章復數(shù)與復變函數(shù)課件

1、第1章 復數(shù)與復變函數(shù)1 復數(shù)嗓蚜咸厚藍濱慨懊解擾夜爬軟刺仕通賓猙螢重傀庇厘碎議速僵濟瞇帖誡氟章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.1.1 復數(shù)的基本概念設 ， 為兩個任意實數(shù)，稱形如 的數(shù)為復數(shù)，記為 ，其中 滿足 ，稱為虛數(shù)單位.實數(shù) 和 分別稱為復數(shù) 的實部和虛部，記為 ， . 各數(shù)集之間的關系可表示為 銘椅俯梅停膀埂掙盜弱維旺親聊峻關楔彼頁崎皇銥呈迪祈選坊賭鉻盂瑟溢章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)設 與 是兩個復數(shù).如果 ，則稱 與 相等. 由定義可得： .設 是一個復數(shù)，稱 為 的共軛復數(shù)，記作 .顯然， .如：锨帛治兵物壤喝爺六姓斗坑贓裹賤闖乾培奎抹硝孤署挫辨楓喚竊把壕害身章復數(shù)與復

2、變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.1.2 復數(shù)的四則運算設復數(shù) ， ，定義 與 的四則運算如下：加法：減法：乘法：除法：如：糖葦硬翁梨喂駐姚派罩穩(wěn)院琵鼠檀繡喝曬除責揍揮爬琵食晤鄲布夢若捏痛章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)復數(shù)滿足四則運算規(guī)律： 加法交換律 、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對于加法的分配律. 共軛復數(shù)的運算性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（5）預自摳終抹扦的統(tǒng)玲敢窿鵲韭餡浚姜拽刃禁鉛勾譏壟東紋溜蝕西靈福新吠章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù) （6）（7） 為實數(shù).例1 化簡 . 解： .撾撥味彝嘲擠蘇吐憤尹竅靈尖滄握跪幫積知疽劈拖砸貴癟詢拇庸被桅逗桃章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)

3、例2 設 ，求 及 . 解： 所以 允葛鴻擴祭鄰往議魯契泰卷柵者郊競旱翹計群駱馴匣莫例軀添蓄城傭繡危章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例3 設 是任意兩個復數(shù)，求證： 證：利用公式 可得 織居酒婁腔籠翰鞭娘郝似剖犁曠哪落阻杠拯廷撓可絹啟痙廳悶秸趨第罷拼章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.1.3 復平面一個復數(shù) 可唯一地對應一個有序?qū)崝?shù)對 ，而有序?qū)崝?shù)對與坐標平面上的點是一一對應的.所以，復數(shù) 全體與坐標平面上的點的全體形成一一對應.即我們把坐標平面上的橫坐標記為實軸，縱坐標記為虛軸，這樣整個平面可稱為復（數(shù)）平面.今后將復數(shù)與復平面的點不加區(qū)分.彥咨啄馱捶詢礙滄廢毆飾關冪雹熏做裝禽勛渣陌曳票盤言

4、裂苯怕悶拙句聽章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)圖1.1 圖1.2 由圖示：復數(shù) 在復平面上即是點，而點 可由向量 來表示（如圖1.1）, 與 分別是 在 軸與 軸上的投影.復數(shù) 與 關于實軸對稱（如圖1.2）.跪否派艇欽渦取敖醋督送鍺篩渡底入麥走鄒漲下脹扭屯苦閨徘艱障訃瘓鍘章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù) 1.2 復數(shù)的三角表示1.2.1 復數(shù)的模與輻角復數(shù) 的模 如圖1.1中的向量 的長度稱為復數(shù) 的模，記作 或 ，即復數(shù) 的輻角 設復數(shù) 對應的向量為 （如圖1.1）, 與實軸正方向所夾的角 ，稱為復數(shù) 的輻角,記作 ，即 . 蛀卞翱既設目盤地泥蔡巾攻嵌渦螺滴礫呢注婁卷店渣雇拒腺何石烴蛾旗幀

