有限元復(fù)習(xí)資料

1、何謂有限元法，其基本原理是什么？有限元法是求解一類偏微分方程和常微分方程的數(shù)值分析方法。其基本原理是：1）將連續(xù)的求解區(qū) 域離散成有限多個(gè)單元，在每個(gè)單元中設(shè)定有限多個(gè)節(jié)點(diǎn)，將連續(xù)體看作是只在節(jié)點(diǎn)處相連接的一 組單元的集合體；2）選定場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值作為基本未知量，單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)值通過節(jié)點(diǎn)處的值用假 定的插值函數(shù)表示；3）通過和原問題數(shù)學(xué)模型等效的變分原理或加權(quán)余量法，建立求解基本未知量 的代數(shù)方程組或常微分方程組，從而將一個(gè)連續(xù)域中的無限自由度問題化為離散域中的有限自由度 問題。求解后利用解得的節(jié)點(diǎn)值和設(shè)定的插值函數(shù)確定單元內(nèi)部以至整個(gè)集合體上的場(chǎng)函數(shù)。何謂單元、載荷、邊界條件？整體結(jié)構(gòu)離散中

2、劃分出的每一小塊體稱為單元。常見的單元類型有線性單元、三角形單元、四邊形 單元、四面體單元和六面體單元。單元頂點(diǎn)及插值點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。求解區(qū)域所受外界施加的力稱為載荷，包括集中載荷和分布載荷等。在不同學(xué)科中，載荷的含義有 所不同。邊界條件是指求解區(qū)域邊界上所受到的外加約束。如結(jié)構(gòu)分析中的位移約束，熱分析中邊界上給定 的溫度、熱流等條件。寫出有限元法列式的一般形式，說明各項(xiàng)（包括元素）的含義。應(yīng)用有限元法，求解問題的數(shù)學(xué)模型被轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程組，用矩陣表示為K u F，其中 K稱為剛度矩陣，u為待求節(jié)點(diǎn)場(chǎng)函數(shù)向量，F(xiàn)為節(jié)點(diǎn)載荷向量。總體剛度矩陣由單元?jiǎng)偠染仃嚡B加而成。以結(jié)構(gòu)分析為例，單元?jiǎng)偠染?/p>

3、陣中元素Ke的含義是單元節(jié)點(diǎn)第j自由度產(chǎn)生單位位移引起的 j第i自由度方向的力，總體剛度矩陣中元素K.的含義是節(jié)點(diǎn)整體編號(hào)中各單元在同一節(jié)點(diǎn)第j自由 IJ度產(chǎn)生單位位移引起的第i自由度方向力的和，也就是有公共節(jié)點(diǎn)的各相關(guān)單元對(duì)這一節(jié)點(diǎn)都有“貢 獻(xiàn)”。說明有限元法與有限差分法的異同并列舉其它的數(shù)值求解方法。相同之處：1）兩者都是求解偏微分方程和常微分方程的數(shù)值分析法；2）都要對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行離散；3）最終的形式都是一組以節(jié)點(diǎn)場(chǎng)函數(shù)值為未知變量的線性代數(shù)方程組。不同之處：1）形成以節(jié)點(diǎn)場(chǎng)函數(shù)為未知量的線性代數(shù)方程組的理論不同。有限元法是通過變分原理或加權(quán)余量 法等方法實(shí)現(xiàn)；而差分法是將控制方程直接應(yīng)

4、用在節(jié)點(diǎn)上，用節(jié)點(diǎn)處的差商代替導(dǎo)數(shù)，得到以節(jié)點(diǎn) 處場(chǎng)函數(shù)值為未知量的線性代數(shù)方程組，結(jié)合給定的邊界條件進(jìn)行求解；2）區(qū)域離散方法不同。有限差分法用與坐標(biāo)線（面）平行的線（面）劃分區(qū)域，對(duì)復(fù)雜形狀區(qū)域較 難處理；有限元法劃分區(qū)域的單元形狀靈活，適于處理復(fù)雜形狀區(qū)域；其它的數(shù)值求解方法：如有限容積法，有限分析法。ANSYS軟件主要有那幾部分組成，主要能解決哪些工程領(lǐng)域的問題？ANSYS軟件主要由前處理模塊、分析計(jì)算模塊和后處理模塊組成。ANSYS軟件是大型多物理場(chǎng)分析求解軟件，主要應(yīng)用領(lǐng)域：機(jī)械、化工、鐵路、電子、航空航天、 能源動(dòng)力等。主要功能模塊包括：1）結(jié)構(gòu)靜力分析；2）結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析；3）

