信號(hào)與系統(tǒng)第九章第4講_dft

1、信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 9-7 離散傅里葉變換的應(yīng)用運(yùn)用DFT方法，往往伴隨FFT算法的實(shí)施，所謂的應(yīng)用幾乎成為FFT應(yīng)用的同意語(yǔ)。（一）快速卷積若長(zhǎng)度為N1的序列x (n)與長(zhǎng)度為N2的序列h(n)作線卷積，得到：y (n)為長(zhǎng)度為N1+ N2 1的有限長(zhǎng)序列，要做N1*N2次乘法運(yùn)算，當(dāng)N1=N2 =N，要做N2次乘法。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 直接卷積與快速卷積如果把求線卷積改為求圓卷積，兩序列分別補(bǔ)零加長(zhǎng)為為N1+ N2 1，則有可能減少運(yùn)算次數(shù)。x(n)y(n)卷積FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)y(n)信號(hào)與系統(tǒng)

2、 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 在快速卷積過(guò)程中，共需要2次FFT，1次IFFT，相當(dāng)于3次FFT運(yùn)算量，在一般數(shù)字濾波中，由h(n)求H(k)是事先計(jì)算完成放在存儲(chǔ)器中，故只需2次FFT的運(yùn)算量，若假設(shè)N1=N2 =N ，則補(bǔ)零后：故需要此外X(k)與H(k)兩序列相乘，還需要2N次復(fù)乘，全部復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為：次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算隨著N的增大，該運(yùn)算量比N2顯著減少。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 以上分析是針對(duì)兩序列長(zhǎng)度相近或相等的情況，如果一個(gè)序列很短，而另一序列很長(zhǎng)，則需要補(bǔ)很多零，圓卷方案甚至增加運(yùn)算量，可采用分段卷積的方法，其基本原理是將x(n)分成若干小段，每小段長(zhǎng)度與h(n)接近，將

3、x(n)的各小段與h(n)卷積，最后取和，仍可發(fā)揮快速卷積的優(yōu)越性。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 重疊相加法假定h(n), x(n)均為因果序列。h(n)的長(zhǎng)度為N，如圖ax(n)長(zhǎng)度是 現(xiàn)將 等分為若干小段，每段長(zhǎng)M,如圖bNh(n)圖a圖bMMMN1X(n)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 以 表示x（n）序列的第i小段（i為正整數(shù)， ），為完成各 與h（n）之圓卷積，應(yīng)將 長(zhǎng)度補(bǔ)足至N+M-1，在圖c中已用虛線示意補(bǔ)零。N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1圖c信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 輸入序列可表示為其中相應(yīng)地，輸出序列也可分解為信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院

4、魏學(xué)哲 利用卷積分配律可得由于 的長(zhǎng)度為N+M-1，而 的有效長(zhǎng)度只有M，故相鄰兩段的 必有N-1長(zhǎng)度的重疊。見(jiàn)圖dN+M-1重疊N+M-1重疊圖d重疊N+M-1信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 按照上述原理，此方法的運(yùn)算過(guò)程可分為兩部分：首先求每個(gè) 與h(n)的圓卷積，樣點(diǎn)數(shù)為N+M-1，共需P次，求各 ，其原理仍按圖b；然后將 取和（實(shí)際上是重疊部分的相加），即得圖e y(n)N+N1-1信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 有時(shí)，N1可能很長(zhǎng)，以致趨于無(wú)限大，例如語(yǔ)音信號(hào)、地震波動(dòng)信號(hào)、宇宙通信中產(chǎn)生的某些信號(hào)等，如果不采用分段卷積的方法將遲遲不能給出結(jié)果，而且，無(wú)法找到那樣大的存儲(chǔ)

5、設(shè)備來(lái)滿(mǎn)足N1的需要。因此，即使在分段措施改善速度不顯著的情況下，仍有可能采用這種方法。借助FFT不僅可完成快速卷積運(yùn)算，也可利用它進(jìn)行解卷積運(yùn)算，具體計(jì)算公式可仿照z變換解卷積方法求得。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 （二）快速相關(guān)相關(guān)和自相關(guān)也可借助FFT完成。x(n)y(n)相關(guān)FFTFFT序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H*(k)y(n)h(n)共軛H*(k)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 相關(guān)運(yùn)算常見(jiàn)于雷達(dá)和聲納系統(tǒng)中，應(yīng)用該運(yùn)算確定信號(hào)的時(shí)間延遲。當(dāng)x(n)與h(n)是同一信號(hào)， y(n) 是自相關(guān)函數(shù)，而Y(k)是x(n)的功率譜。信號(hào)與系統(tǒng)

6、同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 （三）利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的逼近其中,T為抽樣間隔?；蛘咭?用DFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅氏變換可能造成的誤差1.混疊現(xiàn)象為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿(mǎn)足其中fs為抽樣頻率; fh為信號(hào)的最高頻率分量對(duì)于時(shí)間有限信號(hào)，其傅立葉變換不可能是有限帶寬，抽樣后必然帶來(lái)混疊(aliasing)，減小抽樣間隔可減弱混疊，但總不可避免。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 若信號(hào)頻譜有限，則時(shí)間函數(shù)必然是無(wú)限的。在實(shí)際應(yīng)用中，為利用FFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，必須把時(shí)間截取一定范圍，也就是說(shuō)，在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行截?cái)嗖僮?，或稱(chēng)作加時(shí)間窗，亦即用時(shí)間窗函數(shù)乘以信號(hào)，由卷積定理可知，時(shí)域相

7、乘，頻域?yàn)榫矸e，時(shí)間加窗使頻譜產(chǎn)生失真，它從原有的頻率受限圖中擴(kuò)散出來(lái)，這就造成拖尾現(xiàn)象，稱(chēng)之為頻譜泄漏（leakage）。2.頻譜泄漏信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 0n0nn信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 3.柵欄效應(yīng)用DFT計(jì)算頻譜時(shí)，只是知道為頻率的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個(gè)譜線之間的情況就不知道,這相當(dāng)通過(guò)一個(gè)柵欄觀察景象一樣，故稱(chēng)作柵欄效應(yīng)。補(bǔ)零點(diǎn)加大周期，可使F變小來(lái)提高分辨力，以減少柵欄效應(yīng)。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 例 有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。 假定沒(méi)有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已知條件為（1）頻 率分辨率為 ，（2）

8、信號(hào)的最高頻率 ，試確定以下參量：（1）最小記錄長(zhǎng)度 ;(2) 抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔T; (3) 在一個(gè)記錄中的最小點(diǎn)數(shù)N。解：（a） 最小記錄長(zhǎng)度（b）最大的抽樣時(shí)間間隔T(c) 最小記錄點(diǎn)數(shù)N信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 2.連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅氏級(jí)數(shù)變換對(duì)二.DFT與連續(xù)信號(hào)傅氏變換相對(duì)數(shù)值的確定1.連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)傅氏變換對(duì)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 3.DFT變換時(shí):信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 4.用DFT計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏變換幅度電平未受到影響。用DFT計(jì)算所得的頻譜分量乘以T， 就等于頻譜的正常幅度電平；用IDFT計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏反變換，再乘以fs就得到所需信號(hào)的正常幅度電平。所以,從時(shí)間到頻率, 再?gòu)念l率到時(shí)間，整個(gè)過(guò)程總共乘了信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 設(shè)用DFT計(jì)算所得的頻譜分量乘以T的理由：信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車(chē)學(xué)院 魏學(xué)哲 用IDF