5、章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù) 并規(guī)定 按逆時針方向取值為正，順時針方向取值為負.用記號 表示 的所有輻角中介于 與 之間（包括 ）的那一個角，并稱它為 的主輻角，即 .從而我們可以用反正切函數(shù)來刻畫 .由定義我們有： .復數(shù)的三角表示式稱 為復數(shù) 的三角表示式.散再趙俏浮秤侍頓盎碉乙根幻譽亦彌耶扼槽彭苯抗揩酶言匣尸氮消甲壽扔章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例1 求 和 .解 難搜己拍慰險蝶虐盂毒擁棗抓倡踐妒筍腕嚨兆鼻睦截諸蠟踏兩杉薩母啡岔章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例2 求 的三角表示式.解 因為 , 所以 設則又因為 位于第II象限，所以 ,于是 堵踴高亡俗幌酥榔徹睡公茁桿盒菱口姐餌

6、提辱漓掘愛趣默恩亡鉛拘查康慢章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.1.4. 復數(shù)的冪與根1. 復數(shù)的乘冪設 為正整數(shù)， 個非零相同復數(shù) 的乘積，稱為 的 次冪，記為 ，即若 ，則有當 時，得到著名的棣莫弗 （De Moivre）公式豐餌郎伺束蛻維鯨遜拙磐尤但卻娠境僥死蹤嫂陵弘樊擠諜寨宮裸墟鴉形晤章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例7 求 .解 因為 所以 例8 已知 ， 求 .解 因為 樸襯立炒若早輔過心廁喲侄渣鷗狹胡笆館讒檄渝帕搞匿民率闊章豈綠蔑攔章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)所以鰓丸屹賊區(qū)偉授暗廟矽宇碰尿駁呂搔技毯宙陰兆椅借帖曳總參快李過陪糧章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)2.復數(shù)的方根 稱

7、滿足方程 的復數(shù) 為 的 次方根，記作 ， 或記作 . 且例1 解方程 .解 因為所以 燴頤漁規(guī)鎮(zhèn)凹芝歧東徑近鉆憎詢皿鏡囤忿岳倡案檀簍涯合腥匠泳蹋蔓螢恭章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)可求出6個根，它們是 例2特別的，當 時，藐盜仰揚備釜龜絹程譽產(chǎn)愈腆陣耀各稗提障帕數(shù)開詛纏受由犯霸猿甥蛀囑章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例3 計算解 因為 所以 即 敖促側(cè)幼趙建臍主小付閨頑砂湘抑酷巴側(cè)送隱謂冪贈賺糕爾捂碩鍬矚贏搪章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)第1章 復數(shù)與復變函數(shù)1.2 區(qū)域 遁博碳估檔螟緝雁忿謀狼棧橡忱檸躥黔潞吁勵馬延虹障母投扔甄剃或膚斜章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.2.1. 復平面

8、上的點集與區(qū)域擴充復平面 包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面.有限復平面 不包括無窮遠點的復平面稱為有限復平面，或復平面.鄰域 平面上以 為心， 為半徑的圓： 內(nèi)部所有點 的集合稱為點的 鄰域，記為 ，即稱集合 為 的去心 鄰域，記作 .打槳日押關速喬哎在泄貴抓蜂篇仍妥綜僚黎欲了祝蚜督畏肇癡輾壹尊揍殊章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)開集 如果點集 的每一個點都是 的內(nèi)點，則稱 為開集.閉集如果點集 的余集為開集，則稱 為閉集.連通集 設是 開集，如果對于 內(nèi)任意兩點，都可用折線連接起來，且該折線上的點都屬于 ，則稱開集 是連通集.區(qū)域（或開區(qū)域） 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.閉區(qū)域 開區(qū)域

9、 連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域，記為 .耀區(qū)蹤莎宛殃欲革毆矯犬氖筒墨宵肘霞跺畏棘請葉坍決鈔懼考充券鴿從跨章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.2.2 單連通域與多（復）連通域1. 簡單曲線、簡單閉曲線 若存在滿足 ， 且 的 ，使 ,則稱此曲線C有重點，無重點的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或約當（Jordan）曲線；除 外無其它重點的連續(xù)曲線稱為簡單閉曲線，例如， 是一條簡單閉曲線（如圖1.9）.圖1.9迎漬銜辰盞享換套掩避確枷柑簇幣唉廓截惰簇播習幕晾鱗中逆遞邢坷肯喝章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)在幾何直觀上，簡單曲線是平面上沒有“打結(jié)”情形的連續(xù)曲線，即簡單曲線自身是不會相交的；簡單閉曲線除了沒有“

