開題報(bào)告-行列式的計(jì)算方法和應(yīng)用

1、畢業(yè)論文開題報(bào)告信息與計(jì)算科學(xué)行列式的計(jì)算方法和應(yīng)用一、 選題的背景、 意義 (所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)). 選題的背景行列式理論產(chǎn)生于十七世紀(jì)末，到十九世紀(jì)末，它的理論體系已基本形成了。 1693 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨( Leibnie ， 1646 1716)解方程組時(shí)將系數(shù)分離出來用以表示未知量，得到行列式原始概念。當(dāng)時(shí)，萊布尼茲并沒有正式提出行列式這一術(shù)語。1729年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬克勞林 (Maclaurin ， 1698 1746)以行列式為工具解含有2、 3、 4個(gè)末知量的線性方程組。在1748年發(fā)表的馬克勞林遺作中， 給出了比菜布尼茲更明確的行列式概念。17

2、50年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默(Gramer ， 1704 1752)更完整地?cái)⑹隽诵辛惺降恼归_法則并將它用于解線性方程組。即產(chǎn)生了克拉默法則。 1772年。法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙(Vandermonde， 1735 1796)專門對(duì)行列式作了理論上的研究， 建立了行列式展開法則， 用子式和代數(shù)余子式表示一個(gè)行列式。1172年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace。1749槊1827)推廣了范德蒙展開行列式的方法。得到我們熟知的拉普拉斯展開定理。1813一1815年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy， 1789 1857，對(duì)行列式做了系統(tǒng)的代數(shù)處理， 對(duì)行列式中的元素加上雙下標(biāo)排成有序的行和列， 使行列式的記法

3、成為今天的形式。 英國(guó)數(shù)學(xué)家凱菜(Cayley ， 于1841年對(duì)數(shù)字方陣兩邊加上兩條豎線?？挛髯C明了行列式乘法定理。 1841 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比 (jacobi) 發(fā)表的論行列式的形成與性質(zhì)一文，總結(jié)了行列式的發(fā)展。同年，他還發(fā)表了關(guān)于函數(shù)行列式的研究文章，給出函數(shù)行列式求導(dǎo)公式及乘積定理。至19世紀(jì)末，有關(guān)行列的研究成果仍在式不斷公開發(fā)表，但行列式的基本理論體系已經(jīng)形成。行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發(fā)展起來的。 行列式的應(yīng)用早已超出了代數(shù)的范圍，成為解析幾何、數(shù)學(xué)分析、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)分支的基本工具，因此對(duì)許多人來說，掌握行列式的計(jì)算是重要的。.選題的意義行列式是線性

4、代數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容， 是討論線性方程組的一個(gè)有力工具， 在很多數(shù)學(xué)分支中都有著廣泛的應(yīng)用， 行列式的計(jì)算靈活多變， 具有一定的規(guī)律和技巧， 選擇合適的方法 計(jì)算行列式就變得至關(guān)重要。 二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題我們知道，行列式的計(jì)算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧。當(dāng)然，任何一個(gè)n階行列式都可以由它的定義去計(jì)算其值。但由定義可知，n階行列式的展開式有 n!項(xiàng)，計(jì)算量很大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。值的注意的是：在應(yīng)用定義法求非零元素乘積項(xiàng)時(shí)，不一定從第1行開始，哪行非零元素最少就從哪行開始。對(duì)行列式進(jìn)行計(jì)算不是唯一目的，我們還需要利用行列式去解決一些實(shí)際問

5、題，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。在了解行列式的概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，討論行列式的求解方法，其中包括化三角法，利用范德蒙行列式求解以及利用拉普拉斯定理的解法。通過對(duì)行列式的求解方法的研究，探討行列式在求解線性方程組中的應(yīng)用。.行列式的相關(guān)概念及性質(zhì)n級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積& j1a2 j2anjn的代數(shù)和,這里 用2./是a11a12.ana21a22.a2nan1an2ann，n的一個(gè)排列，每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)j1j2.jn是偶排列時(shí)，帶有正號(hào)；當(dāng)j1 j2.jn是奇排列時(shí)，帶有負(fù)號(hào)。這一定義可以寫成a11a12.aina21a22.a2nr jj.上1a1j1a2j2

6、.anjnj1 j2.jnan1 an2 .ann這里表示對(duì)所有n級(jí)排列的求和。j1 j2. jn行歹u式的性質(zhì)178性質(zhì)1.行列互換，行列式的值不變，即a12.ana21a22.a2naman2.ann性質(zhì)2.行列式中某一行（列）元素有公因子a11a21.an1a12a22.an2Wna2n.annk ,則k可以提到行列式記號(hào)之外，即alla12ainaiiai2ainkaiikai2kainkailai2ainanian2annanian2ann這就是說，一行的公因子可以提出去,或者說以一數(shù)乘以行列式的一行就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘以此行列式。事實(shí)上,aiia12ainkaiikai2kainan

