數(shù)學建模-經(jīng)典創(chuàng)新思維方法

1、幾種創(chuàng)新(chungxn)思維方法共四十六頁數(shù)學模型是現(xiàn)實世界與數(shù)學世界的理想(lxing)橋梁，* 數(shù)學建模沒有普遍適用(shyng)的方法與技巧.* 有一些普遍適用的思想方法與思維方式. 整個數(shù)學建模過程由若干個有明顯差別的階段性工作組成 怎樣構架這座橋梁？共四十六頁求解(qi ji)數(shù)學模型 實際(shj)問題分析建立數(shù)學模型提交論文與報告 模型與模型解的分析及檢驗 數(shù)學建模的各階段工作共四十六頁此流程 具有(jyu)指導意義 ，應注意 * 流程應用是彈性(tnxng)的，切不能生搬硬套. 本章基本上按照此流程來介紹數(shù)學建模的方法。 * 建模過程往往是一個反復循環(huán)的過程.共四十六頁 數(shù)學

2、建模過程是一種創(chuàng)新(chungxn)過程，在思考方法和思維方式上與學習其他課程有很大差別。數(shù)學(shxu)創(chuàng)新思維.等等.類比思維歸納思維逆向思維發(fā)散思維猜測思維共四十六頁 掌握(zhngw)幾類方法：問題解決法、思想表達法、創(chuàng)造發(fā)明法.方法的共同特點： 不輕易否定別人的意見， 懷疑一般常識， 努力發(fā)現(xiàn)(fxin)別人尚未察覺的事物等 以下介紹幾種（個體和集體的）創(chuàng)造性思維方法 對于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)不可或缺共四十六頁一、打開思路(sl)的方法面對(min du)新問題，應盡量打開自己的思路： 發(fā)散性思維和猜測思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分 1. 不要輕易沿一條思路深入，不要輕易做出結論. 2

3、. 盡量多一些想法，多一些猜測。思考、思考、再思考.共四十六頁幫助展開(zhn ki)思路的方法： 關鍵詞聯(lián)想(linxing)法提問題法1.提問題法 面臨難題, 束手無策時通過提出一系列問題來導出一些想法或一個好的方案.如： (l) 這個問題和什么問題相類似？(2) 假如變動問題的某些條件將會怎樣？借助于一系列問題來展開思路. 共四十六頁(4) 重新組合又會怎樣(znyng)？(3) 將問題分解成若干部分再考慮(kol)會怎樣？為進一步打開思路可提以下問題： (5) 我們還可以做什么工作？(6)有無需要進一步完善的內容？(7) 可否換一種數(shù)學工具來解決此問題？ 針對問題和初始方案可以先設計出

4、類似的問題清單，然后反復展開。 共四十六頁 一種新產(chǎn)品剛面世，廠家和商家總是采取各種措施促進銷售，比如(br)不惜血本大做廣告等等.他們都希望對這種新產(chǎn)品的推銷速度做到心中有數(shù),廠家用于組織生產(chǎn)，商家便于安排進貨.例1 電飯煲銷售(xioshu)問題 怎樣建立一個數(shù)學模型描述新產(chǎn)品(電飯煲)推銷速度，并由此分析出一些有用的結果以指導生產(chǎn).共四十六頁想一想 此問題與我們(w men)遇到的哪一個建模問題 相類似？分析 Logistic人口(rnku)模型，t 時刻的人口數(shù)為t0 改寫為 共四十六頁數(shù)學分析(sh xu fn x)1. 若 r0，則S0，隨著 ,則2. 若 r0，討論(toln)L

5、ogistic曲線特征N(t) 是單調上升函數(shù). K是使得人口凈增長率 r(K)=0 的人口數(shù)，可理解為該地區(qū)能容納的人口上限.共四十六頁共四十六頁t00N0kk/2 人口不會無限增長，存在一個轉折時間點t0 ，過此點以后增長速度(zn chn s d)會減緩。 共四十六頁 (1) 一般(ybn)每戶只需用12只電飯煲就足夠,一個地區(qū)的需求量是有限的； 電飯煲的銷售情況類似(li s)于人口增長情況,可利用類比方法建立模型.Logistic模型特點：初期高速增長，過一個特定時間點后增長速度減緩，且有上界控制.對原問題的分析： (2) 初期在廣告之類推銷作用下銷售速度較快,商品趨于飽和時銷售速度

6、會減緩.共四十六頁 記x(t)為t 時刻已售出的電飯煲總數(shù),市場的飽和量(最大需求量)為M,利用(lyng)Logistic模型來描述電飯煲的銷售速度變化(binhu)情況.實際情況與Logistic銷售曲線十分吻合 思考 請考慮現(xiàn)實中哪些變量的變化可用 Logistic模型進行描述？共四十六頁 現(xiàn)代化都市里大樓林立,這些拔地而起的摩天大樓安全性不容忽視,我們經(jīng)常耳聞目睹大樓內發(fā)生意外情況,造成令人震驚的人員傷亡和財產(chǎn)損失. 大樓內居住人員的安全保障在于無論發(fā)生什么情況,都能使人員有組織,有秩序地進行疏散(shsn)撤離.例2 “9.11”事件(shjin)的反思共四十六頁 一座大樓的管委會想

