版復(fù)變習(xí)題答案七

1、習(xí)題七1試證：若 f (t ) 滿足傅氏積分定理的條件，則有f (t) 0A() costd 0 B( ) sintd11)= ) cos d)=f ( ) sin d其中A(f (，B(證明：根據(jù)付氏積分公式，有12i d e i td )ef (t )f ( 1i (t ) )eddf (（交換積分次序）2 1)dd )cos (t ) i sin (t f (21 )cos (t )ddf (（利用函數(shù)的奇偶性）110 )cos t cos sin t sin ddf (01 ) cos d costd f ( ) sin d sin tdf (00 0A() cos td 0 B( )

2、 sintd11)= ) cos d )=f ( ) sin d其中A(f (，B(2求下列函數(shù)的傅氏變換：1, 1 t 0, 0 t 1,其他;et ,t 0,t 0;（1） f (t ) 1,f (t ) （2）0,0,t 0,0,1t 2 , |t | 1,|t | 1（3）f (t ) （4）f (t ) te sin 2t,t0;0,解：（ 1）01F f (t) f (t)edt edt edti ti ti t101i1i 11 ei1f(t)0 e i t 10 e i te ii1 2i 1 cos (2) f (t)00f (t)e it dtet e i t dt1e(1

3、 i ) t dtF10e(1 i )t1 i1 i(3)F i t t i tf (t) f (t)edt e sin 2t edt0ei 2t e i 2t12i00ti t( 12 i i ) t( 1 2 i ) teedtedtedt 02i111 e( 1 2i i ) te( 1 2 i i ) t2i ii1 2i1 2i00 1 1 i( 2) 1 i( 2) 1112i 1 i ( 2)1 i ( 2)2i 1 ( 2)1 ( 2)22i(2) 1i( 2) 2(5 22i ) 112i 2 5 42 5 4 4 62 25(4)1f (t) f (t)edt (1 i t

4、t i tF2)edt111i t2 i tedt t edt11由于2 sinit 1 e i t 11edti 1 i11i t = 1 t 2ee t 2tdt 111+1t edt i ti t2t de2i 1i t 111 1 ei ei 21tdei i1 1 2i sin 2 te111 i tedt i ti i12i sin 2 cos 2 sin 2 sin 4 cos 4 sin12i i 23所以4 sin 34 cos 24(sin cos ) 3F f (t)3求下列函數(shù)的傅氏變換，并推證所列的積分等式。 | t | 1 21,|t | 1,f (t ) 0,(1

5、)sin 證明|t | 1;costd=| t | 1 400| t |1; (2 2)證明(2)f (t ) e |t| cos t.cos td e|t| cos t2。 440解：(1)1F() F f (t) f (t)edt edt i t i t12 sin 1 iei t 1 1 eiei i1由傅氏積分公式，當(dāng)t 1 時1 F ( ) 1F (f (t ) F )e di t22 sin1sin 1e d i tcost i sint d22sincos td(利用被積函數(shù)的奇偶性）0所以，根據(jù)傅氏積分定理 | t | 1 2sin costd =| t | 1 400| t

6、|1(2)+0F() F f (t) e |t| cos tedt ite cos tedt e t cos tetiti t dt0t eit e itt e it e it+ 0edt 0e i ti teedt221+001i(1 ) tdt e1 i(1+ )tdt e 1i (1 )tdt e 1 i (1+ )tedt2 00 1 11112 1 i(1 )1 i(1+ )1 i(1 )1 i(1+ ) 1 222(2 2)4 42 1 (12 )21 (1+)由傅氏積分公式 1 21 F ( ) )ei tf (t )FF (d1 2(2 2)1 (2 2)cost i sint

7、 d eit d 24 44 4 2)22(cos td(利用被積函數(shù)的奇偶性）4 40所以，根據(jù)傅氏積分定理 (2 2)cos 0td ecos t2|t|4 45求下列函數(shù)的傅氏變換：1, t0,0;(1)f (t )1 (a);(2)f (t )sgn t21,t(4)f (t ) sin(5t ).(3)f (t )sin t cos t;3解：（ 1）12a) eit dtei t dtF () F f (t ) (12121 ei a 1 eia (t a)edt i t (tcos a22(2)F () F f (t ) F u(t ) u(t )1i12iu(t ) F u(t

