數(shù)值分析 第一章 基礎知識資料

1、數(shù)值(shz)分析Numerical Analysis任課教師：任國彪rengbQQ:1336648313525524413Department of Mathematics of Zhengzhou University（鄭州大學數(shù)學系）23/jzyusername: yan2015password: yan2015鄭州大學碩士研究生課程（2014-2015學年第一(dy)學期） 共七十七頁2/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis計算的目的不在于數(shù)據(jù)，而在于洞察(dngch)事物。 理查德哈明The purpose

2、of computing is insight，not numbers. RichardWesleyHamming理查德哈明美國工程院院士,1968年圖靈獎得主。共七十七頁3/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis課程主題 討論如何構造高效適用的計算機數(shù)值算法，來解科學與工程中的數(shù)值計算問題(wnt)。課程內(nèi)容 各類數(shù)值算法的構造、理論評價及程序實現(xiàn)。 各應用學科的共性問題共七十七頁4/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis算法和誤差分析；數(shù)據(jù)代數(shù)

3、插值；數(shù)據(jù)擬合；數(shù)值微分和數(shù)值積分；解線性代數(shù)方程組的直接法和迭代法；非線性方程和非線性方程組解法(ji f)；常微分方程初值問題的數(shù)值解法；計算工具C/Matlab和Mathematica；課程主要內(nèi)容共七十七頁5/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis微積分和常微分方程；線性代數(shù)；數(shù)值計算(j sun)程序設計 （C/Matlab和Mathematica） 預備知識共七十七頁6/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis參考(cnko)教材教材李慶揚,

4、王能超,易大義.數(shù)值分析(第五版).北京:清華大學出版社,2008 李清善，宋士倉. 數(shù)值方法. 鄭州：鄭州大學出版社，2007.參考資料1.關治，陳景良. 數(shù)值計算方法. 北京：清華大學出版社，1990.2.周鐵，徐樹方等. 計算方法. 北京：清華大學出版社，2006.3.徐翠微，孫繩武. 計算方法引論. 北京：高等教育出版社，2005.4.John H.Mathews, Kurtis D.Fink. 數(shù)值方法(MATLAB版). 北京：電子 工業(yè)出版社，2005.5.徐士良. 數(shù)值分析與算法. 北京：機械工業(yè)出版社，2007.6.葛哲學.精通Matlab.北京：電子工業(yè)出版社，2008.7

5、.任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實現(xiàn).北京：高等教育出版社,2007.共七十七頁7/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis課程(kchng)教學活動和計劃 周次課次 課時 教學內(nèi)容 備注 2周二 3課時 第一章 基礎知識 3周二3課時第二章 代數(shù)插值14周二 3課時第二章 代數(shù)插值25周二3課時第三章 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法16周二3課時第三章 數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法27周二3課時第四章 數(shù)值微分與數(shù)值積分18周二3課時第四章 數(shù)值微分與數(shù)值積分29周二3課時習題課10周二3課時第五章 解線性代數(shù)方程組的直接法111周二3

6、課時第五章 解線性代數(shù)方程組的直接法21.8.1 教學內(nèi)容時間安排共七十七頁8/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis課程(kchng)教學活動和計劃 周次課次 課時 教學內(nèi)容 備注 12周二 3課時 第六章 解線性代數(shù)方程組的迭代法113周二3課時第六章 解線性代數(shù)方程組的迭代法214周二 3課時第七章 非線性方程的數(shù)值解法115周二3課時第七章 非線性方程的數(shù)值解法216周二3課時第八章 常微分方程初值問題數(shù)值解法117周二3課時第八章 常微分方程初值問題數(shù)值解法218周二3課時習題課19周二3課時總復習1.8.1

7、教學內(nèi)容時間安排注：數(shù)值算法演示主要用Matlab和C語言實現(xiàn)，有時采用Mathematica實現(xiàn)。課后實驗題可用任何一種計算工具完成。共七十七頁9/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis課程(kchng)教學活動和計劃 1.8.1 電子教案和課后習題請登錄163郵箱 賬戶： 密碼：zzumoe2014(請不要修改)下載電子教案、算法實現(xiàn)代碼及課后習題。 1.每周周一上傳本周課程電子教案，每周周三上傳本周課程的算法實現(xiàn)代碼。每章學習完成上傳本周習題。 2.請結合教材及電子教案課前預習教學內(nèi)容，課后及時復習并調(diào)試算法代碼，完成

