數(shù)值分析復(fù)測(cè)驗(yàn)

1、第一章緒論習(xí)題一設(shè)xO,x*的相對(duì)誤差為3,求f（x）=lnx的誤差限。解：求lnx的誤差極限就是求f（x）=lnx的誤差限，由公式（124）有*)=|3-閒IV,)1心已知x*的相對(duì)誤差廠滿藍(lán)，故1-1X1丄22.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值,2.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值,試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限與相對(duì)誤差限云=L102Vr：解：直接根據(jù)定義和式（122）（123）則得有5位有效數(shù)字，其誤差限，相對(duì)誤差限:有2位有效數(shù)字有5位有效數(shù)字，下列公式如何才比較準(zhǔn)確？嚴(yán)11f-dxrN（1）（2）解：要使計(jì)算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式arct

2、an(N+l)-ar匚tanN2近似數(shù)x*=0.0310,是位有數(shù)數(shù)字。計(jì)算-二取.-,利用：式計(jì)算誤差最小?？?(3-22),99-702四個(gè)選項(xiàng)：第二、三章插值與函數(shù)逼近習(xí)題二、二1.給定一；的數(shù)值表0.40.50.60.7Lnx-0.916291-0.633147-0.510826-0.355675用線性插值與二次插值計(jì)算ln0.54的近似值并估計(jì)誤差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值，并應(yīng)用誤差估計(jì)（5.8）。線性插值時(shí)，用0.5及0.6兩點(diǎn)，用Newton插值掃山，-隔+-彎?;詢（山-0.5）二-0620219區(qū)（孟）卜扌峪作-心）（“0創(chuàng)怨）=血

3、（或g姙二器如(l-xxO.OxO06=00048二次插值時(shí)，用0.5，0.6，0.7三點(diǎn)，作二次Newton插值In0.54対-0.620219+(0.54-0.5)(0.54-0.0=-0.620219+(-140850)x0.04x(-0.0Q=-0.61683922、口壬沖囲(龍)|玉石姙作一為(尢一0-)(-0.7)|/W=3=Sio.7p=16誤差限引兀覘(初|蘭fx16X0.04沈006XQ16莖0001024在-4Wx4上給出；的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超過：函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少？解：用誤差估計(jì)式（5.8），丸4/（力一琢期勺曲弓衛(wèi)鼻g|（_也）（

4、丙）（和）|令-_i,_i-.,+：-1.囂g”|（兀-習(xí)一丿仏-丙）（開-和）|=C10TOCo1-5hz因，應(yīng)鼻0.0066得-若7(+X4+3z+1，求2,21,-27和/2,2-,23解：由均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系/(x)=H+z4+3z+ll/C7(x)=兒嚴(yán)=0了Q需J=1J霞北旳丸于疋若r一蘭一.：一心一上一I一）一二卞互異，求孑図.的值，這里pn+1.解：了仗）=%）,/（禹）=%=ai,屈,由均差對(duì)稱性可知當(dāng)1；：；有-可知當(dāng)1；：；有-而當(dāng)p=n+1時(shí)于是得于是得PnP=n+1工”=3廠o求證-解：解：只要按差分定義直接展開得J4；-0=蚣_Aya_i_他+解_峽=Ar,_g已知的函

5、數(shù)表爲(wèi)00.200.300.50心1)00.201340.304520.52110求出三次Newton均差插值多項(xiàng)式，計(jì)算f（0.23）的近似值并用均差的余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差.解：根據(jù)給定函數(shù)表構(gòu)造均差表由式(5.14)當(dāng)n=3時(shí)得Newton均差插值多項(xiàng)式Kif(K;)一階均差差三階均差000.200.201341.00670.300.304521,03180.083670.500.521121.08300.170670.17400N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余