5、結(jié)構(gòu)非線性分析；4） 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；5）熱分析；6）電磁場(chǎng)分析；7）流體動(dòng)力學(xué)分析；8）聲場(chǎng)分析；9）壓電分析；10） 偶合場(chǎng)分析；11）高級(jí)分析模塊，如優(yōu)化設(shè)計(jì)等。應(yīng)用ANSYS軟件求解物理問題的一般步驟有哪些？1）建立模型指定文件名和分析問題標(biāo)題；定義單位制；定義單元類型；定義單元實(shí)常數(shù)；定義材 料特性；創(chuàng)建幾何模型；劃分網(wǎng)格生成物理模型。2）加載和求解 定義分析問題類型和分析選項(xiàng)；施加約束和載荷；指定載荷步選項(xiàng)；求解。3）查看結(jié)果并進(jìn)行分析應(yīng)用通用后處理器POST1和時(shí)間-歷程后處理器檢查和分析結(jié)果ANSYS軟件結(jié)構(gòu)分析模塊主要有那幾類單元，各有哪些特點(diǎn)？主要有：集中質(zhì)量單元，桿單元，梁?jiǎn)?/p>

6、元，連續(xù)實(shí)體單元，殼單元和組合單元等。這些單元均有二 維和三維之分。另外，質(zhì)量單元，桿單元，梁?jiǎn)卧?，殼單元，組合單元除有材料屬性外還有幾何或 其他屬性，如質(zhì)量，梁的截面積，慣性矩等，這些參數(shù)須在材料實(shí)常數(shù)中定義。在ANSYS軟件中劃分網(wǎng)格應(yīng)注意哪些問題？1）對(duì)由多種材料，多個(gè)零件組成的結(jié)構(gòu)，對(duì)不同零件指定不同網(wǎng)格屬性：如通過單元類型，材料類 型，材料實(shí)常數(shù)等區(qū)分不同的區(qū)域，所劃分網(wǎng)格與具體的零件（區(qū)域）相對(duì)應(yīng)。2）網(wǎng)格疏密與所分析物理問題，網(wǎng)格所處位置有關(guān)，在被求量變化速率大的地方應(yīng)作加密處理；3） 不同材料區(qū)域單元網(wǎng)格尺寸差異不應(yīng)太大。用ANSYS軟件建立幾何模型通常有哪兩種方法，具體內(nèi)容是

7、什么。說明圖1所示軸承座結(jié)構(gòu)幾 何建模要點(diǎn)。圖1軸承座答：有兩種方法。一是自下向上的建模方法，該方法 利用點(diǎn)、線、面基本圖形要素建立模型，二是自上向下的建 模方法，該方法利用ANSYS軟件提供的基本幾何形體，通過 邏輯關(guān)系建立幾何模型。圖1所示軸承座幾何建模要點(diǎn)： 軸承座關(guān)于過孔軸線的垂直面對(duì)稱，建模時(shí)先建立一半的模型， 利用鏡像生成另一半模型，最后通過合并生成軸承座整體。軸 承座底座為長(zhǎng)方體，孔上部為1/4圓柱，下部為長(zhǎng)方體，孔通 過1/4圓柱加下部長(zhǎng)方體減去中間的圓柱生成，筋通過菱形基 本圖形生成。因此，軸承座可利用自上而下的建模方法創(chuàng)建。建立圓柱要根據(jù)需要旋轉(zhuǎn)局部坐標(biāo)系， 使z軸沿著圓柱