7、進行一次緊急(jnj)疏散人員的演習. 問題(wnt)分析 演習之前需要考慮許多方面,如大樓內的設施、人員的分布情況、撤離路線的設計、撤離的步驟等等，這是一個較龐大的系統(tǒng)工程應考慮將此問題分解成為若干個子問題，如* 一個房間內人員的撤離；* 一個通道的撤離；共四十六頁* 一層樓人員(rnyun)的撤離；最后(zuhu)，將各個子問題重新組合起來. 練習題： 2007年MCM Problem B: The Airplane Seating Problem。共四十六頁2.關鍵詞聯(lián)想(linxing)法主要步驟(bzhu)如下： (1) 抓住問題或方案的關鍵詞,不受任何約束地進行聯(lián)想； (2) 把聯(lián)

8、想到的內容用關鍵詞的方式登記在卡片上,進一步激發(fā)產(chǎn)生新的想法,進一步想出新的主意； (3) 再把積攢的卡片相互搭配,形成解決問題的初步思路與步驟.一種有效的發(fā)散思維方式.共四十六頁 在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內，經(jīng)常有若干(rugn)架飛機作水平飛行.區(qū)域內每架飛機的位置和速度均由計算機記錄其數(shù)據(jù),以便進行飛行管理.當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣,記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內的飛機發(fā)生碰撞.如果會碰撞,則應例4 飛行管理(gunl)問題共四十六頁請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學模型(mxng),列出計算步驟,對以下數(shù)據(jù)進行計算(方向角誤差

9、不超過0.01度).要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小.記錄數(shù)據(jù)為： 試根據(jù)實際應用背景對你的模型進行評價與推廣.計算如何調整各架（包括新進入的）飛機飛行方向角，以避免碰撞(pn zhun).現(xiàn)假定條件如下：共四十六頁 * 對問題仔細閱讀, 首先抓住題目中的關鍵詞“管理(gunl)”進行聯(lián)想. * 抓住諸如“碰撞”、“調整”、“避免碰撞”、“立即”、“判斷”等等(dn dn)詞語. * 聯(lián)系解決問題的方案,不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關鍵詞搭配起來. 共四十六頁立即(lj) 判斷 碰撞(pn zhun) 條件 實時 算法 避免 碰撞 調整 方向角 實時 幅度盡量小 相對距離優(yōu)化問題優(yōu)化算法優(yōu)化調整方

10、案共四十六頁問題的初步理解(lji)和想法: 飛行管理問題是優(yōu)化問題,在調整方向角的幅度盡量小的同時，還必須(bx)注意調整方案及算法的實時性.共四十六頁思考題：嘗試(chngsh)讀題與分析MCM1999A題：強烈(qin li)的碰撞 美國國家航空和航天局(NASA)從過去某個時間以來一直在考慮一顆大的小行星撞擊地球會產(chǎn)生的后果。 作為這種努力的組成部分，要求你們隊來考慮這種撞擊的后果，假如該小行星撞擊到了南極洲的話。人們關心的是撞到南極洲比撞到地球的其他地方可能會有很不同的后果。共四十六頁 假如小行星的直徑大約(dyu)為1000米，還假設它正好在南極與南極洲大陸相撞。 要求你們隊對這樣

11、一顆小行星的撞擊提供評估。特別是，NASA希望有一個關于這種撞擊下可能的人類人員傷亡的數(shù)量和所在地區(qū)的估計，對南半球海洋的食物生產(chǎn)區(qū)域造成的破壞的估計，以及由于南極洲極地冰巖的大量融化造成的可能的沿海岸地區(qū)的洪水的估計。共四十六頁強烈(qin li)的碰撞讀題分析撞擊(zhungj)爆炸？后果沖擊波地震、海嘯、颶風熱能釋放冰融海岸線上升洪水放射物粉塵放射減少日照、大氣層變化共四十六頁人員傷亡所在(suzi)地區(qū)沿海(ynhi)海嘯、地震、洪水、放射物食物生產(chǎn)區(qū)的破壞冰融對地球運行軌跡的影響共四十六頁相關(xinggun)因素：小行星形狀(xngzhun)、成分與密度撞擊角度、速度、位置（運行軌

