超市場的最佳經(jīng)營方案

1、超級(jí)市場的最佳經(jīng)營方案顏學(xué)友，黃雅麗，黃綺玲（1韶關(guān)學(xué)院2001級(jí)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(1)班，廣東韶關(guān)512005；2 韶關(guān)學(xué)院2002級(jí)信息技術(shù)(2)班，廣東韶關(guān)512005）摘要:本文根據(jù)超級(jí)市場中商品的實(shí)際運(yùn)作過程，針對(duì)韶關(guān)市某大型超級(jí)市場在進(jìn)貨策略方面存在的問題，建立了分類處理模型和基于商品價(jià)格的需求模型.分類處理模型對(duì)于超級(jí)市場所經(jīng)營的生鮮商品和日用商品，分別建立了不考慮中斷（缺貨）損失和考慮中斷（缺貨）損失的最佳進(jìn)貨策略模型然后利用超級(jí)市場所提供的數(shù)據(jù)對(duì)以上建立的模型進(jìn)行了檢驗(yàn)，效果良好，具有普遍的實(shí)用性；基于商品價(jià)格的需求模型從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度對(duì)該問題進(jìn)行分析，利用了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的價(jià)格彈

2、性理論，得出了需求量與銷售價(jià)格之間滿足半對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系，其關(guān)系式為(各參量的意義見符號(hào)約定)，然后將韶關(guān)地區(qū)的各參量代入后，得到了“需求量價(jià)格”函數(shù)關(guān)系式，為超級(jí)市場提供了一定的參考價(jià)值關(guān)鍵詞: 超級(jí)市場;需求量;生鮮商品;日用商品;需求價(jià)格彈性1 問題的提出韶關(guān)市某大型超級(jí)市場每天需要儲(chǔ)存大量物品以滿足顧客的需要，經(jīng)營的品種分為貯存時(shí)間較短的生鮮商品(如：蔬菜、面包、熟食等)和貯存時(shí)間較長的日用商品(如：洗滌用品、香煙、毛巾等)該超市常常碰到以下問題：商品進(jìn)貨策略把握不好，有些商品脫銷，有些商品積壓其后果是減少了超級(jí)市場的收益另外，有些商品缺貨會(huì)造成顧客的抱怨，以至影響該超級(jí)市場的聲譽(yù)，導(dǎo)致超

3、級(jí)市場出現(xiàn)缺貨損失在競爭激烈的市場經(jīng)濟(jì)條件下，該超市試圖確定最佳進(jìn)貨方案，使得支付的總費(fèi)用最小，以期獲得最大利潤2 模型的假設(shè)2.1顧客的需求量是隨機(jī)的2.2超級(jí)市場周期初所定的貨物立即到達(dá)2.3生鮮商品的保質(zhì)期為銷售的一個(gè)周期，一個(gè)周期只定一次貨2.4生鮮商品在一個(gè)周期內(nèi)沒有售出的(超過保質(zhì)期)，不再貯存，立即折價(jià)售出2.5日用商品在一個(gè)周期未售出的，進(jìn)入下一個(gè)周期的銷售，并且擺在貨柜的最前面，即不考慮保質(zhì)期的影響2.6超級(jí)市場的商品在一個(gè)周期內(nèi)，其進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)保持不變3 符號(hào)約定 商品一個(gè)周期的定貨量 顧客的需求量，是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量需求量r的密度函數(shù) 定貨費(fèi)(與數(shù)量無關(guān)) 單位商品的

