理論力學-課件第4章

1、第 4 章 點的運動學本章內容 1 運動學的基本概念 2 點的運動方程 3 速度與加速度的矢徑表示法 4 速度與加速度的直角坐標表示法 5 自然軸系 6 速度與加速度的自然表示法第一節(jié) 運動學的基本概念靜力學中所研究的對象，都是由于受到平衡力系的作用而處于靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，即平衡狀態(tài)。在描述某一物體的運動時，總是選定合適的物體作為參考體。將坐標系固結于參考體上就構成參考坐標系，稱為參考系。在運動學里，總是選取地球作為參考系，為了方便，將這個坐標系稱為靜坐標系。點的運動學是研究點在空間中的位置隨時間變化的規(guī)律。它包括點的運動軌跡、運動方程、速度和加速度。運動學是研究物體機械運動幾何規(guī)律的

2、學科。第二節(jié) 點的運動方程點在空間運動所經過的路線，稱為點的運動軌跡。點的運動軌跡如為直線，則稱為直線運動；如為曲線，則稱為曲線運動。若動點 做直線運動，可取此直線為 軸，如圖4-1所示。在直線上任選一點 為坐標原點，并選某一方向為正向，則動點 的位置可由它的坐標 確定。4-1當動點運動時，它的坐標 隨時間變化，在一般情況下，坐標 是時間 的單值連續(xù)函數，即（4-1)式（4-1）稱為動點沿直線運動相對于點 O的運動方程。(1)自然法一般地，動點做曲線運動時，它的幾何位置隨時間變化的規(guī)律，同樣可用數學表達式表示，稱為點做曲線運動的運動方程。動點對于不同的參考系，可寫出不同形式的運動方程。（2）直

3、角坐標法（3）矢徑法（4）柱坐標法式（4-2）稱為動點沿已知軌跡的運動方程。顯然，當函數 已知時，動點任一瞬時在軌跡曲線上的位置可完全確定。設動點的軌跡曲線是已知的，可參照點做直線運動時的表示方法，以點的軌跡曲線本身作為參考系來決定點的位置，如圖4-2所示。自然法4-2在軌跡曲線上選定一點 作為原點，并規(guī)定在原點 某一邊的弧長為正，在另一邊的弧長為負。點在曲線上的位置由弧長 來確定。 為代數量，稱為動點 的弧坐標或自然坐標，當動點 沿軌跡曲線運動時，弧坐標 將隨時間而變，并可表示為時間 的單值連續(xù)函數：（4-2）直角坐標系法當動點 在空間運動時，它在任一瞬時的位置可用直角坐標系的三個坐標 來確

4、定，如圖4-3所示。三個位置坐標都是時間 的單值連續(xù)函數，通常表示為（4-3）圖4-3式（4-3）就是動點 的直角坐標運動方程。若函數 都已知，則動點 在任一瞬時的位置即可完全確定。由上述方程消去時間 ，即可得到 之間的關系式 ，這就是動點的軌跡方程。當動點 始終在同一平面內運動時，如取這個平面為坐標平面 ，則運動方程（4-3）就簡化為（4-4）消去 之后，即是軌跡方程矢徑法如圖4-4所示，設動點 沿任一空間曲線運動，選空間任意一點 作為原點，則動點的位置可由如下的矢徑來表示：當動點運動時，矢徑 的大小及方向均隨時間而改變，因而可表示為時間 的單值連續(xù)函數這就是動點 的矢徑運動方程。當動點運動

5、時，矢徑端點所描繪的曲線就是點的運動軌跡。圖4-4柱坐標法由高等數學知識可知，動點在空間的位置可由點的柱坐標唯一確定。如圖4-5所示，參數為動點的柱坐標。當點在空間運動時，其柱坐標隨點的位置不同而變，即為時間的單值連續(xù)函數：圖4-5（4-6）式（4-6）即為用柱坐標表示的點的運動方程。當點做平面曲線運動時，其位置用坐標 和 便可唯一確定。因此，可用極坐標系代替柱坐標系來描述動點的運動。如圖4-6所示。此時，動點的運動方程簡化為圖4-6從上式中消去參數 ，即可得到用極坐標表示的動點的軌跡方程。例4-1直桿 兩端分別沿兩互相垂直的固定直線 與 運動，如圖4-7所示。試確定桿上任一點 的運動方程和軌