12、跡）太陽、地球、月亮軌道能量來源引力、動能南極冰蓋的成分（深度、密度、溫度）冰融的估算以及冰蓋下的成分大氣環(huán)流粉塵的傳送溫室效應共四十六頁相關(xinggun)理論：Newton引力(ynl)模型軌跡碰撞的動力學冰的熱力學（冰融、汽化）、熱傳導生態(tài)系統(tǒng)（磷蝦.krill）水溫后期工作：預測與預警共四十六頁二、整體把握問題(wnt)的方法有兩種把握住問題的全貌的有效(yuxio)方法： (1) 層次結構法 (2) 問題分解法 有專著介紹 問題分解法是一種簡單而有效的把握問題整體的方法.共四十六頁將問題(wnt)分解為“三要素”的三個部分. 問題(wnt)分解三要素 初態(tài) 目標態(tài) 過程 覺察到的現(xiàn)

13、在狀態(tài)(目前“有什么”，如條件、數(shù)據(jù)等). 覺察到的希望目標(想要什么、希望達到什么等). 能在“初態(tài)”和“目標態(tài)”之間發(fā)生作用的行動(能做什么).共四十六頁例5 常見數(shù)學題目(tm)模式 已知求（證）解題(ji t)初態(tài)目標態(tài)過程教師的主要教學目標共四十六頁 * 解決實際問題(wnt)時，分析出問題(wnt)的初態(tài)和目標態(tài)很困難. * 未清晰地描述出問題的“初態(tài)”和“目標態(tài)”之前，過早地進入解決問題的階段，會條件(tiojin)不清、目標不明. 盡量拓展思路的基礎上, 再進行充分分析得到的問題分解結果：例6飛行管理問題 初態(tài)：現(xiàn)有飛機的飛行狀態(tài)（數(shù)據(jù)）與碰撞條件共四十六頁 過程：建立碰撞的判

14、別準則，優(yōu)化管理方案(fng n)及相應算法. 目標(mbio)態(tài)：實時調整，避免碰撞。 課后練習題目：“氣象觀察站調整問題”前期問題分析與問題分解。共四十六頁氣象觀察站調整(tiozhng)問題 某地區(qū)內有12個氣象(qxing)觀察站（位置如圖),有10年各觀察站的年降水量數(shù)據(jù).為了節(jié)省開支，想要適當減少氣象站. 問題：減少哪些觀察站可以使得到的降水量的信息量仍然足夠大？ 如何利用熵的概念解決此問題，給出解決問題的思路。共四十六頁x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 問題：怎樣比較信息的大??？ 信息的多少(dusho)能不能度量？ 降水量的信息量仍然(rngrn)足夠大？共四十六頁1

15、. 問題(wnt)分析首先(shuxin)找出問題中的關鍵詞，進行聯(lián)想.減少 站數(shù) 刪除原則各站關系降水數(shù)據(jù)保持 信息量 足夠大衡量指標衡量指標熵降水數(shù)據(jù)共四十六頁2. 問題(wnt)的分解初態(tài)：12個氣象站的年降水(jingshu)數(shù)據(jù)。（無日或月的降水數(shù)據(jù)，也無地理、氣候等其它條件.） 目標態(tài)：減少氣象站數(shù)，并保持降水量足夠大的信息量.過程：（將做的事情）(1) 信息量的衡量（用熵）；(2) 給出刪除氣象站的條件及原則；(3) 建立保持足夠信息量的判別條件；解決問題的惟一出發(fā)點共四十六頁(1) 確定(qudng)各氣象站的年降水量：的概率分布，并計算(j sun)各個氣象站降水量的熵值.

16、(2) 分析判斷各站年降水量(兩兩之間或多個變量間)是否存在相關關系(線性的或非線性的)，并據(jù)此保留其中熵值較大的氣象站.隨機變量另一種方法：用聚類分析法進行聚類.3.解決問題的思路 （可由降水數(shù)據(jù)分析各個氣象站的相似性，如同為干旱、濕潤地區(qū)等.）統(tǒng)計檢驗共四十六頁1) 設定一個閾值，保留(boli)所有熵值大于閾值的氣象站；2) 使保留(boli)氣象站的信息量總和占原信息量總和的一定比例.可考慮各種判別條件，如 ：(3) 建立保持足夠信息量的判別條件 注：閾值或比例值均需背景知識和經(jīng)驗來確定。仍保留降水量的信息量較大的站。共四十六頁將建模思想(sxing)應用于工作生活工作、生活中處處存在(cnzi)問題如何思考問題？是什么？（A是什么樣的？）為什么？（A為什么是這樣的？）怎樣解決問題？共四十六頁論文(lnwn)學習讀懂原文理解思想把握本質找到不足找同質(tn zh)方法或改進原方法共四十六頁努力不一定(ydng)成功放棄一定(ydng)是失敗共四十六頁內容摘要幾種創(chuàng)新思維方法。模型與模型解的分析及檢驗。* 建模過程往往是一個反復循環(huán)的過程.。數(shù)學建模過程是一種創(chuàng)新過程，在思考