8、習題。 共七十七頁10/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis第一章 基礎知識 1.1 計算第三種科學(kxu)方法1.2 計算機算法及其評價 1.3 浮點數(shù)系1.4 誤差的基本概念 1.5 數(shù)值算法的穩(wěn)定性 1.6 計算工具 1.7 參考教材1.8 課程教學活動和計劃 共七十七頁11/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1 計算(j sun)第三種科學方法 “當今，科學活動可分為三種:理論、實驗和計算。定義計算科學最好是通過比較它的核心活動和實

9、驗及理論的核心活動。試驗科學家從事于測量和設計科學設備及利用這些設備去進行測量，致力于可控、可重復試驗的設計以及分析這些試驗的誤差；理論科學家研究實驗數(shù)據(jù)之間的關系、這些關系滿足的原理（如牛頓定律、對稱性原理等）及把這些原理運用到具體特殊情形所需的數(shù)學概念和技術；計算科學家構造求解科學問題的計算方法，把這些方法軟件化，設計和進行試驗，分析這些數(shù)值試驗的誤差。他們研究計算方法的數(shù)學特征，通過計算揭露所求解科學問題的基本性質和規(guī)律?！?諾貝爾獎獲得者、計算物理學者Wilson教授共七十七頁12/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Anal

10、ysis 試驗(shyn)方法伽利略Galileo1564-1642理論方法牛頓Newton1643-1727計算方法馮.諾依曼Neumann 1903-19571.1 計算第三種科學方法共七十七頁13/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.1 計算(j sun)第三種科學方法全球高性能計算機500強（TOP 500）2010.05.31共七十七頁14/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.1 計算第三種科學(kxu)方法2010年6月的Top

11、500()超級計算機排行上，來自中國的超級計算機“星云”以其峰值理論運算能力為2.98 PFlop/s，而Linpack性能則為1.27PFlop/s，位于第35屆超算排行榜第二位，這是中國超級計算機在Top500榜單歷史上的最高名次。 位列本次Top500第一名的超級計算機是來自Cray的美洲豹“Jaguar”，憑借1.75 PFlop/s(每秒1750萬億次)的計算能力繼去年12月份之后再次成為冠軍。而值得注意的是，“Jaguar”采用了224162個處理器核心，而名列第二的“星云”則只用了120640個處理器核心。 Top10排名中IBM “Roadrunner” 位列第三，Cray K

12、raken位列第四,而德國的JUGENE憑借IBM藍色基因位列第五。而從國家角度來看，有7臺超級計算機位于美國，歐洲1臺，而中國有2臺，分別是星云與位于第七的天河一號。 共七十七頁15/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 美洲豹Jaguar 美國橡樹嶺國家實驗室 目前，橡樹嶺國家實驗室承擔著很多科學計算相關(xinggun)項目，其中包括惡劣天氣模擬、星體研究、生物元素研究、新型燃料、聚變以及火山爆發(fā)模擬等等。 橡樹嶺實驗室承擔著全球首個對極端天氣變化的模擬以及全球變暖 的進程等等。 1.1 計算第三種科學方法共七十

13、七頁16/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis IBM走鵑 美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室 走鵑超級計算機造價高達1.33億美元，它由IBM和洛斯阿拉莫斯 (Los Alamos)國家實驗室技術人員共同開發(fā)和組裝。走鵑提供給美國軍方使用，其運算速度達到了1.026 petaflop，即每秒鐘可進行(jnxng)1026萬億次浮點運算，是全球首個突破千萬億次的超級計算機。 主要用于運算分析美國軍方的機密軍事數(shù)據(jù)，如核武器及其他軍事戰(zhàn)略數(shù)據(jù)等，并模仿核戰(zhàn)爭爆發(fā)后對人類生存環(huán)境的破壞情況。正在做的項目有：納米技術、核聚變，激光技

