數(shù)字信號處理西安郵電大學(xué)第三章

1、3.1 離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3 頻率域采樣3.4 DFT的應(yīng)用舉例第3章 離散傅里葉變換(DFT)傅里葉變換的幾種可能形式：1、連續(xù)時間、連續(xù)頻率傅里葉變換(CTFT)2、連續(xù)時間、離散頻率傅里葉級數(shù)(FS)3、離散時間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換(DTFT)4、離散時間、離散頻率離散傅里葉變換(DFT)四種傅里葉變換形式的歸納 時間函數(shù) 頻率函數(shù) 連續(xù)和非周期 非周期和連續(xù) 連續(xù)和周期 非周期和離散 離散和非周期 周期和連續(xù) 離散和周期 周期和離散 3.1 離散傅里葉變換的定義 一、 DFT的定義 設(shè)x(n)是一個長度為M的有限長序列， 則定義x(n)的N

2、（NM）點(diǎn)離散傅里葉變換為： X(k)的離散傅里葉逆變換為：式中， ，稱為旋轉(zhuǎn)因子。 N稱為DFT變換區(qū)間長度（NM）。 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT。 解：設(shè)變換區(qū)間N=8， 則設(shè)變換區(qū)間N=16， 則 二、 DFT和Z變換的關(guān)系 設(shè)序列x(n)的長度為N， 其Z變換和DFT分別為：比較上面二式可得關(guān)系式圖 3.1.1 X(k)與X(e j)的關(guān)系 三、 DFT的隱含周期性 前面定義的DFT變換對中， x(n)與X(k)均為有限長序列， 但由于旋轉(zhuǎn)因子的周期性， 使X(k)和x(n)隱含周期性， 且周期均為N。 對任意整數(shù)m， 總有均為整數(shù) 所以(3

3、.1.1)式中， X(k)滿足同理可證明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n) 實(shí)際上， 任何周期為N的周期序列 都可以看作長度為N的有限長序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)則是 的一個周期， 即為了以后敘述方便， 將(3.1.5)式用如下形式表示： 圖 3.1.2 有限長序列及其周期延拓 式中x(n)N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列， (n)N表示n對N求余， 即如果 n=MN+n1， 0n1N-1， M為整數(shù)， 則 (n)N=n1 例如， 則有所得結(jié)果附合圖2.1.2所示的周期延拓規(guī)律。 四、DFT和DFS之間的關(guān)系 如果x(n)的長度為N， 且 (n)=x(n)N， 則

4、可寫出 (n)的離散傅里葉級數(shù)表示為(3.1.8) (3.1.9) 式中 (3.1.10)3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)一、 線性性質(zhì) 如果x1(n)和x2(n)是兩個有限長序列， 長度分別為N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b為常數(shù)， 取N=maxN1, N2， 則y(n)的N點(diǎn)DFT為Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1。其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。 二、 循環(huán)移位性質(zhì) 1. 序列的循環(huán)移位 設(shè)x(n)為有限長序列， 長度為N， 則x(n)的循環(huán)移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(n)

5、 (3.2.2)過程：（1）x(n)周期化； （2）左移m位； （3）取主值。例：x(n)=6,5,4,3,2,1,求y(n)=x(n+2)6R6(n) 。解：y(n)=4,3,2,1,6,5圖 3.2.1 循環(huán)移位過程示意圖 2. 時域循環(huán)移位定理 設(shè)x(n) 是長度為N的有限長序列， y(n)為x(n)的循環(huán)移位， 即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 則 Y(k)=DFTy(n) =W-km NX(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。 證明： 令n+m=n， 則有 由于上式中求和項(xiàng)x(n)NWknN以N為周期， 所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。 將上式

6、的求和區(qū)間改在主值區(qū)則得 3. 頻域循環(huán)移位定理 如果 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)則 y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n) (3.2.4) 三、 循環(huán)卷積定理 有限長序列x1(n)和x2(n)， 長度分別為N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT分別為： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 則(3.2.5) 由于 所以 即循環(huán)卷積亦滿足交換律。 頻域循環(huán)卷積定理： 如果 x(n)=x1(n)x2(n) 則(3.2.6) X1(k)=DFTx

7、1(n)X2(k)=DFTx2(n)0kN-1循環(huán)卷積的過程：（1）變量代換：nm，得到序列x1(m)和x2(m)（2）將 x2(m)周期化，翻轉(zhuǎn)，取主值，得到（3）將（2）中得到的序列循環(huán)移位n，得到（4）將x1(m)和（3）中得到的序列相乘，并對m求和。例： x1(n)=1,1,1,1,0,0,0,0 x2(n)=0,0,1,1,1,1,0,0,求x1(n)和x2(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積。解：（1）x1(n) x1(m),x2(n)x2(m),x1(m)保持不動。（2）0,0,0,1,1,1,1,0(3)n=0,=0,0,0,1,1,1,1,0,x(0)=1n=1,=0,0,0,0,1,1,1

8、,1,x(1)=0 四、 復(fù)共軛序列的DFT 設(shè)x*(n)是x(n)的共軛序列， 長度為N X(k)=DFTx(n) 則 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (3.2.7) 且 X(N)=X(0) DFTx*(N-n)=X*(k) 證明： 根據(jù)DFT的唯一性， 只要證明(3.2.7)式右邊等于左邊即可。 又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0) 用同樣的方法可以證明 DFTx*(N-n)=X*(k) (3.2.8) 五、 DFT的共軛對稱性 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列 這里用xep(n)和xop(n)分別表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列， 則二者滿足如下定義式：