8、 ) F ( ) ( ) i(3)由于sin0t i ( 0 )0 ) (FF sin 2t 1 i ( 2) ( 2)所以22(4)由于f (t ) sin 5t sin 5t cos cos 5t sin 1 sin 5t 3 cos 5t3 3322所以3 F2 sin 5t cos 5t3 222125)3 (5) ( 5)i ( 5) (2 3+i ( 5) 3 i ( 5)2 6證明：若 F ei ( t) F () 其中(t) 為一實函數(shù)，則1 F() F(12icos(t)sin (t) ) ,F( )F( ) ,FF2其中 F() 為 F() 的共軛函數(shù)。證明：由于F() F

9、 eeedt ei ( t)i ( t) i ti ( t) i tdt所以F() ei ( t) i tdt, i ( t) i t i( t) i t e i ( t) F() edt eedt F于是有i ( t) i ( t) e i( t) 1 F( ) F( )2 i ( t)i ( t)1i( t) F()F( )e2i 22 f (t)，證明 F( f ( t )（翻轉(zhuǎn)性質(zhì)）。7若 F()證明：由于)FF f (t)F()Ff (t)eit dt所以F() f ( t) eit dt對上述積分作變換t ，則 f (t)F() f ( )ed i f ( )ed i f (t)e

10、 i t dt F8證明下列各式：ead dtf ( t) e f ( t) （ a 為常數(shù)）；at(1)d dt 1212f (t) f (t) f (t) d f (t) f (t) f (t).(2)121212dt證明：（ 1）f ( ) f (t )def (a )ef (t )da( t )ea121212 eaf 2 (t )1（2）d f (t) dd(t)dt f ( ) f (t )d f ( )f (t )df121212d(t )dt f (t ) df (t ) dt129計算下列函數(shù) f1 (t) 和 f 2 (t ) 的卷積：(t 0),(t 0),(t 0),(

11、t 0);(1)f (t) 0(2)f (t ) 0,1e12at ,(0 t )sin( t)0,(t0),(2)f (t)(2)f (t )2其他.1 e t ,2(t0),0解: (1) 顯然，有(t )(t )f (t ) 011當(dāng)t 0 時，由于 f 2 ( ) f1(t ) =0，所以f1(t ) f 2 (t ) f 2 ( ) f1 (t )d 0；當(dāng)t 0 時，ttte a df (t ) f (t ) f ( ) f (t )d f ( )d 12212000 1 eaa 1 (1 eat )at0（2）顯然，有(0 t )sin(t )sin(t )(t 2其他 t )f

12、 (t ) 220其他0所以，當(dāng) 0 或 t 或 t 時，皆有 f ( ) f (t ) =0。于是122當(dāng)t 0 時， f1(t ) f 2 (t ) f1 ( ) f2 (t ) d 0 ；當(dāng)0 t 時， f (t ) f (t ) t e sin(t )d ；12202te sin(t )d 。時， f (t ) f (t )當(dāng)t212t 又 e sin(t )d sin(t )de sin(t )e ecos(t )d sin(t )e cos(t )de e sin(t )e cos(t )esin(t )d )esin(t )e2所以 e sin(t )d cos(t從而tcos(

13、t )e sin(t )e e cost sintt當(dāng)0 t f1(t ) f 2 (t ) 時，22202當(dāng)t時， ttcos(t )e sin(t )ee e 2 t1f1(t ) f 2 (t ) e (1 e 2 )t2222t t 00 1 e tf (t ) fcos t sin t總結(jié)上述，得(t )0t。2 212212 te (1 e 2 )t 10求下列函數(shù)的傅氏變換：(1)f (t ) u(t ) sin t;(2)f (t ) e atu(t ) sin t( a0);00f (t ) ei0tu (t t );0(4)f (t )ei0ttu (t )(3)解：（ 1）由于ei 0t ei 0t1iu(t ) sin0t ( ),F2i根據(jù)位移性質(zhì)i ti tei0t u( t) F e i 0t u( t) ( ) ( ) 1112i i( ) i( )0000 ( ) ( ) 0 2i00220（2） F eau(t ) sin0t ei tdt0ei0t e i0t0esin0t eatii t edt2i010( a i i ) tdt e( a i i ) tedt02i 00 1110 e(a i i 0 )t e(a i i 0 )t2i (a i i )(a i i )000 01112i a i ia i i(a i)2 20 0