6、項(xiàng)表達(dá)式(5.15)可得肉2?)卜川和殆巧居Q曲國(guó)(0錮由于II1:1區(qū)(023)|0033133x0.23x0.03x0.07x0274.32xl0_e給定f(x)=cosx的函數(shù)表00.10.20.30.40.50.(51000000.995000.980070.955340.521060.877580.82534用Newton等距插值公式計(jì)算cos0.048及cos0.566的近似值并估計(jì)誤差解：先構(gòu)造差分表f(X1)AW)旳W7)a3z(v7)MOa7(vj/)1.00000-0.005000,99500-0.00993-0.014930,000130.98007-0.009800.0

7、0012-0.024730.00025-0,000020.95634-0.009550.00010-0.034230.00036-0,00001&92106-0.009200.00009-0,04348000044P.00876-0.052240.85234用n=4得Newton前插公式、“cow0,048,=0.048=01J=0.48計(jì)算,N4(=)=Ji+M+警垃D+警儂-1)0-2)+學(xué)必-1)心-2)0-3)=1.00000+0.48=1.00000+0.48-0.00500-0,52-0.009931.520.000136-2.52x0.0001224誤差估計(jì)由公式(5.17)得|

8、K4(0.048)|智|血-1)(-2)(-3)(/一4)忙M1.5345xlO-7甘中二sin06=0.565計(jì)算1時(shí)用Newton后插公式不=0.566,=06蘭H=一0.34(5.18)cos0.566M(旺+th)二人+Vfy+1)+警&+1)0+2)+警l(t+l)(Z+可(+3)=032534-0.34x-005224+0.66x-QQS76+1.66x2倍鑿+2&x噸24=0.84405誤差估計(jì)由公式（5.19）得（0一566）|蘭整說+1）（+2）（z+3）（/+4）=271.4*32九+72776996=3693215解得-1亠|一最小二乘擬合曲線為-1均方程為H=-(怖=0

9、-0150321|4=0.122611.填空題滿足條件7-的插值多項(xiàng)式p(x)=().,則f1,2,3,4=(),f1,2,3,4,5=().設(shè):-為互異節(jié)點(diǎn),為對(duì)應(yīng)的四次插值基函數(shù)，貝S工翻(0)工(并+糾(巧“=(),=().設(shè)-是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)為P(x)=x的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式序列,數(shù)為1的正交多項(xiàng)式序列,其中，則ij=(答:答:(1)(2)/U3,4=2VU3A5=0士別(0)=0lX+2(1)=x*+2(3)(4)iJ?-0-=020羽勺(忑)二-+510第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題4分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson公式計(jì)算下列積分.r血卑=8解本題只要根據(jù)復(fù)合梯形

10、公式（6.11）及復(fù)合Simpson公式（6.13）直接計(jì)算即可。對(duì)T77，取n=8,在分點(diǎn)處計(jì)算f（x）的值構(gòu)造函數(shù)表。按式（6.11）求出-，按式（6.13）求得：；，積分ji齊7=（x=011157178k4+X用Simpson公式求積分并估計(jì)誤差解：直接用Simpson公式（6.7）得礦玄不伺*（1十編虧+S-1）=0.63233由（6.8）式估計(jì)誤差，因-:，故10)1=14I180j+j4j=0A_-h+=|(2A)3T兒+為=血I,1D21Xi=曲=一B=C=解此方程組得:，于是有f/（x）如存（0）+|熄+”fl42尹1、415.4IH兀疋一（一）Hl再令A(yù)x）=x4,得h3、

11、2624故求積公式具有3次代數(shù)精確度。（2）令代入公式兩端使其相等，得也+4(也=4必*A_y()十丄1南=0+j4j=0A_-h+=|(2A)3T兒+為=血42J解出-得0也二|為(-疔+滬20而對(duì)廠不準(zhǔn)確成立，故求積公式具有3次代數(shù)精確度。令代入公式精確成立，得啟+0切-hA+跖=0h2A+B二仝h3解得，得求積公式匸昇B押號(hào)LZ(-毎+”(初=(護(hù)吟+3(新二一討故求積公式具有2次代數(shù)精確度。計(jì)算積分，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超過，問區(qū)間-要分為多少等分？若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間I【應(yīng)分為多少等分？解：由Simpson公式余項(xiàng)及:二-一二二得嚴(yán)3)1垢(護(hù)3即-