9、nN-1 nN-1 N=8xep(n)為實(shí)數(shù)點(diǎn)為純虛數(shù)點(diǎn)x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 x *(N-n)=xep *(N-n)+xop *(N-n) = xep(n)-xop(n) 0nN-1 復(fù)序列對稱性分析序列DFT復(fù)序列對稱性分析序列DFT實(shí)序列對稱性分析序列DFT為零為零實(shí)序列的頻譜具有共軛對稱性實(shí)偶序列對稱性分析序列為零為零DFT：實(shí)偶序列的頻譜具有實(shí)偶對稱性x(n)X(K)實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)應(yīng)用舉例： 利用DFT的對稱性，可減少運(yùn)算量求 的DFT的反變換，其中X(k)是序列 的5點(diǎn)DFT。思考題：補(bǔ)充作業(yè)：設(shè)實(shí)序列x(

10、n)，N=14，其14點(diǎn)DFT為X(k)，已知前8點(diǎn)值為：X(0)=12 X(1)=-1+3j X(2)=3+4jX(3)=1-5j X(4)=-2+2j X(5)=6+3jX(6)=-2-3j X(7)=10試確定1）X(k)在其他頻率點(diǎn)的值；2）不通過計算IDFTX(k)，確定下列值： x(0); x(7);DFT性質(zhì)表(序列長皆為點(diǎn)) 一、頻域采樣一個任意的絕對可和的非周期序列x(n)，其Z變換為：對X(z)在單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣：3.3 頻率域采樣 分析：由 得到的周期序列 是原非周期序列x(n)的周期延拓，其時域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N。時域采樣造成頻域的周期延拓，頻域采樣同樣會造

11、成時域的周期延拓。 x(n)為無限長序列時域周期延拓必會混疊失真，產(chǎn)生誤差；當(dāng)n增加時信號衰減得越快，或頻域采樣越密（即采樣點(diǎn)數(shù)N越大），則誤差越小，即xN(n)越接近x(n)；x(n)為有限長序列，長度為M：NM，不混疊，可無失真恢復(fù)；NM，混疊，不可無失真恢復(fù)。討論：其值為1x(n)=xN(n)用頻域采樣X(k)表示X(ejw)的內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)：3.4 DFT的應(yīng)用舉例 DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)， 使DFT在數(shù)字通信、 語言信號處理、 圖像處理、 功率譜估計、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。 3.4.1 用DFT計算線性卷積

12、 1、用DFT計算循環(huán)卷積0kL-1則由時域循環(huán)卷積定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1 由此可見， 循環(huán)卷積既可在時域直接計算， 也可以按照圖3.4.1所示的計算框圖， 在頻域計算。 由于DFT有快速算法FFT， 當(dāng)N很大時， 在頻域計算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積。 圖 3.4.1 用DFT計算循環(huán)卷積 2、用DFT計算線性卷積 假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長序列， 長度分別是N和M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下： 其中， LmaxN, M，L是循環(huán)卷積的長度。對照式(3.4.1)可以看出， 上式中 可以看出，循環(huán)卷積是線

13、性卷積以L為周期的周期延拓序列的主值序列。 循環(huán)卷積的長度L 線性卷積的長度N+M-1結(jié)論：當(dāng)L N+M-1時，循環(huán)卷積線性卷積； 當(dāng)L N+M-1時，循環(huán)卷積線性卷積。例：設(shè)h(n)=1,1,1,1,x(n)=1,1,1,1,1,求h(n)和x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積，L6，8，10。解：先求線性卷積：線性卷積1,2,3,4,4,3,2,1L=6時, 循環(huán)卷積=3,3,3,4,4,3；L=8時, 循環(huán)卷積=1,2,3,4,4,3,2,1；L=10時, 循環(huán)卷積=1,2,3,4,4,3,2,1,0,0。圖 3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積 n-6-5-4-3-2-101234567891011121

14、3yl(n-6)12344321yl(n)12344321yl(n+6)123443216點(diǎn)循環(huán)卷積3334436點(diǎn)循環(huán)卷積的計算：n-8-7-6-5-4-3-2-101234567891011yl(n-8)1234yl(n)12344321yl(n+8)123443218點(diǎn)循環(huán)卷積123443218點(diǎn)循環(huán)卷積的計算：n-8-7-6-5-4-3-2-101234567891011yl(n-10)12yl(n)1234432100yl(n+10)3443210010點(diǎn)循環(huán)卷積123443210010點(diǎn)循環(huán)卷積的計算：圖 3.4.3 用DFT計算線性卷積框圖 重疊相加法： 設(shè)序列h(n)長度為N，

15、 x(n)為無限長序列。 將x(n)均勻分段， 每段長度取M， 則于是， h(n)與x(n)的線性卷積可表示為(3.4.4) 圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖 3.4.2 用DFT對信號進(jìn)行譜分析 1. 用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析 譜分析過程：譜分析的幾個參數(shù)：Tp和N可以按照下式進(jìn)行選擇: 例 3.4.1 對實(shí)信號進(jìn)行譜分析， 要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時間TPmin， 最大的采樣間隔Tmax， 最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。 如果fc不變， 要求譜分辨率增加一倍， 最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時間是多少? 解： 因此Tpmin=0.1 s， 因?yàn)橐骹s2fc， 所以 2. 用DFT對序列進(jìn)行