6、跡方程，已知 ， ， 。圖4-7解選取直角坐標系 ，則動點 的坐標 為這就是 點的運動方程。從運動方程中消去時間 ，則得 點的軌跡方程這是以 ， 為半軸的橢圓方程。例4-2如圖4-8所示，刨床的曲柄滑道搖桿機構由曲柄 ，搖桿 及滑塊 組成。當曲柄繞 軸轉動時，搖桿可繞 軸擺動，搖桿及滑塊 與扶架相連，搖桿擺動時可帶動扶架做往復運動。已知 ， ， ，且 。當曲柄以勻角速度轉動時（即 ），求扶架的運動方程。圖4-8解取坐標系 如圖4-8所示，令 點表示扶架的運動，由 可知 點的橫坐標為為了求出 與時間的關系，應找出 與轉角 的關系，由 及 得知：即將 的值代入前式，即得扶架的運動方程一、點的速度第

7、三節(jié) 速度與加速度的矢徑表示法圖4-9設動點做曲線運動，從瞬間 到瞬間 ，動點由位置 移動到 ，其矢徑分別為 和 ，如圖4-9所示。在 時間間隔內，矢徑的改變量為圖4-9則 稱為動點 在 時間間隔內的位移。 描述點在時間間隔 內運動的平均快慢程度，稱為動點在時間間隔 內的平均速度矢量，以 表示，即因為時間是標量，故知 的方向與 的方向相同。 越小， 與 的 差別就越小，平均速度就越趨近于動點的真實速度。因此當 趨近于零時，即得動點的瞬時速度，即 表示，即所以，動點的速度等于動點的矢徑對于時間的一階導數。注意：函數對時間的導數用在函數上方加 表示。速度 描述點在瞬時 運動的快慢與方向。點的速度是

8、矢量，它的方向就是 或 在極限情況下的方向，也就是軌跡曲線上 點的切線方向。一般地說，點的運動方向指的是速度的方向。速度的單位是m/s。二、點的加速度在一般情況下，動點的速度的大小和方向都可能隨時間變化。為了表明點的速度的變化情況，用加速度來表示每一瞬時點的速度對于時間的變化率。加速度既包括速度大小的變化，也包括速度方向的變化。設動點 在瞬時 的速度是 ，在瞬時 的速度是 ，如圖4-10所示，則速度的變化是 ，故動點的平均加速度為圖4-10當 趨近于零時，即得動點在瞬時 的加速度為動點的加速度等于動點的速度對于時間的一階導數，或等于動點的矢徑對于時間的二階導數。如由任一定點 作相當于各瞬時 ，

9、 ， ， 的速度矢量 ， ， ， ，連接速度矢量端點的曲線稱為速度矢端曲線。由瞬時加速度的概念，可知瞬時加速度的方向是沿著動點速度矢端曲線的切線方向，如圖4-11所示。加速度的單位是 。圖4-11第四節(jié) 速度與加速度的直角坐標表示法一、點的速度的直角坐標表示法動點的直角坐標的運動方程為由圖4-3知，矢徑 可寫成式中： ， ， 沿直角坐標軸正向的單位矢量。圖4-3第三節(jié)已經證明，動點的速度等于動點的矢徑對于時間的一階導數，因此動點的速度可寫為但速度矢量也可表示為式中： ， ， 在坐標軸 ， ， 上的投影。由此我們得到，用直角坐標表示的速度為這就表明：動點的速度在各坐標軸上的投影，分別等于動點的各