14、術、磁重聯(lián)技術、艾滋病毒研究、暗物質、銅反應和流體動力學等研究。 1.1 計算第三種科學方法共七十七頁17/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 曙光魔方 上海超級計算中心位于上海超級計算機中心的曙光5000A首次亮相就讓中國的身影再一次躋身(j shn)前十行列。該系統(tǒng)總計擁有30720個計算核心、122.88TB內(nèi)存，最大性能180.6TFlops，峰值性能233.472TFlops. 據(jù)2008年統(tǒng)計，“魔方”上面運行的應用，包括氣象預報、生物藥物、生命科學、汽車、核電、鋼鐵、新材料、土木工程、物理、化學、航空、

15、航天、船舶等數(shù)十個應用領域。上海市著力發(fā)展的九大高新技術產(chǎn)業(yè)，如商用飛機、新材料、醫(yī)藥、重大裝備、新能源以及電動汽車等六個領域都將依賴高性能計算技術。未來，“魔方”將助力上海國際金融中心建設，為金融機構設計衍生產(chǎn)品、控制風險、提供各種計算解決方案。 1.1 計算第三種科學方法共七十七頁18/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis MareNostrum巴塞羅那超級計算中心 MareNostrum擁有10240顆處理器，峰值計算速度能夠達到每秒94.21萬億次浮點計算。組成MareNostrum的2560臺JS21刀片式計

16、算結點占據(jù)了大約半個籃球場（120平米）的面積，現(xiàn)在位于西班牙的巴塞羅那超級計算中心。 MareNostrum目前(mqin)的應用相當廣泛，包含人類基因的研究、天氣預報、藥品研究等等領域。 1.1 計算第三種科學方法共七十七頁19/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis 中國-科學計算 2010年6月的Top500()超級計算機排行中，來自中國的HPC超級計算機有24臺，在數(shù)量上與德國并列第四位。而Top10中“星云”排名第二，“天河一號”排名第七，中國超算首次進入前兩名的行列。計算(j sun)數(shù)學方面，我國已故著名學者

17、馮康先生獨立于西方學者發(fā)展了有限元方法、辛幾何算法等重要方法，這些方法現(xiàn)在已經(jīng)是計算數(shù)學中具有核心地位的算法。我國科學家在計算科學和力學、材料工程、化學等學科的交叉領域也做出了諸多貢獻。 1.1 計算第三種科學方法共七十七頁20/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis實際(shj)問題建立數(shù)學模型數(shù)值分析提出算法程序設計編程上機計算分析結果并對實際問題進行解釋說明 在建立了數(shù)學模型之后，并不能立刻用計算機直接求解，還必須尋找用計算機計算這些數(shù)學模型的數(shù)值方，即將數(shù)學模型中的連續(xù)變量離散化，轉化成一系列相應的算法步驟，編制出正

18、確的計算程序，再上機計算得出滿意的數(shù)值結果。 共七十七頁21/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 晶體生長模擬 海浪沖擊(chngj)結構物模擬 橋墩受力模擬分子動力學模擬發(fā)電機磁場模擬共七十七頁22/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.2 計算機算法(sun f)及其評價 算法（Algorithm） 是一系列解決問題的清晰指令。也就是說，能夠對一定規(guī)范的輸入，在有限時間內(nèi)獲得所要求的輸出。算法特性 有窮性：算法必須保證執(zhí)行有限步之后結束

19、。 確切性：算法的每一步驟必須有確切的定義。輸入：算法有0個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始情況。輸出：算法有一個或多個輸出，以反映對輸入數(shù)據(jù)加工后的結果?？尚行裕核惴ㄔ瓌t上能夠精確地運行，而且人們用筆和紙做有限次運 算后即可完成。 共七十七頁23/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis 1.2 計算機算法(sun f)及其評價 共七十七頁24/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis例1.2.1 （秦九韶算法(sun f)）設計算法求多項式的值.解：引

20、進記號1.2 計算機算法及其評價 共七十七頁25/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis可設計如下(rxi)算法：1.2 計算機算法及其評價 請輸入多項式階數(shù)(單位:10000):10000請輸入自變量x的值:0.0001100000000階多項式在點0.000100的 取值:100010002.000100秦九韶算法運行時間:0.750000 秒100000000階多項式在點0.000100的 取值:100010002.000100常規(guī)算法運行時間:41.547000 秒Press any key to continu

