《高等數(shù)學(xué)》 各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-第9章

1、第9章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用總結(jié)一、多元函數(shù)的極限與連續(xù)1、n維空間R2為二元數(shù)組(x,y)的全體，稱(chēng)為二維空間。R3為三元數(shù)組(x,y,z)的全體，稱(chēng)為三維空間。Rn為n元數(shù)組(x,x,x)的全體，稱(chēng)為維空間。12nn維空間中兩點(diǎn)P(x,x,x),Q(y,y,，y)間的距離:-x)2n12n12ny!-卩+(y2鄰域.設(shè)P是Rn的一個(gè)點(diǎn)2是某一正數(shù)，與點(diǎn)P距離小于5的點(diǎn)P的全體稱(chēng)為點(diǎn)P的:0005鄰域，記為U(P,5)，即U(P,5)=PeRnIIPPI5000空心鄰域:P的5鄰域去掉中心點(diǎn)P就成為P的5空心鄰域,記為000U(勺5)=P|0IPP)I0，使得E匸U(O,M)，即E中所有點(diǎn)到

2、原點(diǎn)的距離都不超過(guò)M，則稱(chēng)點(diǎn)集E為有界集，否則稱(chēng)為無(wú)界集.如果D是區(qū)域而且有界，則稱(chēng)D為有界區(qū)域.有界閉區(qū)域的直徑：設(shè)D是Rn中的有界閉區(qū)域，則稱(chēng)d(D)=maxlPP1為D的直徑。12P，導(dǎo)二、多元函數(shù)n元函數(shù)就是Rn的一個(gè)子集D到R的一個(gè)函數(shù)，即對(duì)任意的PeD，都存在唯一的yeR，使得y=f(P)。習(xí)慣上，我們用y=f(x)表示一元函數(shù)，用z=/(y)表示二元函數(shù)，用w=f(x,y,z)表示三元函數(shù).一般用y=f(P),PeRn或y二f(x,x,，x)12n表示n元函數(shù).三、多元函數(shù)的極限設(shè)多元函數(shù)z=f(P)在D有定義，P0是D的一個(gè)聚點(diǎn)，A為常數(shù)。如果對(duì)任意給定的0，都存在30，當(dāng)Pe

3、DnU(P,5)時(shí)，有|f(P)-Ae則稱(chēng)A為P趨于時(shí)函數(shù)z=f(P)在D上的極限，記為hmf(P)=A或P宀P0f(P)TA,(PTP0)。四、多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)多元函數(shù)z=f(P)在D有定義，P0是D的一個(gè)聚點(diǎn)。如果limf(P)=f(P0)，PTP00則稱(chēng)z=f(P)在花點(diǎn)連續(xù)。如果z=f(P)在區(qū)域D上各點(diǎn)都連續(xù)，就稱(chēng)z=f(P)在D上連續(xù).如果函數(shù)z=f(P)在點(diǎn)P處不連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù)z=f(P)在點(diǎn)P處間斷，也稱(chēng)P是000函數(shù)z=f(x,y)的間斷點(diǎn)。五、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)，P(x,y)為平面上一點(diǎn)。如果z二f(x,y)在x的某一鄰00000Azf(x+Ax,y)一f(

4、x,y)域內(nèi)有定義且在x點(diǎn)可導(dǎo)，即極限lim二lim000上0axtoAxaxtoAx存在，則稱(chēng)z=f(x,y)在點(diǎn)P(xo,yo)處對(duì)x可偏導(dǎo)，稱(chēng)此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)x(x0,y0)或f(x,y)x00(x0,y0)P(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記為扌000ax(x0,yo)六、高階偏導(dǎo)數(shù)d2z_d2fdx2dx2fxxdxIQx丿d2zd2fd_f_-dxdydxdyxydyd2z_d2fdydxdydxyxd2z_d2fdy2dy2yy如果函數(shù)z_f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)f,f都在平面區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么這兩xyyx個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等。七、全微分設(shè)函數(shù)z_f(x