8、軸線方向。拉筋厚度方向也要沿局部坐標(biāo)的z軸方向。10.在ANSYS軟件中命令“ Add”、“Glue”、“Overlap”的作用是什么，通常在什么情況下使用？答：“Add”、“Glue”、“Overlap”命令是幾何建模中的邏輯命令，“Add”將幾個(gè)相關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立建立 的模型合并成一個(gè)幾何體，在生成一個(gè)完整實(shí)體時(shí)使用。“Glue”將幾個(gè)相關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立建立的模 型粘接起來，彼此還是獨(dú)立的幾何體，只是在界面上連接起來，用于把不同性質(zhì)的幾何體關(guān)聯(lián)起來， 模型劃分網(wǎng)格后，界面上的節(jié)點(diǎn)具有相同的位移或溫度?！癘verlap ”命令將重疊的幾何體在界面處分割，但界面仍粘在一起?！癘verlap”命令具有分

9、割和粘接的功能。二、圖2所示為一受軸向拉力作用的階梯軸，試用最小勢(shì)能原理建立該階梯軸的有限元列式。解：小勢(shì)能原理可敘述為：在外力和約束作 彈性體，其總勢(shì)能為最小，或者說，在所有 實(shí)位移場(chǎng)的總勢(shì)能取最用下處于平衡狀態(tài)的可能的位移場(chǎng)中，真小值。數(shù)學(xué)描述即總勢(shì)能的一階變分為零，而且二階變分是正定的（大于零）。對(duì)階梯軸：兀=J b dv - F u2外力作用下的真實(shí)位移使:兀是該問題的泛函。位移與應(yīng)變的關(guān)系為:dudx應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為:（本構(gòu)關(guān)系）設(shè)位移模式：u =a 1 +a2xx = 0, u = u 對(duì)第單元：x = l , u = u得：ax1-廠1 e J(11=Bu ；,jJ,jJ對(duì)階梯

10、軸劃分單元:V 1 V _兀=乙 J ns dv 一乙 F u ；2對(duì)典型單元:兀 e = J !b dv -E Fu 2le JAdx - (u , u )BuAdx 一 uF=j 2(u ,u .)|f 1E-一1e! Adx-(u - u)J真實(shí)位移使總勢(shì)能取極小值（8兀=0 ），對(duì)單元也有（8兀e = 0 ）。得，8兀e=0,=8 uj11212ee111212ee1_11212ee110。d u、00, j EA0, j EAf 0uj應(yīng)使王ui dx -(1,0 ) =dxEA整體剛度陣的裝配:擴(kuò)展單元?jiǎng)偠汝?，k(1)k(1)01112k(1)k(1)02122000k(總體剛度陣

11、，k = k+ k（2）整體有限元列式：kx5= F ；=(u,u , u )T , F = (F ,0, F )T。12313三、圖3所示為一雙層平壁導(dǎo)熱問題，試用工程法建立求解該雙層平壁溫度場(chǎng)的有限元列式。若T = 40 C， T = 15 C， X = 0.35 W/ (m.K) , L = 25mm ,人=0.2 W/ （m.K）, L2 = 5mm ,用建立的有限元列式求平壁1 一半厚度處的溫度和 通過平壁傳遞的熱量。解：節(jié)點(diǎn)熱流與單元節(jié)點(diǎn)溫度的關(guān)系T - T 人A 人A 節(jié)點(diǎn)處：。=人A tj = T - fT ; TOC o 1-5 h z ， e e l l i l ， eee

12、T -T 入 A _ 入 A _節(jié)點(diǎn)處：Q =人 A T-=-T +T ;圖 3j e e ll i l ，入Ale入Ae4IQ 1。用矩陣表示為：，I =Q.JJ單元有限元列式的集結(jié)：整體熱導(dǎo)矩陣可通過單元熱導(dǎo)矩陣擴(kuò)展或節(jié)點(diǎn)熱流平衡方程求出。 對(duì)節(jié)點(diǎn)1列熱流平衡方程：le入Ale ；或者：Q e = keTe，k為熱導(dǎo)矩陣圖。3Qw +Qi +Qi = 0 ；112T（】）=T , T（2）= Ti1 i2 ； T（】）=T , T（2）= T節(jié)點(diǎn) 1：k（】）T + k（i）T. =4 ；節(jié)點(diǎn)2：k（1）T（1）+ k（1）T（1）+ k（2）T 俱）+ k（2）T（2）= Q ；21 i

