二次函數(shù)中的符號問題與求解析式

1、二次函數(shù)中的符號問題2回味知識點(diǎn)：1、拋物線y=ax2+bx+c的開口方向與什么有關(guān)？2、拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)是 .3、拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是 .a0時(shí)，開口向上；a0時(shí)，開口向下。（0、c）X=-3歸納知識點(diǎn)：拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：（1）a的符號：由拋物線的開口方向確定開口向上a0開口向下a0交點(diǎn)在x軸下方c0與x軸有一個(gè)交點(diǎn)b2-4ac=0與x軸無交點(diǎn)b2-4ac0 向下ao 下半軸c0- 與1比較- 與-1比較與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)令x=1，看縱坐標(biāo)令x=-1，看縱坐標(biāo)令x=2，看縱坐標(biāo)令x=-2，看縱坐標(biāo)3、判斷y=ax2+bx+c符號a 、 b

2、 、 c2a+b,2a-b,b2-4aca+b+ca-b+c4a+2b+c 、 4a-2b+c1-110快速回答：拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、的符號：xoy根據(jù)圖像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C011拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、的符號：xyo快速回答：根據(jù)圖像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C012拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、的符號：xyo快速回答：根據(jù)圖像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C013拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、的符號：xyo快速回答

3、：根據(jù)圖像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C014拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、的符號：xyo快速回答：根據(jù)圖像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C015練一練：1.已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點(diǎn)M（ ，a）在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 xoyD根據(jù)圖像可得：1、a02、- 03、=b-4ac04、C016練一練：2、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：b0；c0；4a+2b+c 0；（a+c)2b2，其中正確的個(gè)數(shù)是 （ ）A、4個(gè) B、3個(gè)C、2個(gè) D、1個(gè)

4、xoyx=1B根據(jù)圖像可得：1、a02、- 13、=b-4ac04、C017練一練：3、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0; a-b+c0正確的個(gè)數(shù)是 （ ）A、2個(gè) B、3個(gè)C、4個(gè) D、5個(gè)xoy-11C根據(jù)圖像可得：1、a02、- -13、=b-4ac04、C0184.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分如圖，已知它的頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過A(1,0),B(0,1),請判斷實(shí)數(shù)a的范圍,并說明理由.1MOBAyx1想一想：根據(jù)圖像可得：1、a02、- 03、a+b+c04、C119 5.(06.蕪湖市)如圖

5、，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+c（a0； b0；c0； a+b+c=0其中正確結(jié)論的序號是 （答對得3分，少選、錯(cuò)選均不得分）第(2)問：給出四個(gè)結(jié)論： abc0；a+c=1；a1其中正確結(jié)論的序號是 （答對得5分，少選、錯(cuò)選均不得分）xyO1-12仔細(xì)想一想： 212.若關(guān)于x的函數(shù)y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a可取的值為 ；1.如圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c和一次函數(shù)y2=mx+n的圖象，觀察圖象寫出y2 y1時(shí)，x的取值范圍是_;3.(03武漢)已知拋物線y=ax2+bx+c （a0)經(jīng)過點(diǎn)（1，0），且滿足4a2bc0以下結(jié)論：a

6、b0；ac0；abc0；b2-2ac5a2其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)（1）二次函數(shù)yax2+bx+c的圖象如圖所示，那abc，b24ac，2ab，abc，abc 這五個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有（ ）練習(xí)A4個(gè) B3個(gè)C2個(gè) D1個(gè)yx-111.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示， 則有（） () a0,b0,c0 () a0,b0,c0 (C) a0,b0,c0 (D) a0,b0,c0（2）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)yax2+bx+c的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c =0（a0, a, b, c為常數(shù)）的一個(gè)解的范圍是（ ）x6.176.186.

7、196.20yax2bxc-0.03-0.010.020.04A6.17 X 6.18 B6.18 X 6.19C-0.01 X 0.02 D6.19 X 6.20yx02-3 （3）小明從右邊的二次函數(shù)yax2bxc的圖象觀察得出下面的五條信息： a 0； c0； 函數(shù)的最小值為-3； 當(dāng)x0時(shí)，y0； 當(dāng)0 x1x22時(shí)，y1 y2 你認(rèn)為其中正確的個(gè)數(shù)有（ ） A2 B3 C4 D5 （4）請你寫出一個(gè)二次函數(shù)yax2bxc，使它同時(shí)具有如下性質(zhì)：圖象關(guān)于直線x1對稱； 當(dāng)x2時(shí)，y0；當(dāng)x2時(shí)，y0？（3）將拋物線作怎樣的一次平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn),并寫出此時(shí)拋物線的解析式

8、。xyoABDC-15-2.5 4、 已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y0？（3）將拋物線作怎樣的一次平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn),并寫出此時(shí)拋物線的解析式。xyoABDC-15-2.5 4、 已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y0？（3）將拋物線作怎樣的一次平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn),并寫出此時(shí)拋物線的解析式。xyoABDC-15-2.5 4、 已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y0？（3）將拋物線

9、作怎樣的一次平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個(gè)交點(diǎn),并寫出此時(shí)拋物線的解析式。xyoABDC-15-2.55、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）兩點(diǎn)，與x軸交于原點(diǎn)及C點(diǎn)，（1）求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使SOCD= SOCB，若存在，求出點(diǎn)D；若不存在，請說明理由。xyoABC（1）y=x+4A（1，5）y=-x2+6x5、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）兩點(diǎn)，與x軸交于原點(diǎn)及C點(diǎn)，（1）求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使SOCD= SOCB，若存在