4、進(jìn)貨價(jià) 單位商品一周期的貯存費(fèi) 銷售價(jià) 生鮮商品一個(gè)周期內(nèi)未售出的商品，折價(jià)售出時(shí)單位商品的售價(jià) 缺貨損失費(fèi) 日用商品一個(gè)周期末的存貨量 日用商品一個(gè)周期初的定貨量 商品的需求價(jià)格彈性商品的定價(jià)商品零售價(jià)格指數(shù)消費(fèi)者的收入水平4 問題的分析超級(jí)市場進(jìn)貨后整個(gè)運(yùn)轉(zhuǎn)過程可用以下流程圖表示：超級(jí)市場經(jīng)營方案邊銷售，邊貯存付貯存費(fèi)未售完的立即折價(jià)售出一個(gè)周期（保質(zhì)期）邊銷售，邊貯存付貯存費(fèi)未售完的進(jìn)入下一個(gè)周期的銷售一個(gè)周期生鮮商品日用商品從以上流程圖可知，我們需要分為生鮮商品和日用商品兩大類分別建立數(shù)學(xué)模型對(duì)于生鮮商品到周期末未售出的，要立即售出不在貯存，因?yàn)橐呀?jīng)過了保質(zhì)期；對(duì)于日用商品到周期末未售

5、出的，進(jìn)入下一個(gè)周期的銷售，而且應(yīng)放在貨柜的最前面，這樣，我們不用考慮其保質(zhì)期從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度考慮，銷售量是關(guān)于價(jià)格的遞減函對(duì)于該超級(jí)市場里的任意商品，我們可以根據(jù)超級(jí)市場提供的其銷售的歷史資料，進(jìn)而找出較合理的“銷售量價(jià)格”函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可以預(yù)測出進(jìn)貨量超級(jí)市場在進(jìn)貨時(shí)，可以根據(jù)“銷售量價(jià)格”函數(shù)關(guān)系式確定進(jìn)貨量5 模型的建立和求解5.1 分類處理模型生鮮商品進(jìn)貨方案.1不考慮中斷（缺貨）損失的最佳進(jìn)貨策略 不考慮中斷損失，那么平均費(fèi)用為定貨費(fèi)、進(jìn)貨費(fèi)以及貯存費(fèi)的總和由于需求量是隨機(jī)變量，密度函數(shù)是,所以一個(gè)周期的累計(jì)貯存量為此時(shí)，平均費(fèi)用為說明：因?yàn)樾枨罅渴且粋€(gè)隨機(jī)變量，所以的值也是不定的，

6、超級(jí)市場若要確保不缺貨，那么進(jìn)貨量一定要大于需求量下面對(duì)上式進(jìn)行分析，進(jìn)而確定進(jìn)貨量，使得總費(fèi)用最小：當(dāng)時(shí)，令,得 (1)由于(1)式右邊為負(fù)數(shù)，兩邊同時(shí)加上，且將代入，得到 (2)由于，即函數(shù)存在最小值所以滿足(2)式的可以使平均費(fèi)用達(dá)到最小當(dāng)時(shí)，令,得 (3)同理，由于(3)式右邊為負(fù)數(shù)，兩邊同時(shí)加上，且將代入，得到 (4)由于，即函數(shù)存在最小值所以滿足(4)式的可以使平均費(fèi)用達(dá)到最小.2考慮中斷（缺貨）損失的最佳進(jìn)貨策略當(dāng)定貨量小于需求量，即時(shí)，缺貨費(fèi)為；當(dāng)時(shí)，缺貨費(fèi)為零這樣平均費(fèi)用可以表示為 下面確定使總費(fèi)用最?。嚎紤]情形，根據(jù)平均費(fèi)用的表達(dá)式，我們有令，化簡得， (5)由于，即函數(shù)存

7、在最小值滿足(5)式的可以使平均費(fèi)用達(dá)到最小 當(dāng)時(shí)，缺貨費(fèi)為零，與不考慮中斷損失時(shí)的模型類似下面我們以超市提供的部分?jǐn)?shù)據(jù)為例，來驗(yàn)證以上理論的正確性根據(jù)該超級(jí)市場提供的歷史數(shù)據(jù)(見附錄1表格)，對(duì)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析，可以知道各種商品的的需求量符合正態(tài)分布此時(shí)，我們令需求量的密度函數(shù)為這里，考慮情形，密度函數(shù)中的，參看附錄1中表格：生鮮商品銷售的歷史資料，然后根據(jù)(4)和(2)分別計(jì)算出不考慮中斷損失和考慮中斷損失時(shí)的進(jìn)貨量，見表(1)表(1) 項(xiàng)目商品銷售價(jià)進(jìn)貨價(jià)折價(jià)后的售價(jià)貯存費(fèi)實(shí)際銷售量(平均值)理論進(jìn)貨量()不考慮中斷損失考慮中斷損失面包1.901.240.60 0.12886.8