13、22 J11 i12 J2k（2）T（2）+ k（2）T（2）=21 i 用矩陣表示為：節(jié)點(diǎn)3：22 JI| = 或，-Q1wQ w |-Q w 3節(jié)點(diǎn)上熱流:Q w未知，1Q w =0，2邊界處：x = 0,T = T，x = l + l ,T = Tn12w用置1法求未知節(jié)點(diǎn)的溫度:k(1)210Vk + k(2)22110k(2)121(T T2TV 3(T(X X )產(chǎn)n + : Tw )V 11TV w12X )+ 了 A,(A = A = A )；熱流：如頊12=e w3X A, (T1 n1人A1l1(X/TV1 nX)X X2 T12 A1wJ1 1X :=X 2X21 +21

14、112 JJ12+、(T - T )；n w2 J代入給定數(shù)據(jù):(T t2TV 311TV w+ 了Tw七 J2+?2 J(40(0.35)40 +15 1V 0.0250.005J(空+QV 0.025 0.005 J15 u0.2(4021.48e=-(Ti n1,板1(301- 4) = 160W , ik 0.030.3 X 1半厚度處的溫度為(Tn+T2) /2=22C。四、用有限元法計(jì)算二維平面應(yīng)力問題。計(jì)算區(qū)域用三角形網(wǎng)格劃分，典型網(wǎng)格如圖5所示， 元內(nèi)位移插值函數(shù)采用線性插值函數(shù)u (X y) =。+。X + a y。1231)2)3)通過節(jié)點(diǎn)位移值求差值函數(shù)系數(shù)的表達(dá)式；導(dǎo)出

15、用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)部位移的計(jì)算式;應(yīng)用虛位移原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃嚤磉_(dá)式。x ii(xi, yi)解：1)位移插值函數(shù):;代入節(jié)點(diǎn)處坐標(biāo)和位移值，得u =a*a x + a；u =以+以 x +以 y ； u =a*a x +a；i 12 i 3 i j 12 j 3 j k 12 k 3 k用矩陣表示為：(1xy )a ui11xya =u ,jj21xkyk JaI 3u偵k Ja =一 XTjXk, y求解得a 1如2/akbkuu . 7=12 Aabajbjacccul 3)V ijk JI k)bi1，y.1, y1, y=- j = y y , b，k= j1, y k=yk

16、一 y jb = 1 = y yj1, x1, x1, xci=j = x - x ,，c .=，k一i1, xk=x -x，c = i = x - xj其中：a = x y 一 x y ,i i k k j=x y - x y k i i k,a = x y 一 x yk i j j i2 A= a + a + ai j k1 u (a+ b x + c y ) u +1(a + b x + c y )u +1(a+ b x + c y ) u2 Aiiii2 Ajjjj2 Akkkk2)=N (x, y ) u + N (x, y ) u + N (x, y ) uii jj kk之8 x08 Nr8 x08 =088yu, Lv=08 Ni8 y_8_8 N8 N8 y8 x8 y8 x3)根據(jù)虛位移原理，有5 *TF = jj&*T Q tdxdyj08 x8 N0t8 y8 N8 NTj8 y8 xd N8 N1r08 x8 N01r8 y8 N8 N1t1t8 y8 xuiviujvjumv= b b a x 2 A . jbxbyT xyyYxy=DB5 e將以上格式代入虛功方程式，得K = j BTDBtdAA五、耦合場(chǎng)分析常用的方法有哪兩種 分析的過程。以圖5所示的冷卻柵管熱應(yīng)力分析為例說明其中一種耦合