10、，求出點(diǎn)D；若不存在，請說明理由。xyoABC（1）y=x+4y=-x2+6x（4，8）（6，0）5、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）兩點(diǎn)，與x軸交于原點(diǎn)及C點(diǎn)，（1）求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使SOCD= SOCB，若存在，求出點(diǎn)D；若不存在，請說明理由。xyoABCy=-x2+6x（4，8）（6，0）（2）SOCB=24設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，y）y=12 1、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)為P（-2，9），且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B（A左B右），SABC=27，求：（1）二次函數(shù)的解析式；（2）A、B兩

11、點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）畫出草圖；（4）若拋物線與y軸交于C點(diǎn)，求四邊形ABCP的面積。試一試：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S=302、已知：一次函數(shù)的圖象交y軸于點(diǎn)（0，-1），交拋物線y=x2+bx+c于頂點(diǎn)和另一點(diǎn)（2，5），試求這個(gè)一次函數(shù)的解析式和b、c的值。點(diǎn)拔：y=3x-1拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 3、已知:拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)（-5，0）、（0， ）（1，6）三點(diǎn)，直線L的解析式為y=2x-3，（1）求拋物線的解析式；（2）求證：拋物線與直線無交點(diǎn)；（3）若與直線L平行的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。點(diǎn)拔：（1）（

12、2）證拋物線和直線的解析式組成的方程組無解（3）設(shè)與L平行的直線的解析式為y=2x+n則：此直線和拋物線的解析式組成的方程組只有一個(gè)解。即=04、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最大值，它與直線 y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)，求（1）此二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大。先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A（1，2）、B（2，5）若A（1，2）為頂點(diǎn)：設(shè)解析式為y=a(x-1)2+25=a+2 a=3又函數(shù)有最大值, a=3不合,舍去.若B（2，5）為頂點(diǎn)：設(shè)解析式為y=a(x-2)2+52=a+5 a=-3則解析式為y=-3(x-

13、2)2+51、已知二次函數(shù)與軸兩個(gè)交點(diǎn)為A（ ，0），B（ ，0），且滿足 ，求此二次函數(shù)解析式。2、已知二次函數(shù) （1）求證：不論k取何值，這個(gè)函數(shù)的圖像與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)。（2）實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離最小，并求這個(gè)最小距離。（南京市中考題）如果拋物線 與軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在軸的正半軸上，點(diǎn)B在軸的負(fù)半軸上，0A=a,0B=b,若a:b=3:1，求拋物線的解析式。已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k10有實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù).（1）求k的值；（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y2x2+4x+k1的圖象向下平移8個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2

14、）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線yx+b(bk)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍. 解（1）由題意，得168(k1)0，所以k3，而k為正整數(shù)，所以k1，2，3.（2）當(dāng)k1時(shí)，方程2x2+4x+k10有一個(gè)根為0；當(dāng)k2時(shí)，方程2x2+4x+k10無整數(shù)根；當(dāng)k3時(shí)，方程2x2+4x+k10有兩個(gè)非0整數(shù)根；綜上所述，k1和k2時(shí)，不合題意，舍去，k3符合題意.當(dāng)k3時(shí)，二次函數(shù)為y2x2+4x+2，把它的圖象向下平移8個(gè)單位，得到的圖象的解析為y2x2+4x6.（3）設(shè)二次函數(shù)為y

15、2x2+4x6的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，則A(3，0)，B(1，0).依題意，得翻折后的圖象如圖所示，當(dāng)直線y x+b經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，可求得b ；當(dāng)直線y x+b經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，可求得b .由圖象可知，符合題意的b(b3)的取值范圍為 b .如圖1，已知二次函數(shù)yx22x1的圖象的頂點(diǎn)為A.二次函數(shù)yax2+bx的圖象與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)yx22x1的圖象的對稱軸上.（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)四邊形AOBC為菱形時(shí)，求函數(shù)yax2+bx的關(guān)系式.圖1解如圖2.（1）因?yàn)閥x22x1(x1)22，所以頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2).又因?yàn)槎魏瘮?shù)yax2+bx的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，

16、且它的頂點(diǎn)在二次函數(shù)yx22x1圖象的對稱軸l上，所以點(diǎn)C和點(diǎn)O關(guān)于直線l對稱，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0).（2）因?yàn)樗倪呅蜛OBC是菱形，所以點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線OC對稱，因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2).因?yàn)槎魏瘮?shù)yax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(1，2)，C(2，0)，所以解得所以二次函數(shù)yax2+bx的關(guān)系式為y2x2+4x.圖21、如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（1）求出A、B的坐標(biāo)和ABC的面積（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QAC的周長最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）連接BC，與拋

17、物線的對稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFDE交拋物線于點(diǎn)F點(diǎn)P在線段BC上移動(dòng)的過程中，四邊形PEDF是否能成為平行四邊形？若能，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請說明理由QE是否存在一點(diǎn)P，使BCF的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及BCF的面積最大值若沒有，請說明理由2、（2010寧波）如圖，已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，-6）兩點(diǎn)（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA、BC，求ABC的面積 （2010寧波）如圖，已知二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，-6）兩點(diǎn)（3）設(shè)（1）中拋物線交x軸于另一個(gè)點(diǎn)D，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得A