自動控制原理：第5章 第4講 穩(wěn)定裕度

1、 5-4 頻率穩(wěn)定裕度 一、相對穩(wěn)定性 在工程應用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性問題。 例如，圖 5-52（a）和（b）所示的兩個最小相位系統(tǒng)（右半平面無零極點的開環(huán)頻率特性曲線（實線）沒有包圍 點，由奈氏判據(jù)知它們都是穩(wěn)定的系統(tǒng)，但圖 5-52（ a ）所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負實軸的交點 A 距離 點較遠，圖 5-52（b） 所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負實軸的交點 B 距離 點較近。假定系統(tǒng)的開環(huán)放大系統(tǒng)

2、由于系統(tǒng)參數(shù)的改變比原來增加了百分之五十，則圖5-52（a）中的A點移動到A 點，仍在 點右側(cè)，系統(tǒng)還是穩(wěn)定的；而圖5-52(b)中的B點則移到 點的左側(cè)（B點），系統(tǒng)便不穩(wěn)定了。 可見，前者較能適應系統(tǒng)參數(shù)的變化，即它的相對穩(wěn)定性比后者好。7/27/20221圖5-52 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性7/27/20222 當頻率特性曲線穿過(-1,j0)點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時： 。對于最小相位系統(tǒng)，可以用 和 來表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點的程度，或稱為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，穩(wěn)定性越好。 -截止頻率， -穿越頻率。7/27/20223定義： 和 為幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度。在對數(shù)坐標

3、圖上，用 表示 的分貝值。即7/27/20224顯然，當 時，即 和 時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。對于最小相位系統(tǒng)， 和 是同時發(fā)生或同時不發(fā)生的，所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。常用相角裕度。幅值穩(wěn)定裕度物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)在相角穿越頻率處將幅值增加 倍（奈氏圖）或增加 分貝（波德圖），則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于 倍（或 分貝），則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。比如，若增加開環(huán)放大系數(shù)K，則對數(shù)幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變?？梢?，開環(huán)放大系數(shù)太大，容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。相位穩(wěn)定裕度的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)幅值在截止頻率 處將相角減小 度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小，就

4、會變?yōu)椴环€(wěn)定。7/27/20225例設控制系統(tǒng)如下圖所示k=10和k=100時，試求系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度。-解：相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度可以很容易地從波德圖中求得。當k=10時，開環(huán)系統(tǒng)波德圖如右所示。這時系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度大約是8dB和21度，是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益可以增加8dB，達到臨界情況.7/27/20226相位裕度和幅值裕度的計算： 相位裕度：先求截止頻率在截止頻率處， ，所以 ，解此方程較困難，可采用近似解法。由于 較?。ㄐ∮?），所以：截止頻率處的相角為：相角裕度為：7/27/20227 幅值裕度：先求相角穿越頻率相角穿越頻率處 的相角為：由三角函數(shù)

5、關系得：所以，幅值裕度為：7/27/20228當增益從k=10增大到k=100時，幅值特性曲線上移20dB，相位特性曲線不變。這時系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度分別是-12dB和-30度。因此系統(tǒng)在k=10時是穩(wěn)定的，在k=100時是不穩(wěn)定的。7/27/20229例5-11某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示。試確定當k=10時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其使相位穩(wěn)定裕度為30度時的開環(huán)放大系數(shù)k。-解：當k=10時，開環(huán)傳遞函數(shù)為：手工繪制波德圖步驟：1、確定轉(zhuǎn)折頻率：10、40，在(1,20log200)點畫斜率為-20的斜線至 ；2、在 之間畫斜率為-40的斜線；3、 后畫斜率為-60的斜線。7/27/202210

6、上圖藍線為原始波德圖。 ，顯然 閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了使相位穩(wěn)定裕度達到30度，可將幅頻曲線向下平移。即將開環(huán)放大系數(shù)減小，這時相頻特性不變。截止頻率左移至 ，移到哪里？ 7/27/202211 ，從圖中看出： 。所以原始幅頻曲線向下移動的分貝數(shù)為:所以當開環(huán)放大系數(shù)下降到15時，閉環(huán)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度是30度，這時的幅頻穩(wěn)定裕度為：由圖中看出 ，所以設新的開環(huán)放大系數(shù)為 ，原始的開環(huán)放大系數(shù)為k=200，則有 解得：7/27/202212穩(wěn)定裕度概念使用時的局限性：1、在高階系統(tǒng)中，奈氏圖中幅值為的1點或相角為-180度的點可能不止一個，這時使用幅值和相位穩(wěn)定裕度可能會出現(xiàn)歧義；2、非最小相位系統(tǒng)不