7、ian2annkaiiAiikai 2Ai2 .kaii Aiai2A2.aiiai2ainkaiiai2ainanian2annain Ain令k 0,如果行列式中任一行為零，那么行列式值為零。性質(zhì)3.如果行列式中某列（或行）中各元素均為兩項(xiàng)之和，即aijbjcij1,2,.,n ,則這個(gè)行列式等于另兩個(gè)行列式之和。aiibijGjaiiaii如aiiaiiGjaiia2ib2jc2ja2na2ib2ja2na2ic2ja2nanibnjcnjannanibnjannaniCnjann即這就是說，如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來行

8、列式的對(duì)應(yīng)的行一樣。性質(zhì)4.如果行列式中有兩行（列）相同，則行列式等于零。所謂的兩行相同就是說兩行的對(duì)應(yīng)元素都相等。性質(zhì)5.如果行列式中兩行（列）成比例，則行列式等于零。性質(zhì)6.如果行列式中的某一行（列）的各元素同乘數(shù)k后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，則行列式不變。性質(zhì)7.對(duì)換行列式中兩行（列）的位置，行列式反號(hào)。.化三角法計(jì)算行列式的例子4李尚志指出化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式

9、的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式,在一般情況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某 種保值變形，再將其化為三角形行列式。我們總結(jié)出將行列式化為三角形時(shí)常用的三種基本方法： （1）將各行（列）加到某一行（歹U）;（2）將每行（列）減去某一行（歹U）;逐行（歹U）相加或相減.浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計(jì)算如下行列式的值,123234Dn345n12n 1nn1 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 1

10、2n 2 n 1分析：顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁,所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始，每一列與它一列中有n 1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n 1列開始乘以一1加到第n歹U,第n 2列乘以一1加到第n 1歹U, 一直到第一列乘以一1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。.降階法計(jì)算行列式的例子 李書超2,裴禮文5在書中介紹了降階法的計(jì)算方法。設(shè)Dn aj為n階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有Dnai1Ai1ai2Ai2ainAin i 1,2,.,n或 Dna1jA1ja2jA2j. anj Anj J 1

11、,2,., n其中Aj為Dn中的元素aij的代數(shù)余子式。 X1X2X3Xn 按行（列）展開法可以將一個(gè)n階行列式化為n個(gè)n 1階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將 n階行列式降階直至化為許多個(gè) 2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時(shí)，應(yīng)利 用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。對(duì)于類似20階的行列式181920171819D20161718201918由分析可知：這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素,若直接應(yīng)用按行（列

12、）展開法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行 （20!） 20 1次加減法和乘法運(yùn)算，這是人根本無法完則很快就可算出結(jié)果。成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素,注意到此行列式的相鄰兩列D201111112318 19 202111111217 18 19G 1Ci3111112116 17 18i 1,.,19191111119 183212011111（行）12320111111的對(duì)應(yīng)元素僅差1,因此，可按下述方法計(jì)算,i 2,.,202121821218rir120 21.范德蒙行列式計(jì)算行列式的例子范德蒙行列式X12X1X22X2X32X3Xn2XnXi

13、Xjnnn 1n 1根據(jù)行列式的特點(diǎn)，適當(dāng)變形（利用行列式的性質(zhì)）把所求行列式化成已知的或簡(jiǎn)單的形式。其中范德蒙行列式就是一種。這種變形法是計(jì)算行列式最常用的方法。李尚志4也在 書中用以下例子說明了計(jì)算范德蒙行列式的方法。對(duì)于下面這個(gè)n階行列式n 1an 2aDn顯然與范德蒙行列式很相似,但還是有所不同,所以先利用行列式的性質(zhì)，把它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n 1行，n 2行，.,2行，1行對(duì)換對(duì)換，再將得到的新的行列式的第 n行與第n 1行，n 2行，.,2 行對(duì)換,繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n 1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過次對(duì)換后，得到n n 1Dn 122n2 2n1