21、eVC6.0環(huán)境C語言編程結果共七十七頁26/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 常規(guī)(chnggu)方法（用重復乘法計算冪，再把各項相加） 需要次加法和次乘法 秦九韶算法 次加法和次乘法 需要1.2 計算機算法及其評價 共七十七頁27/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 1.2 計算機算法(sun f)及其評價 算法的評價指標乘除法與加減法相比花費的CPU時間較多，通常將算法所需要的乘除法的總次數(shù)作為計算量大小的尺度。 例如兩個n階矩陣相

22、乘的乘法次數(shù)是 , 則稱兩個n階矩陣相乘這一問題的時間復雜度為 .共七十七頁28/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.2 計算機算法(sun f)及其評價 例1.2.2 試分析用定義法和消去法計算n階行列式的時間復雜度。解：n階行列式的計算需要計算n!項,每項做n-1次乘法,因而用定義計算n階行列式的時間復雜度為n! (n -1). 消去法的第k步要把第k行的后n+1-k個元素同乘以某個值加到第k+1,k+2,n行相應元素(k=1,2,n-1)，因而消去法的時間復雜度是共七十七頁29/76 鄭州大學2014-201

23、5學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis當n=100的時候，可見兩種算法在時間復雜度上想去甚遠，后者用個人電腦(千兆1G= )只需不到1秒，而前者用千萬億次計算機(每秒1千萬億次浮點運算, )需要約 秒，需要的時間太長已經(jīng)(y jing)使得計算失去了意義。1.2 計算機算法及其評價 共七十七頁30/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis當前計算機的加減運算(yn sun)和乘除運算(yn sun)的速度相差甚微，因此有人提出將算法的所有運算次數(shù)的總和作為時間復雜度的度量?，F(xiàn)代計

24、算機的運算速度已經(jīng)遠遠高于數(shù)據(jù)的傳輸速度，這使得一個算法實際運行的快慢在很大程度上依賴于該算法實現(xiàn)后數(shù)據(jù)傳輸量的大小，這一點對并行算法尤其重要。 1.2 計算機算法及其評價 如果時間復雜度對問題的大小n來說是多項式級(例如 )，則稱問題是可計算的，否則稱為不可計算的。一個問題可能有多種算法，達到算法復雜性下界的算法稱為最優(yōu)算法。共七十七頁31/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.3 浮點數(shù)系 所有的數(shù)值算法將要在計算機上執(zhí)行，因而需要了解實數(shù)在計算機中是如何(rh)表示的。在一臺典型的計算機中，每個數(shù)是由有限位二進制數(shù)

25、字組成，實際上是用實數(shù)系R的一個離散子集來表示所有實數(shù)。 共七十七頁32/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.3 浮點數(shù)系 在IBM 3000系列計算機中，單精度浮點數(shù)(float)由32位二進制數(shù)字表示(biosh)，其中 它表示如下形式的數(shù)其中7位二進制數(shù)字的階，范圍是0127，但對每個階將自動減去64，因此階的實際范圍是-6463. 稱(1.3.1)表示了一個浮點數(shù)系。共七十七頁33/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis考慮機器數(shù) 的

26、正負指示符是0,表示 是正數(shù)。接著7位是1000 010是階，轉換成十進制是最后24位數(shù)表示尾數(shù)(wish)，等價于因此，機器數(shù) 精確表達的十進制數(shù)是1.3 浮點數(shù)系 共七十七頁34/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis和實數(shù)系不同，在浮點數(shù)系(1.3.1)中，可以(ky)找到比 大的相鄰數(shù)c和比小的相鄰數(shù)b 這意味著實數(shù)在浮點數(shù)系(1.3.1)中表示的時候，位于區(qū)間 上的實數(shù)并不能得到準確描述。實際上，區(qū)間內(nèi)的任何一個實數(shù)都是用 來表示的。 1.3 浮點數(shù)系 共七十七頁35/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研

27、究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis為保證表示的唯一性，要求每個機器數(shù)在尾數(shù)的最左四位中至少有一個(y )位是1. 因此，在浮點數(shù)系(1.3.1)中，最小的正機器數(shù)是而最大的正機器數(shù)是在計算中，出現(xiàn)量級小于 的數(shù)的狀況稱為下溢，這時一般由將該數(shù)置為零；出現(xiàn)量級大于 的數(shù)的狀況稱為上溢，這種狀況導致計算停止。 1.3 浮點數(shù)系 共七十七頁36/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.3 浮點數(shù)系 對計算機而言，凡是在機器數(shù)系量級范圍內(nèi)的實數(shù)，除了部分是機器數(shù)外，大部分是由最相近的機器數(shù)為