8、0872899餅干2.702.230.800.12134.60125146豆奶2.501.800.700.1274.607587某種牛奶3.502.901.000.1276.808284礦泉水2.501.700.800.12105.4098123香腸1.200.560.400.1275.806684 日用商品進(jìn)貨方案.1 不考慮中斷（缺貨）損失的最佳進(jìn)貨策略因?yàn)槿沼蒙唐凡挥每紤]保質(zhì)期這個(gè)因素的影響，也就是說，一個(gè)周期未售完的商品不用折價(jià)售出此時(shí)，定貨費(fèi)為進(jìn)貨費(fèi)為，貯存費(fèi)為當(dāng)然，不進(jìn)貨(即)時(shí)不用付以上費(fèi)用當(dāng)進(jìn)貨量時(shí)，平均費(fèi)用是定貨費(fèi)、進(jìn)貨費(fèi)以及貯存費(fèi)的總和；當(dāng)進(jìn)貨量時(shí)，只須付貯存費(fèi)此時(shí)，平均費(fèi)

9、用為當(dāng)時(shí)有再令，得 (6)由于(6)式右邊為負(fù)數(shù)，同理，我們可以變形為 (7)由于，即函數(shù)存在最小值所以滿足(7)式的可以使平均費(fèi)用達(dá)到最小當(dāng)時(shí)，我們不用考慮進(jìn)貨問題有因?yàn)?，所以存在最小值令，容易得，?8)也就是說當(dāng)上一周期末的存貨量如果滿足(8)式，那么就可以考慮不用進(jìn)貨.2考慮中斷（缺貨）損失的最佳進(jìn)貨策略當(dāng)進(jìn)貨量時(shí)，平均費(fèi)用是定貨費(fèi)、進(jìn)貨費(fèi)、貯存費(fèi)以及缺貨損失費(fèi)的總和；當(dāng)進(jìn)貨量時(shí)，只須付貯存費(fèi)此時(shí)，平均費(fèi)用的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中，當(dāng)時(shí)，令，可得 (9)即周期初的定貨量加上上周期末的存貨量滿足(9)式時(shí)，平均費(fèi)用最小也就是說，滿足(9)式的即為最優(yōu)的進(jìn)貨量與不考慮中斷（缺貨）損失的最佳進(jìn)貨策

10、略類似：當(dāng)時(shí)，我們不用考慮進(jìn)貨問題有(10)令，得(11)當(dāng)上一周期末的存貨量如果滿足(11)式，那么就可以考慮不用進(jìn)貨我們以超市的香煙為例對(duì)以上建立的日用商品進(jìn)行檢驗(yàn)，密度函數(shù)中的參數(shù)，見附錄1中表格中各種品牌香煙銷售的歷史資料，這樣我們可以計(jì)算出不考慮中斷損失和考慮中斷損失時(shí)各品牌香煙的進(jìn)貨量，見表(2)表(2)項(xiàng)目品牌銷售價(jià)缺貨損失費(fèi)進(jìn)貨價(jià)貯存費(fèi)實(shí)際銷售量(單位：包)上次庫存理論進(jìn)貨量不考慮中斷損失考慮中斷損失蓋雙喜8.002.407.450.127337479黃紅梅4.001.203.650.122132223蓋紅河5.001.504.150.121701923白云煙5.501.654

