數(shù)值分析第八章常微分方程的數(shù)值解課件

1、第八章 常微分方程的數(shù)值解第八章 常微分方程的數(shù)值解引言簡(jiǎn)單的數(shù)值方法Runge-Kutta方法單步法的收斂性和穩(wěn)定性線性多步法一階常微分方程組和高階方程在高等數(shù)學(xué)中我們見過(guò)以下常微分方程：8.1 引言(1)，(2)式稱為初值問(wèn)題，(3)式稱為邊值問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中還經(jīng)常需要求解常微分方程組：本章主要研究問(wèn)題(1)的數(shù)值解法，對(duì)(2)(4)只作簡(jiǎn)單介紹。（其中L為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)）則初值問(wèn)題（1）存在唯一的連續(xù)解。 考慮一階常微分方程初值問(wèn)題其中，y = y(x) 是未知函數(shù)，y(x0) = y0 是初值條件，而f(x, y) 是給定的二元函數(shù). 由常微分方程理論知，若f(x)在xa,b

2、連續(xù)且 f 滿足對(duì) y 的Lipschitz條件：常微分方程的數(shù)值解法有單步法和多步法之分：?jiǎn)尾椒ǎ涸谟?jì)算yn1 時(shí)只用到前一點(diǎn)yn 的值 ；多步法：計(jì)算yn1 時(shí)不僅利用yn，還要利用yn-1, yn-2,.，一般k步法要用到 yn, yn-1, yn-2,., yn-k+1。求問(wèn)題（1）的數(shù)值解，就是要尋找解函數(shù)在一系列離散節(jié)點(diǎn)x1 x2 xn xn+1 上的近似值y1, y 2,yn 。為了計(jì)算方便，可取xn=x0+nh，(n=0,1,2,)， h稱為步長(zhǎng)。8.2 簡(jiǎn)單的數(shù)值方法一、歐拉（Euler）方法在x= x0 處，用差商代替導(dǎo)數(shù)：由得同理，在x= xn 處，用差商代替導(dǎo)數(shù)：由得若

3、記則上式可記為此即為求解初值問(wèn)題的Euler方法，又稱顯式Euler方法。Pn+1yOxx0 x1x2xnP0P1P2Pny=y(x)xn+1Euler方法的幾何意義：（Euler折線法）例: 用Euler方法求解常微分方程初值問(wèn)題并將數(shù)值解和該問(wèn)題的解析解比較。解：Euler方法的具體格式：xn y(xn) yn yn-y(xn)0.00000.20.19230.20000.00770.40.34480.38400.03920.60.44120.51700.07580.80.48780.58240.09461.00.50000.59240.09241.20.49180.57050.07871

4、.40.47300.53540.0624取h=0.2, xn=nh,(n=0,1,2,15), f(x,y)=y/x 2y2 計(jì)算中取f(0,0)=1. 計(jì)算結(jié)果如下：xn y(xn) yn yn-y(xn)1.60.44940.49720.04781.80.42450.46050.03592.00.40000.42680.02682.20.37670.39660.01992.40.35500.36980.01472.60.33510.34590.01082.80.31670.32460.00793.00.30000.30570.0057由表中數(shù)據(jù)可以看到，微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解和解析解的誤

5、差一般在小數(shù)點(diǎn)后第二位或第三位小數(shù)上，這說(shuō)明Euler方法的精度是比較差的。O : 數(shù)值解； : 準(zhǔn)確解 數(shù)值解和解析解的圖示比較如下：若直接對(duì)y=f(x,y)在xn, xn+1積分，利用數(shù)值積分中的左矩形公式：此即為Euler公式。設(shè)y(xn)= yn，則得若用右矩形公式：得上式稱后退的Euler方法，又稱隱式Euler方法?？捎玫ㄇ蠼猓撼踔担旱簁=0,1,因故當(dāng)hL1時(shí)，迭代法收斂。二、梯形方法由利用梯形求積公式：得上式稱梯形方法，是一種隱式方法。用迭代法求解：初值：迭代：k=0,1,因故當(dāng)hL/2n)上產(chǎn)生的偏差均不超過(guò) ，則稱該方法是絕對(duì)穩(wěn)定的。關(guān)于收斂性的討論有個(gè)前提，即必須