12、二，取n=6,即區(qū)間分為12等分可使誤差不超過2對(duì)梯形公式同樣腺由余項(xiàng)公式得即二x0取n=255才更使復(fù)合梯形公式誤差不超過用Romberg求積算法求積分：，取解：本題只要對(duì)積分使用Romberg算法（6.20）,計(jì)算到K=3,結(jié)果如下表所示。密0068394010.6452350.63233320.6354100.6321360.63212230.6329430.6321210.6321200.6321200.713271于是積分，積分準(zhǔn)確值為0.713272用三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式計(jì)算積分.2eKdx解：本題直接應(yīng)用三點(diǎn)Gauss公式計(jì)算即可。:孟二一（f+1）由于區(qū)間為

13、,所以先做變換二L13于是l0.555556x(17745972e0W3SSl0.555556x(17745972e0W3SS+(l-0.774597)aJi巧十Q.888889tf0J=0718252本題精確值u-匚廠I=f必用三點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算積分解：本題直接用Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算因n=2,即為三點(diǎn)公式，于是因n=2,即為三點(diǎn)公式，于是2t+lcosjt,k6試確定常數(shù)A,B,C,及a,使求積公式fjg崗歡-町+戲+労（町有盡可能高的代數(shù)精確度，并指出所得求積公式的代數(shù)精確度是多少它是否為Gauss型的求積公式？解：本題仍可根據(jù)代數(shù)精確度定

14、義確定參數(shù)滿足的方程，令3七心對(duì)公式精確成立，得到則有求積公式A+B+Cf-aAaC=fxdx-0（2）a2A+a2C=必=殳J月+aC0a（4）由（2）（4）得A=C這兩個(gè)方程不獨(dú)立。故可令畑=芒，得a2AaC二：工匕-*（5）由（3）（5）解得：1片，代入（1）得2普1曲利晉片皿駅禺令廠公式精確成立，故求積公式具有5次代數(shù)精確度。三點(diǎn)求積公式最高代數(shù)精確度為5次，故它是Gauss型的。第五章解線性方程組的直接法習(xí)題五1.用Gauss消去法求解下列方程組9898解本題是Gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計(jì)算即可。111.TOCo1-5hzX,十一花+x,=9415

15、26311,_一一&=T60245313一再=-154x153=-177.69X=-60(-4+=476.9212兩-隴+=15J-18!+32+3勺=-152.用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值解：先選列主元，解：先選列主元，2行與1行交換得-18-183-1-15112-3孑151116消元-1731718-153163行與2行交換-1-133-1-15-183-1-1507173107173161876186750722660-163消兀779回代得解行列式得det=-18-66673.用Doolittle分解法求于宀2心嚴(yán)的解.A=LU=解：由矩陣乘法得451

16、315再由二一求得H-1殲由一解得x=(-227.08.47692.-177.69)4.下述矩陣能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯1231119126241占=2212=251546733161546解：A中，若A能分解，一步分解后，1-11，相互矛盾，故A不能分解，但戸八，若A中1行與2行交換，則可分解為L(zhǎng)U對(duì)B,顯然-：，但它仍可分解為_111_B=2100-1-31_o0*2-2_分解不唯一，：為一任意常數(shù)，且U奇異。C可分解，且唯ri1261C=2113631_1_5.用追趕法解三對(duì)角方程組Ax二b,其中解：用解對(duì)三角方程組的追趕法公式和()計(jì)算得01=一燉二燉=_扌