11、.750.122402935紅山茶4.001.203.300.124133848紅云煙7.002.106.000.1213112175.2基于商品價(jià)格的需求模型需求價(jià)格彈性（也叫需求自價(jià)格彈性）是指一種商品的需求量對(duì)自身價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)靈敏程度，是需求量變化的百分比與商品自身價(jià)格變化的百分比之間的比值用E代表需求價(jià)格彈性，Q代表需求量，P代表價(jià)格，則需求價(jià)格彈性的基本計(jì)算公式為：從上式可以看出，需求價(jià)格彈性直接反映了價(jià)格的變動(dòng)對(duì)需求量的影響需求價(jià)格點(diǎn)彈性，簡稱點(diǎn)彈性，是指需求曲線上某一點(diǎn)的彈性點(diǎn)彈性系數(shù)是需求量無窮小的相對(duì)變化與價(jià)格的無窮小的相對(duì)變化之間的比值點(diǎn)彈性的計(jì)算公式通常是以微分方法來表

12、示的，即：影響需求的因素主要有商品的價(jià)格、消費(fèi)者的收入水平、社會(huì)收入分配平等程度、消費(fèi)者嗜好、人口數(shù)量與結(jié)構(gòu)的變動(dòng)、政府的消費(fèi)政策以及消費(fèi)者對(duì)未來的預(yù)期等本模型主要考慮商品的價(jià)格和消費(fèi)者的收入水平兩個(gè)主要影響因素對(duì)超級(jí)市場的銷售情況進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其需求量與價(jià)格不是簡單的線性關(guān)系，而是需求量的對(duì)數(shù)與商品的價(jià)格和消費(fèi)者的收入水平符合線性關(guān)系： (12) 其中Q為商品需求量，為商品價(jià)格，、為隨機(jī)變量，表示商品零售價(jià)格指數(shù)，表示消費(fèi)者的收入水平由于是對(duì)數(shù)線性需求函數(shù)模型，因此在上式中，表示的就是商品需求價(jià)格彈性，是一個(gè)無量綱的值經(jīng)查證，韶關(guān)地區(qū)的人均收入為7209元，即；商品零售價(jià)格指數(shù)為100，食物

13、的價(jià)格彈性0.12這樣我們將以上數(shù)據(jù)代入(12)式可得 (13)圖(1)以該超級(jí)市場的面包為例，我們利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB(程序見附錄2)，針對(duì)該超市所提供的需求量的歷史數(shù)據(jù)(見附錄2)，用(13)式進(jìn)行擬和后，其銷售量與銷售價(jià)格的相互關(guān)系如圖(1),其擬和曲線的方程為： (14)同時(shí)利用(14)式可以計(jì)算出每一價(jià)格所對(duì)應(yīng)的需求量(見附錄3表格),以及每點(diǎn)的相對(duì)誤差，從表格中可以看出該曲線擬合程度相當(dāng)好，相對(duì)誤差(見附錄3表格)非常小這樣超級(jí)市場就可一根據(jù)商品的定價(jià)來決定進(jìn)貨量從圖中可以看出，需求量隨著價(jià)格的增大而減小，這是符合市場平衡規(guī)律的用同樣的方法，我們對(duì)于任意商品根據(jù)其銷售的歷史資料

14、，根據(jù)(13)式，用MATLAB中的命令nlinfit進(jìn)行擬合都可以得到該意商品的“需求價(jià)格”函數(shù)：餅干：豆奶：牛奶：礦泉水：香腸：這樣，我們對(duì)于超級(jí)市場中的任意商品都可以根據(jù)其銷售價(jià)格來確定其進(jìn)貨量的大小，避免出現(xiàn)積壓現(xiàn)象6 模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1 模型的評(píng)價(jià)本文所建立的兩個(gè)模型中，分類處理模型較為清晰明確的建立了總費(fèi)用與訂貨費(fèi)、貯存費(fèi)、缺貨損失費(fèi)等因素的關(guān)系最終建立了進(jìn)貨量合理的解決了超市商品缺貨和出現(xiàn)商品積壓的問題；基于商品價(jià)格的需求模型根據(jù)韶關(guān)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平等特點(diǎn)，建立了形式較為簡單的“需求價(jià)格”函數(shù)，也給超市進(jìn)貨提供了較實(shí)用參考價(jià)值本文所建立的兩個(gè)模型都是針對(duì)單個(gè)商品實(shí)際上，超級(jí)