10、對應坐標對于時間的一階導數。速度的大小及方向余弦為二、點的加速度的直角坐標表示法加速度是速度對于時間的導數，所以加速度 在坐標軸上的投影 ， ， 應分別等于速度 在坐標軸上的投影 對于時間的導數，即這就表明：動點的加速度在各坐標軸上的投影，分別等于動點的各對應坐標對于時間的二階導數。加速度的大小及方向余弦為例4-3曲柄連桿機構在工程中有非常廣泛的應用，這種機構能將轉動轉換為平動，如壓氣機、往復式水泵、鍛壓機等；或將平動轉換為轉動，如蒸汽機、內燃機等。如圖4-12所示的曲柄連桿機構中，曲柄 以勻角速度 繞 軸轉動，由于連桿 的帶動，滑塊 沿著直線導槽做往復直線運動。已知 ， ，且 ，求滑塊 的運

11、動方程、速度及加速度。圖4-12解滑塊 的運動是往復直線運動，軌跡沿 直線，可用直角坐標法建立運動方程。取軸 為原點，選坐標系 ，則滑塊 在任一瞬間的位置為式中， 。由直角三角形 及 得到或于是因此滑塊 的運動方程為以 和 代入上式，可知滑塊的行程或沖程為 。為了使運算簡單，用二項式定理將 展開，得 一般均小于1，如當 時，則 ，上述展開式從第三項起以后的所有各高階項均可略去，于是代入運動方程后，便得工程中常用的滑塊的近似運動方程故滑塊的速度為加速度為第五節(jié) 自然軸系設有空間曲線如圖4-13所示，令 表示曲線在點 的切線的單位矢量， 表示與點 鄰近的點 的切線的單位矢量，將矢量 平移至點 ，則

12、矢量 與 的夾角 表明曲線的弧長 內彎曲的程度，可見圖4-13式中： 弧 的平均曲率。當點 趨近于點 時，平均曲率的極限值就是曲線在點 的曲率k，可表示為點 的曲率的倒數稱為曲線在點 的曲率半徑，以 表示，則有對于圓周來說，曲率半徑即為圓的半徑；對于直線來說，曲率半徑可視為 。在圖4-14中，通過點 作一平面使其永久包含有在點 的兩個矢量 和 。當點 向點 接近時，則這個平面的位置也在變化，而且繞切線的單位矢量 轉動。當 趨近于 時，即當 趨近于零時，這個平面將趨近于某一極限位置。在這個極限位置的平面稱為曲線在點 的密切面。在點 附近無限小的一段弧線在密切面內發(fā)生彎曲，因此密切面亦稱為曲率平面

13、。在平面曲線的特殊情況下，密切面就是曲線所在的平面。圖4-14通過點 作與切線 垂直的平面稱為法面，顯然在法面內通過 點的任何直線都與切線垂直，因而都是曲線的法線，其中密切面與法面的交線稱為曲線在 點的主法線，可見主法線只有一條。法面內與主法線垂直的法線稱為副法線。若以 表示主法線的單位矢量， 表示副法線的單位矢量， 指向弧坐標的正方向， 指向曲線內凹的一邊， 的方向則根據右手法則由下式決定：自然軸系不是固定的坐標系，與 固定坐標系不同。它隨動點在軌跡曲線上的位置而改變，因此 ， ， 是方向隨著動點的位置而變化的單位矢量。第六節(jié) 速度與加速度的自然表示法一、速度的自然表示法如圖4-15所示，設

14、已知的軌跡及沿此軌跡的運動方程為已知動點的速度等于動點矢徑的一階導數，即 ；將此式的分母及分子各乘以 ，則得式中其中， 是在 時間內動點弧坐標的變化。圖4-15由圖4-15可知， 及 都在相同的一邊變化，故不論 的正負如何，當 趨近于零時，則 的大小趨近于1，其方向趨近于軌跡的切線方向，并指向弧坐標增加的一邊，亦即切線單位矢量 的方向，因此此外， ，顯然這是速度的大小。當 時， 隨時間而增大，因此 的指向與 相同；反之， 的指向與 相反。于是，我們得到動點沿曲線運動的瞬時速度的表達式為動點沿已知軌跡的速度的大小等于弧坐標 對于時間的一階導數，速度的方向是沿著軌跡的切線方向，當 為正時，速度的指

