求點(diǎn)的軌跡方程的六種常見方法講解課件

1、點(diǎn)的軌跡方程的求法定義法若題設(shè)有動點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和或差為定值等條件時(shí)，可以利用圓錐曲線的定義直接寫出所求動點(diǎn)的軌跡方程。此類問題相對也非常簡單，因此單獨(dú)出現(xiàn)的可能性也很小，可能作為一個(gè)中間步驟出現(xiàn)。以下舉一個(gè)例子說明： 1.定義法 直譯法動點(diǎn)直接與已知條件聯(lián)系，直接列動點(diǎn)的關(guān)系式，即可求得軌跡方程，此類問題非常容易，現(xiàn)在的高考已經(jīng)不可能單獨(dú)考察此類問題，即使出現(xiàn)也將是某個(gè)題目的一個(gè)中間步驟。以下舉一個(gè)例子說明： 2.直譯法 求與圓x2+y2-4x=0外切且與Y軸相切的動圓的圓心的軌跡方程。PABxyo變式：外切改為相切呢？解：設(shè)動圓圓心為P(x,y).由題，得即 -4x+y2=4|x|得動圓

2、圓心的軌跡方程為y=0(x0)相關(guān)點(diǎn)法如果動點(diǎn)P（x,y）依賴于已知曲線上另一動點(diǎn)Q（u,v）(這種點(diǎn)叫相關(guān)動點(diǎn))而運(yùn)動，而Q點(diǎn)的坐標(biāo)u、v可以用動點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，則可利用點(diǎn)Q的軌跡方程，間接地求得P點(diǎn)的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫做變量代換法或相關(guān)點(diǎn)法.此類問題的難度屬中檔水平，可能在選擇題或填空題出現(xiàn)，也可能在解答題中出現(xiàn)，屬于小題中較難的題目但屬于大題中較易的題目。以下舉一個(gè)例子說明：3.相關(guān)點(diǎn)法 過雙曲線x2-y2=1 上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線,垂足為N,求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為P(x,y),Q(u,v),則N點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-u,2y-v).點(diǎn)

3、N在直線x+y=2上,2x-u+2y-v=2 又PQ垂直于直線x+y=2, 所以 聯(lián)立 得:又點(diǎn)Q在雙曲線上,即u2-v2=1,即得動點(diǎn)P的軌跡方程為:2x2-2y2-2x+2y-1=0 如圖,過點(diǎn)A(-3,0)的直線l與曲線 ：x2+2y2=4交于C,B兩點(diǎn).作平行四邊形OBPC，求點(diǎn)P的軌跡。 AoxyBCPG解法一：利用韋達(dá)定理解法二：點(diǎn)差法 連PO交CB于G.設(shè)P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),則x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=解得，x0=y

4、0=x=y=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求軌跡為(-3,0)為圓心，3為半徑的圓.?4.參數(shù)法 交軌法若動點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交線的方程，即為所求動點(diǎn)的軌跡方程。這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。此類問題難度較大，曾經(jīng)在高考壓軸題中出現(xiàn)過，但不論復(fù)雜程度如何，牢牢把握曲線相交的性質(zhì)就把握了解題的關(guān)鍵。以下舉兩個(gè)例子說明：5.交軌法 依題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)設(shè) =k(0k1),由此有E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak)xy變式 (2003年高考第22題變式)已知常數(shù)a0,在矩形AB

5、CD中，AB=4,BC=4a,O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E,F,G分別在BC、CD、DA上移動，且 ,P為GE與OF的交點(diǎn),求點(diǎn)P軌跡方程。ABCDEFGoP直線OF的方程為 2ax+(2k-1)y=0直線GE的方程為 -a(2k-1)x+y-2a=0從消去參數(shù)k，得點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)滿足方程2a2x2+y2-2ay=0(去掉（0，0）解：以AB所在直線為x軸,過o垂直AB直線為y軸,建立如圖直角坐標(biāo)系.幾何法運(yùn)用平面幾何的軌跡定理和有關(guān)平面幾何的知識，分析軌跡形成的條件，求出軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為幾何法。在解決某些復(fù)雜問題時(shí)，深入分析圖形性質(zhì)，利用此種方法，可能非常簡便。以下舉一個(gè)例子說明：6.幾何法 定義法直譯法也稱相關(guān)點(diǎn)法: 所求動點(diǎn)M的運(yùn)動依賴于一已知曲線上的一個(gè)動點(diǎn)M0的運(yùn)動,將M0的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示,代入已知曲線,所的方程即為所求.參數(shù)法:動點(diǎn)的運(yùn)動依賴于某一參數(shù)(角度、斜率、坐標(biāo)等)的變化,可建立相應(yīng)的參數(shù)方程,再化為普通方