28、近似值。 因此，實數(shù)在計算機中一般為近似值，這種近似值是通過數(shù)制轉換，并依據(jù)機器字長及確定的舍入規(guī)則(guz)產(chǎn)生的。由此而產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差。 實際上，在實數(shù)的輸入、計算、輸出等每一個環(huán)節(jié)都有舍入誤差產(chǎn)生。目前的機器字長能夠保證舍入誤差足夠小，不會影響大部分科學和工程計算的精確度。共七十七頁37/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 誤差的來源誤差來自應用計算手段解決實際問題的各個環(huán)節(jié)。建立數(shù)學模型設計計算算法算法機器實現(xiàn)數(shù)值結果分析算法設計編碼計算數(shù)學模型結果分析誤差共七十七頁3

29、8/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis 模型誤差 /* Modeling Error */ 從實際問題(wnt)中抽象出數(shù)學模型時產(chǎn)生的誤差 觀測誤差 /* Measurement Error */ 通過測量得到模型中參數(shù)的值 導致輸入數(shù)據(jù)的 誤差 方法誤差 (截斷誤差 /* Truncation Error */ ) 近似求解時產(chǎn)生的誤差 舍入誤差 /* Roundoff Error */ 由于計算機字長有限而在數(shù)值運算的每一步所產(chǎn)生的誤差共七十七頁39/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng)

30、 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 例1.4.1 設一根鋁棒在溫度t時的實際長度為 ,在t=0時的實際長度為 .如果假定鋁棒的單位長度增長量與溫度成正比，得到如下數(shù)學模型其中 表示鋁棒在溫度t時的長度（理論長度）， 是通過試驗觀測到的常數(shù), 則稱 為此模型的模型誤差，而 是比例系數(shù) 的觀測誤差。1.4.1 誤差的類型共七十七頁40/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 例1.4.2 對給定的數(shù) ，計算 的值.解：由冪級數(shù)展開式取前面有限n+1

31、項來近似計算，可得稱 為此算法的截斷誤差（方法誤差）。 1.4.1 誤差的類型共七十七頁41/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 誤差的類型總結 1.4.1 誤差的類型共七十七頁42/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 定義1.4.1 設 是某個量的準確值， 為其近似值，稱 為近似值 的絕對誤差。 如果 ，則稱 為近似值 的絕對誤差限。 定義1.4.

32、2 稱 為近似值 的相對誤差。 在實際計算時，也將 作為近似值 的相對誤差。如果 或 ，則稱 為近似值 的相對誤差限。 共七十七頁43/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 例1.4.3 用最小刻度為毫米的直尺測量桌子長度，讀數(shù)為1235mm. 設桌子的準確長度為 ,而其近似值為 則近似值的絕對誤差限為0.5(mm),記為共七十七頁44/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差

33、(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 萬有引力常數(shù) 真空中光速 普朗克常數(shù) 電子的基本電荷 電子的靜質量 常用物理量的取值范圍共七十七頁45/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 定義1.4.3 設實數(shù) 的近似值為 其中每個 是 中的一個數(shù)字，且 如果 的絕對誤差滿足就稱用 近似 時具有n位有效數(shù)字，或者說 準確到該位。共七十七頁46/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4

34、 誤差(wch)的基本概念 1.4.2 誤差和有效數(shù)字 圓周率的近似值和有效數(shù)字 有效數(shù)字n 3位 5位 6位 共七十七頁47/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis練習:設 x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,問它們分別有幾位有效數(shù)字?3位5位4位共七十七頁48/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis有效數(shù)字與相對誤差(xin du w ch)的關系 有效數(shù)字 相對誤差限已知 x* 有 n 位有效數(shù)字，則其相對誤

35、差限為 相對誤差限 有效數(shù)字已知 x* 的相對誤差限為則可見 x* 至少有 n 位有效數(shù)字。共七十七頁49/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis初始數(shù)據(jù) 引起計算函數(shù)值的誤差1、函數(shù)(hnsh)值 A*的絕對誤差略去高階項：1.4 誤差的基本概念 1.4.3 誤差的累積共七十七頁50/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 問題(wnt)： 2、函數(shù)值 A*的相對誤差引起A 的很大誤差病態(tài)問題、壞條件問題共七十七頁51/76 鄭州大學2014-2

