 2 :|z|=1,.，=，2k雙銖靠 2火死2上42k兀.z2k+z-2k=z2k+ 2k=cos +isin +cos -isin =2cos由此可判定集合A中有2個(gè)元素。1 -*幣例 6.設(shè)復(fù)數(shù) z=cos 8+isin 8(00兀),w= 14 y ,而且 |w|= 3argw 2 ,求8。（93年全國理）思路分析:欲用已知，需化簡 w,1-匚口5（-。） + 血（一刻4 1 - C?？剖甶51nM 2疝口 2一十毒血（，c口工2日 解：w=十（8+，他寸=1+ cos49+jsin 4白=?cci929+ 行 sm28 cos28=tg2 0 （sin4 0 +icos4 0 ） |w|=|tg2 0 | 由 |w|= 3 得 tg2 0 = 3 .陽口r 00 兀，故有(i)當(dāng)tg2 0二W時(shí)，得。=五或0二7?.#麓JTK JT止匕