17、，燦=.3456衍=N衍=-fa5=-Z1111z5211kr01=一燉二燉=_扌，燦=.3456衍=N衍=-fa5=-Z1111z5211kr6.用平方根法解方程組解：用分解直接算得6.用平方根法解方程組解：用分解直接算得164中.9-445-4=38-422B1062-1000-12-10000-12-10000-12-10000-1204L=122-33由_：及；-求得=(-U6/,x=(-A2)r7.設(shè)心,證明問LGkV嗣kk解：就=豳k：G；+分+宀就即L卜1，另一方面怵r；十於+兀s總鴛忖卜列劉:故1-1：060.5A=8設(shè)卩】習(xí)計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)及F-范數(shù)和2范數(shù)解：IK二1

18、丄制產(chǎn)闕此二問二840.370.330.370.330.33034心）=0.68531故|-.-4-設(shè)囲為計(jì)上任一種范數(shù)，F(xiàn)eri是非奇異的，定札TmIL,證明IKT|T|證明：根據(jù)矩陣算子定義和W定義，得令一“，因P非奇異，故x與y為一對(duì)一，于是PAFrly鳳七rp十侶|W求下面兩個(gè)方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計(jì)il3240jxj|上即O+劍）（兀十&0-0.5-050解：記240-319=-179240則丄的解二:,而二山m_二的解.-:E.汀故H-N.，而2403194991179240=p-L|LK=626.2剖L5k1LML預(yù)12由（3.12）的

19、誤差估計(jì)得Il41由（3.12）的誤差估計(jì)得Il41,4-可牆皿1臨1-CWW畀風(fēng)L洞此I。表明估計(jì)“一略大，是符合實(shí)際的。是非題（若是在末尾（）填+,不是填-）:題目中X二和忑）卅,曲二（旳疋氏碎（1）若A對(duì)稱正定，匸:則忖.mf是廠上的一種向量范數(shù)（）TOCo1-5hz（2）定義叫一是一種范數(shù)矩陣（）鳳廣dx嚴(yán)（3）定義-是一種范數(shù)矩陣（）（4）只要，則A總可分解為A=LU,其中L為單位下三角陣,U為非奇上三角陣（）（5）只要，則總可用列主元消去法求得方程組的解（）（6）若A對(duì)稱正定，則A可分解為亠“，其中L為對(duì)角元素為正的下三角陣對(duì)任何一都有1此羽冷14(8)若A為正交矩陣，則八-1答案

20、:答案:(1)(+)(2)(-)(3)(+)(4)()(5)(+)(6)(+)(7)()(8)(+)第六章解線性方程組的迭代法習(xí)題六T,A丄護(hù)丄才-1.證明對(duì)于任意的矩陣A,序列一宀-收斂于零矩解：由于葉測(cè)而總訥J2.方程組于開1+2x2+g=-12-+4心+2毛=202zj-3；也+10乃=3(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程組的收斂性.11為止(2)寫出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以廠一計(jì)算到A=解：因?yàn)锳=解：因?yàn)?21-1422-310具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故J法與GS法均收斂。(2)J法得迭代公式是x嚴(yán)=-l(12+2xJ十習(xí))雋剛=*20+申-羽0屮冷(3-2#可+卻)

21、永=卽,取-，迭代到18次有嚴(yán)二(_玄999996,2.於997499999/|Am-?1&)|L04145x10GS迭代法計(jì)算公式為護(hù)=*（12+2期+夢(mèng)）才扣0+計(jì)1-2彩）対呦=1（3-N嚴(yán)+3x）fk=。丄取q：=:二.上出m;丁|xr)-x(3)|0.9156x10*3.設(shè)方程組“如工0)證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時(shí)收斂或發(fā)散解:解:Jacobi迭代為二丄韻I)二丄n護(hù))a22其迭代矩陣P(B)=,譜半徑為,而Gauss-Seide迭代法為t(m_】z打心衛(wèi)-11乃茨=(為-也込嚴(yán))ananana21其迭代矩陣0&二0眄聲22，其譜半徑為眄聲2