15、市場每次進(jìn)貨都是多種商品一起進(jìn)貨的銷售量是隨機(jī)變化的，各種商品的銷售量還受替代品的影響所以，實(shí)際操作時(shí)是一個(gè)較復(fù)雜的問題6.2 模型的推廣該問題可以推廣到種商品一次性同時(shí)進(jìn)貨時(shí)，第種商品的進(jìn)貨量此時(shí)，我們可以建立規(guī)劃模型為符號(hào)說明： 第種商品的進(jìn)貨量 第種商品的需求量 種商品一次性進(jìn)貨時(shí)總的定貨費(fèi)(包括交通費(fèi))， 與數(shù)量無關(guān) 第種商品的單位商品的進(jìn)貨價(jià) 第種商品的單位商品一周期的貯存費(fèi) 第種商品的銷售價(jià) 第種生鮮商品一個(gè)周期內(nèi)未售出的商品折價(jià)售出時(shí)單位商品的售價(jià) 第種商品的缺貨損失費(fèi)然后解這個(gè)規(guī)劃，可以得到更為合理的結(jié)果參考文獻(xiàn)：1.姜啟源.數(shù)學(xué)模型(第三版)M北京.高等教育出版社.20032

16、.洪毅等.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型M廣東.廣東華南理工大學(xué)出版社.19983.王庚.實(shí)用計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)建模M安徽.安徽大學(xué)出版社.20004.(中國超市網(wǎng))5.程飆等.市場價(jià)格學(xué)M廣州.暨南大學(xué)出版社.20016.(廣東省統(tǒng)計(jì)信息網(wǎng))7.尹澤明等.精通MATLAB6M北京.清華大學(xué)出版社.2004附錄附錄1：生鮮商品銷售的歷史資料：銷量商品周期1周期2周期3周期4周期5期望值標(biāo)準(zhǔn)差面包(單位：只)879887884891893886.805.5857餅干(單位：包)124135126135153134.6011.4586豆奶(單位：瓶)758466757374.606.4265某種牛奶(單位：瓶)768169

17、817776.804.9193礦泉水(單位：瓶)10110598106117105.407.2319香腸(單位：條)678177787675.805.2631各種品牌香煙銷售的歷史資料：項(xiàng)目品牌周期1周期2周期3周期4周期5期望值標(biāo)準(zhǔn)差蓋雙喜787987685573.4012.3004黃紅梅192526182021.603.6469蓋紅河171516192117.602.4083白云煙282624232224.602.4083紅山茶454442413641.603.5071紅云煙11141318913.003.3912附錄2：擬合的MATLAB程序Clear;clc;Q0=;p=1.6:0.2

18、:3.6;Q=1003,925,872,892,877,860,875,844,834,853,833;Q0=Q0,exp(6.54-0.12.*log(p/100)-0.023*log(7209);D=abs(fix(Q0)-Q); %絕對(duì)誤差disp(相對(duì)誤差),D./Q %相對(duì)誤差p1=1.6:0.01:3.6;Q1=exp(6.54-0.12.*log(p1/100)-0.023*log(7209);plot(p,Q,p,p1,Q1,-*)gridlegend(實(shí)際數(shù)據(jù),擬合數(shù)據(jù))xlabel(價(jià)格p)ylabel(銷售量Q)附錄3：超市面包銷售歷史數(shù)據(jù)(單位商品的進(jìn)貨價(jià)為=1.24)，項(xiàng)目周期銷售價(jià)(單位：元)銷售量(單位：只)理論銷售量(單位：只)相對(duì)誤差周期11.610039260.0768 周期21.89259130.0130周期32.08729020.0344周期42.28928920周期52.48778820.0057 周期62.68608740.0163周期72.88758660.0103周期83.08448590.0178周期93.28348520.0216 周期103.48538460.0082周期113.68338410.0096 本文已獲第八屆廣東省挑戰(zhàn)杯三等獎(jiǎng)（上接24頁）8 模