36、015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis3、初始數(shù)據(jù)誤差(wch)與計算結果誤差(wch)之間的關系共七十七頁52/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis3、初始數(shù)據(jù)誤差(wch)與計算結果誤差(wch)之間的關系共七十七頁53/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積定理1.4.1 設 是 的近似值， 是 的近似值，則 的絕對誤差界是 的絕對誤差界

37、是當 且 時， 的絕對誤差界是共七十七頁54/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積定理1.4.2 設 是 的近似值， 是 的近似值，則 的相對誤差界是 的相對誤差界是當 且 時， 的相對誤差界是共七十七頁55/76 鄭州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積例1.4.4 計算 并估計誤差，其中原始數(shù)據(jù)的誤差界為解：由定理1.4.1可得可見計算結果

38、 有三位有效數(shù)字。(?)共七十七頁56/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積定理1.4.3 設 是 的近似值，函數(shù) 在包含 和 的區(qū)間上有足夠階的導數(shù)，且 與 相比不太大，則有共七十七頁57/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.3 誤差的累積例1.4.5 設 求 的誤差解：因為 ,則有定理1.4.3可知共七十七頁58/76 鄭州大學2014-2015學

39、年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis4、推論(tuln)1.在乘、除、開方運算時，問題數(shù)據(jù)的相對誤差對計算結果 的相對誤差影響不大。2.盡量避免兩相近數(shù)的減法運算。3.不宜用絕對值很小的數(shù)做除數(shù).當x 與 y 同號且 x y 0 時，由公式 ( f ) 至少有一個絕對值大于1 x y 時 , 至少有一個的絕對值很大y很小時,很大共七十七頁59/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.4 數(shù)值計算基本原則.避免兩個相近的數(shù)相減。 由定理1.4

40、.2可見，若兩個相近的數(shù)相減，相對誤差會很大。這是因為二者前面的有效數(shù)字相同，相減以后有效數(shù)字位數(shù)嚴重減少。例如當充分大時應變換來進行運算。共七十七頁60/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.4 數(shù)值計算基本原則.兩個相差很大的數(shù)進行運算，要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)。調(diào)整運算次序可以避免這種情況發(fā)生。 例如 則有在計算 時由于對階 將 “吃掉了”， .共七十七頁61/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.

41、4 誤差(wch)的基本概念 1.4.4 數(shù)值計算基本原則例1.4.6 在8位十進制的機器上解方程利用求根公式而方程的根是 和1，即 錯誤。這是因為在 的計算式子中，分子遇到兩個相近的數(shù)相減。使用求根的韋達公式 可以避免這種情況。共七十七頁62/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.4 誤差(wch)的基本概念 1.4.4 數(shù)值計算基本原則.盡量簡化計算步驟，不但可以節(jié)約解題的時間，還能減少舍入誤差。.避免被除數(shù)的絕對值遠遠大于除數(shù)絕對值的除法。這有可能導致上溢，也會增大原有的誤差 共七十七頁63/76 鄭州大學20

42、14-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 一個算法，如果在執(zhí)行它的過程中，舍入誤差可以在一定條件下得到控制，從而不影響算法得到可靠的結果，則稱它是數(shù)值穩(wěn)定的。否則稱之是不穩(wěn)定的。如果對輸入數(shù)值的微小誤差，經(jīng)過某個算法的運算，輸出結果產(chǎn)生了較大變化，則稱算法是病態(tài)的；否則稱算法是良性的。共七十七頁64/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 例1.5.1建立一個算法來計算積分解：注意到兩邊在區(qū)間0,1上積分

43、可得從而可得迭代遞推格式共七十七頁65/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 按照以上關系編程計算可得 n= 0 積分值I(n)= 1.000500e-003 n= 1 積分值I(n)= 5.001673e-004 n= 2 積分值I(n)= 3.328343e-004 n= 3 積分值I(n)= 8.318346e-004 n= 4 積分值I(n)= -5.810028e-001 n= 5 積分值I(n)= 5.806218e+002 n= 6 積分值I(n)= -5.800410e