15、向與 相同；反之，速度的指向與 相反。二、加速度的自然表示法動點 的加速度 等于動點的速度 對于時間的導數，即加速度的第一項 的方向總是沿著曲線的切線方向，稱為切向加速度，記為 ，即當 時， 指向軌跡的正向；反之， 指向軌跡的負向。 即為加速度 在沿軌跡切線軸 上的投影。加速度的第二項 代表速度方向的變化。在瞬時 ，軌跡上 點的切線單位矢量是 ；經過時間 ， 的改變?yōu)橐虼饲芯€單位矢量的導數為由圖4-16可知， 的大小由等腰三角形 得知為 ，當 很小時，即 很小時，則 ，于是圖4-16其中， 是動點弧坐標的變化。但已知 恒為正值， 為曲線在 點的曲率半徑， 是速度的大小，因此 的方向應與 時 的

16、極限方向一致，在圖4-16中， 與 的夾角為 ，指向曲線內凹的一側，當 時， ，則 與 間的夾角趨于 ?？梢?， 垂直于 ，即沿曲線在 點的切線，所以導數 的方向是沿主法線方向，并指向曲率中心，因此可見，加速度的第二分量為 。因為 恒為正值，因此不論 本身的方向如何，加速度的第二項始終沿主法線的正向，并指向曲率中心，稱為法向加速度，記為 （見圖4-17）：圖4-17綜上所述，動點的加速度的自然表示法為稱為點的全加速度。加速度的大小為加速度的方向用其與方法線所夾角度表示為結論：點做曲線運動時的全加速度 等于切向加速度與法向加速度的矢量和，其中，切向加速的大小等于速度大小對時間的一階導數，或等于弧坐

17、標對時間的二階導數，它的方向永遠沿軌跡的切線方向；法向加速度的大小等于點的速度平方除以該點的曲率半徑，它的方向沿著該點的主法線，并指向曲率中心。點做曲線運動時，反映動點速度大小變化的是切向加速度。切向加速度與速度同向時，點做加速度運動，反向時做減速運動。切向加速度為零時，點做勻速運動。法向加速度則反映動點速度方向變化的快慢程度，其大小取決于速度的平方和曲率半徑的比值。例如，當 ，即 時，點的運動方向不變，此時做直線運動。最后將幾種特殊情況分別說明如下：（1）直線運動 在此情況下，由于直線軌跡的曲率半徑 ，因此 ，全加速度為即僅有表明速度大小改變的加速度。（ 2 ）勻速曲線運動 在此情況下，速度

18、 是常數，因此 ， 全加速度為即僅有表明速度方向改變的加速度。運動方程可求之如下：由 ，積分后得或又由 ，得由式（4-19）及式（4-20）消去時間 ，則得或（4-19）或（4-20）（3）勻變速曲線運動 在此情況下， 是常數。由 ，積分后得（4-21）例4-4 圖4-18解如圖4-18所示為一曲柄搖桿機構，曲柄長 ，繞 軸轉動，角 與時間 的關系 ，單位分別為 與 ；搖桿長 ，距離 。求 點的運動方程、速度及加速度。點 的運動軌跡是以 為半徑的圓弧， 時，點 在 處。取 為弧坐標原點，則點 的弧坐標為由于 是等腰三角形，故 ，則這就是點 沿已知軌跡的運動方程。于是點 的速度及加速度為其方向如圖所示。可見，點 做勻速圓周運動。因為列車做勻變速運動，所以 是常數，由式（4-21）得例4-5列車在曲率半徑 的曲線軌道上勻變速行駛。軌道的曲線部分長 ；列車開始走上曲線時的速度是 ，將要離開曲線時的速度是 。求列車走上曲線與將要離開曲線時的加速度。解（a）根據已知條件：代入式（a），則求出列車開始走上曲線時的法向加速度為故其全加速度為列車將要離開曲線時的法向加