拼圖與勾股定理(精)

1、拼圖與勾股定理說課教師：南寧第二十六中學(xué) 沈惠娟教 材：北師大出版社新世紀(jì)版數(shù)學(xué)(八年級上冊)一、教材分析二、教法選擇三、學(xué)法指導(dǎo)四、課程設(shè)計(jì)五、相關(guān)說明課題:拼圖與勾股定理一、教材分析1、教材的地位和作用 勾股定理有著悠久的歷史，是人類最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。但由于教材的編寫遵循了簡約性原則，在學(xué)習(xí)勾股定理知識(shí)的過程中，沒能更深入地介紹它產(chǎn)生、發(fā)展的歷史背景、多樣的驗(yàn)證方法，以及在人類文化發(fā)展史上的貢獻(xiàn)。 因此，在學(xué)生完成了勾股定理這章的學(xué)習(xí)之后，設(shè)置了拼圖與勾股定理的課題學(xué)習(xí)，它屬于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中所規(guī)定的“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”領(lǐng)域的內(nèi)容，是對課本知識(shí)進(jìn)一步的延伸和拓展，讓學(xué)生更全面的認(rèn)識(shí)勾股定理

2、，了解拼圖與定理證明之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過經(jīng)歷綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的過程，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法，以開拓學(xué)生視野，激發(fā)他們的創(chuàng)新意識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。一、教材分析2、教學(xué)目標(biāo) 通過對幾種常見的勾股定理驗(yàn)證方法，進(jìn)行分析和欣賞。理解數(shù) 學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，進(jìn)一步感悟勾股定理的文化價(jià)值。 通過拼圖活動(dòng)，嘗試驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐和創(chuàng)新能力。 讓學(xué)生經(jīng)歷查詢資料、自主探究、合作交流、觀察比較、計(jì)算推理、動(dòng)手操作等過程，獲得一些研究問題的方法，取得成功和克服困難的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，增進(jìn)他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。 3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)： 分析和欣賞幾種常見

3、的驗(yàn)證勾股定理的方法。 嘗試?yán)谩拔迩砂濉逼磮D，驗(yàn)證勾股定理。 “數(shù)形結(jié)合”思想方法的理解和應(yīng)用。 通過拼圖，探求驗(yàn)證勾股定理的新方法。二、教法選擇“操作思考”的方式符合八年級學(xué)生認(rèn)知水平，適應(yīng)其思維發(fā)展規(guī)律及心理特征。在學(xué)法上，充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體作用，采取讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，合作探究的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。三、學(xué)法指導(dǎo)在學(xué)法上，充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體作用，采取讓學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐，合作探究的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)?！安僮魉伎肌钡姆绞椒习四昙墝W(xué)生認(rèn)知水平，適應(yīng)其思維發(fā)展規(guī)律及心理特征。四、課程設(shè)計(jì)驗(yàn)證方法的收集與整理探究成果的交流與展示小結(jié)反思，課題拓展文化價(jià)值的了解與探討嘗試拼圖，驗(yàn)證定理驗(yàn)證過程的分

4、析與欣賞1課前自主探究活動(dòng)勾股定理證明方法匯總 1課前自主探究活動(dòng)方法種類及歷史背景驗(yàn)證定理的具體過程知識(shí)運(yùn)用及思想方法探究報(bào)告具體的做法是： 請各個(gè)學(xué)習(xí)小組從網(wǎng)絡(luò)或書籍上，盡可能多的尋找和了解驗(yàn)證勾股定理的方法。 2 探 究 成 果 的 交 流 與 展 示三國時(shí)期吳國數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注解時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明。 2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)成就。 方法一約公元 263 年，三國時(shí)代魏國的數(shù)學(xué)家劉徽為古籍九章算術(shù)作注釋時(shí)，用“出入相補(bǔ)法”證明了勾股定理。 方法

5、二希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前330公元前275）在巨著幾何原本給出一個(gè)公理化的證明。 1955年希臘為了紀(jì)念二千五百年前古希臘在勾股定理上的貢獻(xiàn)，發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤排列而成。 方法三其它方法aabbcc 美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“總統(tǒng)證法”。 如圖，梯形由三個(gè)直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式得：化簡為：意大利著名畫家達(dá)芬奇的證法： 在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明。 做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成 4 分。之后依照圖七中的顏色，將兩個(gè)直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明 據(jù)傳是當(dāng)年畢

6、達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)做出的證明。 將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長為(ab)的正方形ABCD，使中間留下邊長c的一個(gè)正方形洞畫出正方形ABCD移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長分別為a與b的兩個(gè)正方形洞則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，所以c2=a2+b2圖1圖23驗(yàn)證過程的分析與欣賞 問題思考 這些驗(yàn)證方法，有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ cb a由面積計(jì)算得 展開得化簡得三種類型：用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合 。第一種類型：以趙爽的“弦圖”為代表aabbcc美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“總統(tǒng)證法”。

7、如圖，梯形由三個(gè)直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式得：化簡為：意大利著名畫家達(dá)芬奇的證法： 據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)做出的證明。 將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長為(ab)的正方形ABCD，使中間留下邊長c的一個(gè)正方形洞畫出正方形ABCD移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長分別為a與b的兩個(gè)正方形洞則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，所以c2=a2+b2圖1圖2第二種類型：以劉徽的“青朱出入圖”為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被稱為“無字證明”。 在印度、在阿拉伯世界和歐洲出

8、現(xiàn)的一種拼圖證明。 做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成 4 分。之后依照圖中的顏色，將兩個(gè)直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。第三種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何的基本定理進(jìn)行證明，反映了勾股定理的幾何意義。如圖，過 A 點(diǎn)畫一直線 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M。通過證明BCFBDA，利用三角形面積與長方形面積的關(guān)系，得到正方形ABFG與矩形BDLM等積，同理正方形ACKH與 矩形MLEC也等積，于是推得。 以上的證明方法都從幾何圖形的面積變化入手，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，其中第一、二種類型還與拼圖有著

9、密切的關(guān)系。 4.勾股定理的文化價(jià)值(1) 勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一定理。(2) 勾股定理反映了自然界基本規(guī)律,有文明的宇宙“人”都應(yīng)該認(rèn)識(shí)它，因而勾股定理圖被建議作為與“外星人”聯(lián)系的信號。(3)勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。(4)勾股定理公式是第一個(gè)不定方程，為不定方程的解題程序樹立了一個(gè)范式。5.嘗試拼圖，驗(yàn)證勾股定理abcabc6.小結(jié)反思,課題拓展我最大的收獲；我表現(xiàn)較好的方面；我學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)；我還有哪些疑惑學(xué)生反思：（1）寫數(shù)學(xué)日記并發(fā)揮你的聰明才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理，你又有什么新的發(fā)現(xiàn)？（2）嘗試用七巧板拼圖，你能驗(yàn)證勾股定理嗎？課題拓展：評價(jià)表評價(jià)項(xiàng)目因 素優(yōu)良中差參與活動(dòng)做事有計(jì)劃查閱、整理資料與人合作提出問題并詢問大膽嘗試并表達(dá)自己的看法傾聽別人的發(fā)言討論與發(fā)言思維水平有條理地表達(dá)自己的意見解決問題的過程清楚善于用不同的方法解決問題獨(dú)立思考總