10、打結(jié)”情形之外，還必須是封閉的，例如，圖1.10中的 是簡單曲線， 是簡單閉區(qū)域，圖1.11中的 ， 不是簡單曲線，但 是閉曲線.圖1.10 圖1.11 鎬啦窄哩檬親憐左標肚菩七帚無娟剛廈針曳讕敷唉墩憤奶假今雁舵付鵑啼章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)2. 光滑曲線、分段光滑曲線設曲線 的方程為 若 ， 在 上可導且 ， 連續(xù)不全為零，則稱曲線 為光滑曲線，由若干段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線.3. 單連通域、多連通域設 是復平面上一區(qū)域，如果在 內(nèi)任作一條簡單閉曲線 ，其內(nèi)部的所有點都在 中，則稱區(qū)域 為單連通區(qū)域；否則稱 為多連通區(qū)域或復連通區(qū)域.梗熄賦彪攫糕孟娜墨釣泌給歐犬北秩芳

11、循濰驢姥剮莎膏鴿譚呻冠序汽砌緯章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)在幾何直觀上，單連通區(qū)域是一個沒有“空洞（點洞）和縫隙”的區(qū)域，而多連通區(qū)域是有“洞或縫隙”的區(qū)域，它可以是由曲線 所圍成的區(qū)域中挖掉幾個洞，除去幾個點或一條線段而形成的區(qū)域（如圖1.12 ）.圖1.12與拇誓勢薯名夸荒柄遠裸嚇捕緊莆渦韋蕊傘梆稻窮己俯票折紫筒礙度查馴章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)第1章 復數(shù)與復變函數(shù)1.3 復變函數(shù)昌嘎此停鴛鈔貸酬胺寄騙畝忌研屹廈們尉柴撰瘤索磷播泵理了薩慢側(cè)啥犢章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.3.1 復變函數(shù)的概念定義1 設 為給定的平面點集，若對于 中每一個復數(shù) ，按著某一確定的法則 ，總

12、有確定的一個或幾個復數(shù) 與之對應，則稱 是定義在 上的復變函數(shù)（復變數(shù) 是復變數(shù) 的函數(shù)），簡稱復變函數(shù)，記作 .其中 稱為自變量， 稱為因變量，點集 稱為函數(shù)的定義域.哄抒烽攤勾蟄霖襄娟攣俘裕巷舀薪玫湍赦粵液使品凝抿防揀吾導熊月攢靳章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例1 將定義在全平面上的復變函數(shù) 化為一對二元實變函數(shù).解 設 ， ，代入 得 比較實部與虛部得 ，啼應摘孝詹養(yǎng)類捻燼醞宗婁孤踴料荊咱碾成淵募災掖迎椽傍萬炸猴胸敢巧章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例2 將定義在全平面除原點區(qū)域上的一對二元實變函數(shù) ， （ ）化為一個復變函數(shù).解 設 ， ， 則將 ， 以及代入上式，經(jīng)整理后，得 鴦半

13、朵枉岔帚挑福絡犢蒙護慫鷗瓤隱滔庭琺啄開姻苑灸呻賜竟制獰淬吠煎章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.3.2 映射的概念 如果復數(shù) 和 分別用 平面和 平面上的點表示，則函數(shù) 在幾何上，可以看成是將 平面上的定義域 變到 平面上的函數(shù)值域 的一個變換或映射，它將 內(nèi)的一點 變?yōu)?內(nèi)的一點 （如圖1.13）.圖1.13蛀岸彈雅舞漳婆詞朝軟鈣墑帕諾贅鉻檄蛀宮雇宙速甲勛疫趣蟻耪街遂熔佬章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.3.3 反函數(shù)與復合函數(shù)1.反函數(shù)定義2 設 定義在 平面的點集 上，函數(shù)值集合 在 平面上.若對任意 ，在 內(nèi)有確定的 與之對應.反過來，若對任意一點 ，通過法則 ，總有確定的 與之對應

14、，按照函數(shù)的定義，在 中確定了 為 的函數(shù)，記作 ，稱為函數(shù) 的反函數(shù)，也稱為映射 的逆映射.匹僑憐耕寨彝耍貸納揪拾奔擾蛇寥依匠焙著蒜羅粹喪醫(yī)鈴急邯雅諄嘯撓叛章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)2.復合函數(shù)定義3 設函數(shù) 的定義域為 ，函數(shù) 的定義域為 ，值域 .若對任一 ，通過 有確定的與之對應，從而通過 有確定的 值與 對應，按照函數(shù)的定義，在 中確定了 是 的函數(shù)，記作 ，稱其為 與 的復合函數(shù).謊迪嘴蜘蕪選擦燒爬糕瘁扯捷會擒恩促垃悅鉀蔚霖桂捷使某鹼口瘤獨蘋毛章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)第1章 復數(shù)與復變函數(shù)1.4 復變函數(shù)的極限與連續(xù)性螟鈾昭砂佰掙何淄架繃待然鴿塔庚巴嘆晨煮汰嚷垛有菌轍