44、+005共七十七頁66/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 計算結果可靠碼？首先當 ，所以因此 是單調(diào)遞減收斂于0的數(shù)列，因此計算結果嚴重錯誤。產(chǎn)生計算謬誤的原因是： 如果 ，則計算 時產(chǎn)生999倍 的誤差，計算 時產(chǎn)生 倍 的誤差，誤差的傳播像洪水沖破閘門一樣泛濫成災！可見以上的算法是病態(tài)和不穩(wěn)定的。共七十七頁67/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程(kchng) 數(shù)值分析 Numerical Analysis1.5 數(shù)值(shz)算法的穩(wěn)定性 我們可以改變以上格式

45、，取按照以上關系編程計算可得 n= 0 積分值I(n)= 1.000500e-003 n= 1 積分值I(n)= 5.001668e-004 上限1/n =1.000000 n= 2 積分值I(n)= 3.334167e-004 上限1/n= 0.500000 n= 3 積分值I(n)= 2.500500e-004 上限1/n =0.333333 n= 4 積分值I(n)= 2.000333e-004 上限1/n =0.250000 n= 5 積分值I(n)= 1.666905e-004 上限1/n= 0.200000 n= 6 積分值I(n)= 1.428750e-004 上限1/n =0.

46、166667算法是穩(wěn)定的舍入誤差得到良好的控制 共七十七頁68/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis1.6 計算(j sun)工具 本書涉及的數(shù)值算法已由前人用各種編程語言實現(xiàn)，它們經(jīng)歷了數(shù)十年的考驗和無數(shù)專業(yè)人士的調(diào)試、優(yōu)化，是成熟、可靠的。在今后的學習和工作中，我們完全可以利用這些已有的算法庫減輕編程負擔，提高工作效率。可以將主要精力放在對問題的描述和對計算結果的分析上面，而把繁瑣的算法實現(xiàn)和優(yōu)化細節(jié)交給現(xiàn)成的科學計算與工程軟件/庫來處理。然而，在應用中要想準確的選擇及靈活使用已實現(xiàn)的各種算法，必須對該算法的數(shù)學理論有

47、透徹的了解，并根據(jù)自己的課題做取舍。這也是工科各專業(yè)研究生學習本課程的切入點和動因。共七十七頁69/76 鄭州大學2014-2015學年碩士研究生課程 數(shù)值(shz)分析 Numerical Analysis數(shù)學軟件包：針對某一類數(shù)值計算問題的子程序集，大部分為自由軟件。常用的數(shù)學軟件包有：( ,/petsc)LAPACK(Linear Algebra PACKage),它是用于求解線性代數(shù)方程組、線性最小二乘問題和矩陣特征值問題的Fortran77子程序包；ITPACK，它是用于迭代求解大型(dxng)稀疏線性代數(shù)方程組的Fortran77子程序包；1.6 計算工具 共七十七頁70/76 鄭

48、州大學2014-2015學年(xunin)碩士研究生課程 數(shù)值分析 Numerical AnalysisMINPACK，它是用于求解非線性方程組和非線性最小二乘問題的Fortran77子程序包；FITPACK,它是用于解決曲線和曲面擬合、數(shù)值微積分問題的Fortran77子程序包；ODEPACK,它是用于求解常微分方程問題的Fortran77子程序包；PETSc，它是求解偏微分方程問題的并行計算C程序包，而且還具有(jyu)計算性能分析和圖形可視化功能，主要用于在超級計算機上求解大規(guī)模問題。 1.6 計算工具 共七十七頁71/76 鄭州大學2014-2015學年碩士(shush)研究生課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis數(shù)學軟件庫：面向各類數(shù)值計算問題的子程序集，一般是由軟件公司在一些優(yōu)秀數(shù)學軟件包的基礎上進一步開發(fā)和包裝而產(chǎn)生(chnshng)的。目前常用的數(shù)學軟件庫有：NAG，是由NAG(Numerical Algorithms Group)公司開發(fā)的數(shù)值計算和統(tǒng)計算法的Fortran和C程序庫，可以在各種硬件平臺使用。()NR,是與數(shù)值計算領域中的經(jīng)典工具書Numerical Recipes一起發(fā)布的Fortran/C+語言數(shù)值計算程序庫。()SL