3.1數(shù)系的擴(kuò)充

1、數(shù)系的擴(kuò)充金壇一中 張程自然數(shù) 若干年以前，人類的祖先為了生存，往往幾十人在一起，過著群居的生活。他們白天共同勞動，搜捕野獸、飛禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里，共同享用勞動所得。在長期的共同勞動和生活中，他們之間逐漸到了有些什么非說不可的地步，于是產(chǎn)生了語言。他們能用簡單的語言夾雜手勢，來表達(dá)感情和交流思想。隨著勞動內(nèi)容的發(fā)展，他們的語言也不斷發(fā)展，終于超過了一切其他動物的語言。其中的主要標(biāo)志之一，就是語言包含了算術(shù)的色彩。大約在1萬年以前，冰河退卻了,一些從事游牧的石器時代的狩獵者在中東的山區(qū)內(nèi)，開始了一種新的生活方式農(nóng)耕生活。他們碰到了怎樣記錄日期、季節(jié)，怎樣計算收藏谷物數(shù)、種子數(shù)等問題

2、。自然數(shù)自然數(shù)是數(shù)出來的 人們在生活中經(jīng)常會遇到各種相反意義的量。比如,在記帳時有余有虧;在計算糧倉存米時,有時要記進(jìn)糧食,有時要記出糧食。為了方便，人們就考慮了相反意義的數(shù)來表示。把余錢進(jìn)糧食記為正，把虧錢、出糧食記為負(fù)。我國三國時期的學(xué)者劉徽在建立負(fù)數(shù)的概念上有重大貢獻(xiàn)。劉徽首先給出了正負(fù)數(shù)的定義，他說：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之?！币馑际钦f，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來區(qū)分它們。 負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)是欠出來的分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)是分出來的無理數(shù) 公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯修斯發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的，這一不可公度性與

3、畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)”（有理數(shù)）的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希伯修斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。 畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)沒有布滿數(shù)軸上的點，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“空隙”。而這種“空隙”經(jīng)后人證明簡直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種“算術(shù)連續(xù)統(tǒng)”的設(shè)想徹底的破滅了。不可公度的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)，對以后兩千多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。兩個不可通約的比值也一直被認(rèn)為是不可理喻的

4、數(shù)。15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá)芬奇稱之為“無理的數(shù)”，17世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。 然而，真理畢竟是淹沒不了的。畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希伯修斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬的學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”這便是無理數(shù)的由來。數(shù)又不夠用了！小游戲：數(shù)字拆分將5拆分成兩個數(shù)，使它們乘積為6；將6拆分成兩個數(shù)，使它們乘積為8；將8拆分成兩個數(shù)，使它們乘積為10；將10拆分成兩個數(shù)，使它們乘積為26；1545年，卡爾丹引入負(fù)數(shù)的平方根；1637年，笛卡兒給出“虛數(shù)”的名稱；1777年，歐拉首次使用符號i表示1的平方根；1830年，高斯把復(fù)數(shù)與幾何（向量）對應(yīng)起來

5、從而賦予復(fù)數(shù)幾何上的解釋 高斯Gauss德國卡爾丹Cardano意大利笛卡爾Descartes法國歐拉Euler瑞士復(fù)數(shù)的起源對于一元二次方程 沒有實數(shù)根 的引入引入一個虛數(shù)單位：滿足： 1. 2. 實數(shù)可以與它進(jìn)行四則運算，原有運算律仍然成立復(fù)數(shù)的概念形如 a+bi (a,bR) 的數(shù)叫做復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集,用C表示通常用字母 z 表示，即實部虛部例題講解例1：指出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部1.復(fù)數(shù)(abi，a，bR)2.集合表示：復(fù)數(shù)的分類兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小復(fù)數(shù)的相等如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即如果 ，那么0

6、0=+babia跟蹤訓(xùn)練1下列命題：1i20；若aR，則(a1)i為純虛數(shù)；若x2y20，則xy0；兩個虛數(shù)不能比較大小.是真命題的為_.(填序號)答案解析解析當(dāng)a1時，(a1)i0，所以錯；當(dāng)xi，y1時，x2y20，所以錯.所以正確.例2：求當(dāng)實數(shù)m為何值時， z (m25m6)i分別是：(1)虛數(shù)；（2）純虛數(shù)；（3）實數(shù)例題講解例3：(1)已知x0是關(guān)于x的方程x2(2i1)x3mi0 (mR) 的實根，則m的值(或取值范圍)是_.(2)已知xi2y3xyi1i，求實數(shù)x，y的值.例題講解222i3.若xii2y2i，x，yR，則復(fù)數(shù)xyi_.2i課堂訓(xùn)練4.已知下列命題：復(fù)數(shù)abi不是實數(shù)；當(dāng)zC時，z20；若(x24)(x23x2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x2；若復(fù)數(shù)zabi，則當(dāng)且僅當(dāng)b0時，z為虛數(shù)；若當(dāng)a、b、c、dC時，有abicdi，則ac且bd.其中真命題的個數(shù)是_.0課堂訓(xùn)練5.已知復(fù)數(shù)z (a25a6)i(aR)，試求實數(shù)a分別取什么值時，z分別為：(1)實數(shù)；（2）純虛數(shù)；課堂訓(xùn)