6、假定差分方法的每一步計(jì)算都是準(zhǔn)確的。然而實(shí)際計(jì)算中往往由于有舍入誤差等原因而產(chǎn)生擾動(dòng)，而這些擾動(dòng)有可能 “淹沒(méi)” 真解，所以我們還要考慮穩(wěn)定性問(wèn)題。穩(wěn)定性分析相當(dāng)復(fù)雜，不僅與方法本身有關(guān)，而且總跟方程的右端 f(x,y) 和步長(zhǎng)h有關(guān)。為簡(jiǎn)單起見，通常只對(duì)試驗(yàn)方程（也稱模型方程）（其中 為常數(shù)，當(dāng) 是復(fù)數(shù)時(shí)，Re( )n時(shí)，要使只要此時(shí)Euler方法是絕對(duì)穩(wěn)定的。在 =h復(fù)平面上，|1+ |1表示以(-1,0)為圓心，1為半徑的單位圓內(nèi)。Im(h)Re(h)O-2絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間：-2 h0對(duì)后退的Euler方法：解y=y，得故則絕對(duì)穩(wěn)定域：即在=h復(fù)平面上，是以(1,0)為圓心，1為半徑的圓外部

7、。Im(h)Re(h)O2包含左半平面，因此是A穩(wěn)定的。由上知，Euler方法（顯式）與后退Euler方法（隱式）階數(shù)相同，但后退的Euler方法的絕對(duì)穩(wěn)定域大得多，說(shuō)明隱式方法穩(wěn)定性比顯式方法好。對(duì)二階R-K方法（改進(jìn)的Euler方法），用其解y=y，得令=h ，得絕對(duì)穩(wěn)定域：由曲線圍成。經(jīng)典的四階R-K方法的絕對(duì)穩(wěn)定域：8.5 線性多步法計(jì)算yn+k時(shí)，除用yn+k-1的值外，還用到y(tǒng)n+i (i=0,1,k-2)的值，則稱此方法為線性多步法。一、一般公式：其中 fn+i =f(xn+i, yn+i)， xn+i = x0+ih， i , i為常數(shù)。若0 , 0不全為0，稱線性k步法；若k

8、=0，稱顯式k步法；否則稱隱式k步法。系數(shù)i 及i可根據(jù)方法的局部截?cái)嗾`差及階確定。定義：線性k步法在xn+k上的局部截?cái)嗾`差為若Tn+k= O(hp+1)，則稱多步法為p階的。由得其中q=2,3,若選i , i，使c0=c1=c2=cp=0，cp+10則多步法為p階的。由相容性定義知， p1 ，即c0=c1=0，則上式為線性多步法與初值問(wèn)題相容的充要條件。當(dāng)k=1時(shí)，（1）若1=0，則0=1 ， 0=1-Euler公式c2=1/20，具有1階精度。（2）若10，隱式方法，由c0=c1=c2=0，得故-梯形公式c3=-1/120，具有2階精度。k2時(shí)，可確定i , i和Tn+1。關(guān)于幾種常用的多步法公式請(qǐng)參考教材。8.6 一階常微分方程組和高階微分方程的 數(shù)值解法簡(jiǎn)介一、一階常微分方程組的數(shù)值解法：下列包含多個(gè)一階常微分方程的初值問(wèn)題：稱為一階常微分方程組的初值問(wèn)題。引進(jìn)向量記號(hào): 則上述一階常微分方程組的初值問(wèn)題化為矩陣形式：它在形式上跟單個(gè)微分方程的初值問(wèn)題形式完全相同，只是函數(shù)變成了向量函數(shù)。故前面介紹的一切數(shù)值方法都適用，只要把函數(shù)換成向量函數(shù)即可。 一、高階