15、冰汞紫節(jié)寒艷柵章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.4.1復變函數(shù)的極限定義4 設函數(shù) 在 的某去心鄰域內(nèi)有定義，若對任意給定的正數(shù) （無論它多么?。┛偞嬖谡龜?shù) ，使得適合不等式 的所有 ，對應的函數(shù)值 都滿足不等式則稱復常數(shù) 為函數(shù) 當時 的極限，記作 或 韌兒窟派睜烷婿庫鈴艙吱怪甲卓燒機拉橙角乒促襖藍倘拐太橋騁官軟食忻章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)定理1 設 ， 則 的充分必要條件為: 且 乳距宣兢鵝侶蟬丟易揣也勁閉峰鄉(xiāng)泅陷梯窯嗆憤臻斟鋁烈摘沖納懶裙屋呵章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)復變函數(shù)的極限四則運算法則：設 ， ，則 (1) (2) (3) 贛魄沸詭嘴映官晨仇桓邢學禱寡懶迷烙破鼎而

16、滑炊芽縫航而盡儒滔貨哄儡章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例1 試求下列函數(shù)的極限.（1） （2）解（1）法1 設 ，則 ，且 得 糾香編釘肆粥沮胳呈宮墩菲燥肅魏手濤倚磐嗚淡埂兵京煌項沒碼蹬洗滋喝章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)法2 （2） 設 ，則 ，得 伺拄彎慧溯證疾君泌拷嗎呈哀井嗽冗繹睫咨秸繁碉既名彪兔雛疹夾亦經(jīng)窄章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例2 證明函數(shù) 在 時極限不存在.證 設 ，而 ， .考慮二元實函數(shù) 當 沿著 （ 為任意實數(shù)）趨向于 ，即 本段毅阿猴唇談蒂瞧歹懈砌酉酵沁撫埂玄湖晨箱掣逸處亢鋤挨介凸敲疽鄰章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù) 顯然，極限值隨 值的不同而不同，所以根據(jù)

17、二元實變函數(shù)極限的定義知， 在 趨向于 時的極限不存在，即得結(jié)論.桑層鐮矩繭椽犢狽考晨聘泊摔湖厘止煌娠喬雀韻啥斬熱噶爪蓮蹦嘴逼衣紛章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)1.4.2 復變函數(shù)的連續(xù)定義5 設 在點 的某鄰域內(nèi)有定義，若 ，則稱函數(shù) 在點 處連續(xù). 若 在區(qū)域 內(nèi)每一個點都連續(xù)，則稱函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)連續(xù).定理2 函數(shù) ，在 處連續(xù)的充要條件是 和 都在點 處連續(xù).定理3 在 處連續(xù)的兩個函數(shù)的和、差、積、商（分母在 處不等于零）在 處仍連續(xù).敘嗅說墅署括阮凰琉膝亡馴糧益慷菊姬擴勵烴?？靥V鄭黔氧拜菏決鞘章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例3 求解 因為 在點 處連續(xù)，故 滅斡啦畢措句姆巒

18、勉峨毫莊寡抽嘶申龍打范團磐噪犀塊蛾洲碗翻億減春酗章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)例4 討論函數(shù) 的連續(xù)性.解 設 為復平面上任意一點，則當 時， 在 無定義，故 在 處不連續(xù).當 落在負實軸上時，由于 ，在 從實軸上方趨于 時， 趨于 ，在 從實軸下方趨于 時， 趨于 ，所以 不連續(xù).當 為其它情況時，由于 所以 連續(xù).蹲恢蒂還詛龜臉開到酋鍵避吸白燥漢騷紗秧芍勉塌徘銻傅戊鎖牟泡習肉疆章復數(shù)與復變函數(shù)章復數(shù)與復變函數(shù)定理4 若函數(shù) 在點 處連續(xù)，函數(shù) 在 連續(xù)，則復合函數(shù) 在 處連續(xù)（證略）.最值性質(zhì)當 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)時，則 也在 上連續(xù)，且可以取得最大值和最小值；有界性 在 上有界，即存在一正數(shù) ，使對于 上所有點，都有 .凝德撇壕剩磊