22、2，其譜半徑為ana22由于廣-八匸|,故Jacobi迭代法與Gauss-Seidel法同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散4.4.F列兩個(gè)方程組Ax二b,若分別用J法及GS法求解，是否收斂?TOCo1-5hz12-2A-11122102-2Z2B=D4(Z+E7)=-101,detfzl/一$)=1A2202202-2Z2B=D4(Z+E7)=-101,detfzl/一$)=1A22022解：Jacobi法的迭代矩陣是即.-;-，故：，J法收斂、GS法的迭代矩陣為100-1o-22-0-22_G=QD-L)U=11000-102一32210000022det(AZ-Cr)=0Z-2-23=2)2=OH】=0,

23、為=為=22-2故，解此方程組的GS法不收斂。10a0A-b10b設(shè)寸，detA工0,用氏,b表示解方程組Ax=f的J法及GS法收斂的充分必要條件解J法迭代矩陣為3ahIo-故J法收斂的充要條件是GS法迭代矩B0a0a0ioiob0_b,det(-UB)=b2b10ToToTo0a00aX55陣為_100了S-a01G二b10000-b0口5-V。_100了S-a01G二b10000-b0口5-V。1010010-aQ0-b0050050500a100bioab50P(c?)=loo得GS法收斂得充要條件是用SOF方法解方程組（分別取3=1.03,3=1,3=1.1）精確解_11,要求當(dāng):11

24、11時(shí)迭代終止，并對(duì)每一個(gè)3值確定迭代次數(shù)解：用SOF方法解此方程組的迭代公式為嚴(yán)二（1_妙帶+專（1+君）*屮=（1-+扌（4+卅+卻）聘=（1-初羅+-C-3+屮）,七=01u4取|，,當(dāng)-門時(shí)，迭代5次達(dá)到要求=（0.5000043,10000002-04999995）7若取工一-二，迭代6次得疋二（0.5000035,0.9999989-0.5000003）r對(duì)上題求出SOF迭代法的最優(yōu)松弛因子及漸近收斂速度，并求|jr*-14.85取K=15In對(duì)于GS法-：154252079447.42，取K=8對(duì)于SOR法-15.425340014.54，取K=58.填空題FaA=0L8.填空題

25、FaA=0Lio1訂要使匕丄應(yīng)滿足（）已知方程組120.321H?J,則解此方程組的JacobiA=設(shè)方程組Ax=b,其中21-11習(xí)其J法的迭代矩陣是迭代法是否收斂().它的漸近收斂速度R(B)二()().GS法的迭代矩陣是().+吒4用GS法解方程組，其中a為實(shí)數(shù)，方法收斂的充要條件是a滿足().1門卜=卜給定方程組卜1WM,a為實(shí)數(shù)當(dāng)a滿足()，且0vsv2時(shí)SOR迭代法收斂.(1)1(2)J法是收斂的，R(5)=(-Inp(5)=-In08=0.223)L100B=2G=221100(3)J法迭代矩陣是-3,GS法迭代矩陣-3，滿足憶(5)匕/滿足同日第七章非線性方程求根習(xí)題七用二分法

26、求方程，八的正根，使誤差小于0.05解使用二分法先要確定有根區(qū)間o本題f(x)=x2-x-1=0,因f（1）=-1,f（2）=1,故區(qū)間1,2為有根區(qū)間。另一根在-1,0內(nèi),故正根在1,2內(nèi)。用二分法計(jì)算各次迭代值如表心出3仁其誤差7“丁三八八N鬲鬲F（鬲）符號(hào)0121.511.521.75+21.51.751.625+31.51.6251.56254L562516251.5P375-求方程】在=1.5附近的一個(gè)根，將方程改寫成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)迭代公式.=1+4-和+1=1.+-7TOCo1-5hz（1），迭代公式一1（2）,迭代公式訕.t1IJ：2i（3）-1，迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有