5、,y)在點(diǎn)P(x,y)的某一鄰域內(nèi)有定義，A,B為常數(shù)。如果000Az_AAx+BAy+o(p)，其中p_p(Ax)2+(Ay)2，則稱(chēng)函數(shù)z_f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微分(簡(jiǎn)稱(chēng)可微)，稱(chēng)AAx+BAy為函數(shù)z_f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的全微分,000000記作dz，即dz_AAx+BAy可微的必要條件：函數(shù)z_f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微，貝y(l)f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)000000處連續(xù)。(2)f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)存在，且dz_f(x,y)dx+f(x,y)dy。TOC o 1-5 h z000 x00y00可微的充分條件：函數(shù)z_f(x,y)在點(diǎn)P(x

6、,y)的某個(gè)鄰域內(nèi)可偏導(dǎo)，且偏導(dǎo)數(shù)000f(x,y),f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù)，則z_f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微。xy000000八、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則Qz6fQu6fQv鏈?zhǔn)椒▌t：z_f(u,v)，u_u(x,y),v_v(x,y)，_+，QxQuQxQvQxQz_QfQuQfQv-I1oQyQuQyQvQy一階全微分的形式不變性：z_f(u,v)，u_u(x,y),v_v(x,y)QzQzQzQzdz_dx+dy,dz_du+dvTOC o 1-5 h zQxQyQuQv九、隱函數(shù)及其求導(dǎo)法若F(x,y)滿(mǎn)足：(1)F(x,y)在(x,y)某鄰域內(nèi)可偏導(dǎo)，且F(x,y),

7、F(x,y)連續(xù)，00 xyF(x,y)_0，(3)F(x,y)豐0。貝y(1)存在x0的某個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)存在唯一確00y000定的一元函數(shù)y_f(x)滿(mǎn)足稱(chēng)函數(shù)y_f(x)稱(chēng)為由方程F(x,y)_0所確定的隱函數(shù)，且y二f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，dy二/f(x)=_嚴(yán)).dxF(x,y)y若F(x,x,x,y)滿(mǎn)足：(1)F(x,x,x,y)在點(diǎn)(xo,xo,xo,yo)的某個(gè)(n+1)TOC o 1-5 h z12n12n12n維鄰域內(nèi)可偏導(dǎo)，且F(x,x,x,y),F(x,x,x,y),Ff(x,x,x,y)連續(xù)。x12nx12ny12n1n(2)F(xo,xo,，xo,yo)=0，F(xiàn)(

8、xo,xo,xo,yo)豐012ny12n則(1)存在點(diǎn)(xo,xo,xo)的某個(gè)n維鄰域，在此鄰域內(nèi)存在唯一的n元函數(shù)，且函數(shù)12nFy=f(x,x,x)在該鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),y=-xr,i=12,n。12nx.Fy十、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面x=x(t)空間曲線(xiàn)r的參數(shù)方程為y=y(t)，M(x(t),y(t),z(t)為曲線(xiàn)上一點(diǎn)。如果ooooz=z(t)xxy一yzzTOC o 1-5 h zxf(t),yf(t),z(t)不全為0,則在點(diǎn)M處的切線(xiàn)的方程為：oo=ooooox(t)y(t)z(t)ooo在點(diǎn)M處的法平面方程為：(xx)x(t)+(yy)y(t)+(zz)z(t)=o

9、。ooooooo十一、空間曲面的切平面與法線(xiàn)xxyyzz曲面丫:F(x，y,z)=o在點(diǎn)處M的法線(xiàn)方程為：百o=Io=IoF(M)F(M)F(M)xoyoz在點(diǎn)處M0的法線(xiàn)方程為xxyyzz=|=F(M)F(M)F(M)xoyoz十二、無(wú)條件極值極值存在的必要條件：函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處取得極值,且在該點(diǎn)處函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在,則z=f(x,y)在P(x,y)點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)為零,即000f(x,y)=o,f(x,y)=oxooyoo極值存在的充分條件：函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某鄰域內(nèi)有一階及二階連續(xù)000偏導(dǎo)數(shù)，且f(x,y)=f(x,y)=。令f(x,y)=A，f(x,y)=B，xyxxxyf(x,y)=C，則yy當(dāng)AC-B20時(shí)，f(x,y)是函數(shù)z=f(x,y)的極值，其中當(dāng)A0時(shí)00f(x,y)為極大值，