14、na 1na 1上式右端的行列式已是范德蒙行列式,故利用范德蒙行列式的結(jié)果得En ABEm BA ，n n 1所以，Dn 1a n i1 j i n.拉普拉斯定理計(jì)算行列式的例子拉普拉斯展開定理：在n階行列式D中任取k行（列）（11）,則由這k行（列）組成的所有k階子式分別與其它代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式梁保松1,李書超，馬杰3等人在書中指出了拉普拉斯的4種特殊情形AnnC 7nmBmmAnnBmmAnn0C7nmBmmAnn| | BmmBmmAnnC7mnmn1C nmAnnBmm0mn對(duì)于下面形式的n階行列式Dn由分析可知：根據(jù)行列式的性質(zhì)可以把它化為拉普拉斯的先將行列式化為再由拉普

15、拉斯定理可以得到ab/ mn 八 I -1AnnBmm4種特殊形式中的一種再進(jìn)行計(jì)算。的形式,.行列式求解線性方程組的例子10一 12謝邦杰 ，李排昌 等人都曾在書中提出，線性方程的解與系數(shù)和常數(shù)有關(guān)。這本來就是一個(gè)純代數(shù)問題，如果把這個(gè)純代數(shù)問題與幾何結(jié)合起來，在求解線性方程的過程中從 整體上考慮系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系，就產(chǎn)生了求解線性方程組的行列式理論和矩陣?yán)碚摗Ｒ阎獦?biāo)準(zhǔn)形式的n元線性方程組a11x1a12x2a21x1a22X2 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document .amXn打.a2nXnb1(1)aMX1an2X2.annXnb1Dnanb%

16、a21a22a2n,D1b2a22a2naman2annbnan2anna12. . )a2ia22bb2(2)anian2bn0時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：線性方程組(1)式的唯一解求解公式為DiXi 一， X2DD2 ) . )DXnDnoD8.論文要解決的主要問題本論文總結(jié)前人的研究理論的基礎(chǔ)上，擬解決以下問題:(1)通過計(jì)算行列式辨別有關(guān)行列式的一些概念和性質(zhì);(2)利用化三角法求解行列式的計(jì)算問題;(3)利用范德蒙行列式求解行列式的計(jì)算問題;(4)利用拉普拉斯定理求解行列式的計(jì)算問題;(5)利用行列式的計(jì)算方法求解線性方程組。三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo).研究方法

17、及技術(shù)路線本論文主要以查找資料，以現(xiàn)有的知識(shí)水平，在前人的研究論述基礎(chǔ)上，應(yīng)用行列式計(jì)算的相關(guān)理論。采取了從大量閱讀已有的數(shù)據(jù)資料一然后對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)一最后運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)來通過行列式的各種計(jì)算方法及應(yīng)用來尋求解題的思路和對(duì)相關(guān)問題的求解。.研究難點(diǎn)(1)從大量的閱讀材料中整理與論文相關(guān)的資料是一個(gè)難點(diǎn)。(2)整理行列式的各種計(jì)算方法是一個(gè)難點(diǎn)。(3)靈活應(yīng)用行列式的各種計(jì)算方法解題時(shí)一個(gè)難點(diǎn)。(4)不要簡(jiǎn)單地重復(fù)已有的方法和結(jié)果，要有自己獨(dú)立的分析結(jié)果是一個(gè)難點(diǎn)。.預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)通過這次論文的撰寫，能更深的理解 線性代數(shù)等相關(guān)課程的知識(shí)，通過對(duì)行列式的計(jì)算和應(yīng)用的研究使我重新審視了行列式的

18、理論，對(duì)行列式的相關(guān)知識(shí)有了更深刻的理解對(duì)計(jì)算行列式的基本方法和基本技能有較好的理解和掌握。 同時(shí)在本文的撰寫過程中掌握參考文獻(xiàn)資料查找方法和論文寫作的基本要求和方法， 培養(yǎng)自己利用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力，學(xué)會(huì)從不同角度看待問題，從而達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排第一階段：第 7 學(xué)期 9 周至第 7 學(xué)期 17 周完成畢業(yè)論文文獻(xiàn)檢索、開題報(bào)告、文獻(xiàn)綜述及外文文獻(xiàn)翻譯初稿。第二階段：第 7 學(xué)期 17 周至第 7 學(xué)期 21 周完成畢業(yè)論文開題報(bào)告、文獻(xiàn)綜述及外文文獻(xiàn)翻譯，交指導(dǎo)老師。第三階段：第7 學(xué)期21 周至第 8 學(xué)期3 周完成畢業(yè)論文的數(shù)據(jù)收集、論文初稿；

19、第四階段：第8 學(xué)期3 周至第8學(xué)期12 周第 3 周至第 11 周：進(jìn)入實(shí)習(xí)單位進(jìn)行畢業(yè)實(shí)習(xí)，同時(shí)撰寫畢業(yè)論文。第11 周前：返校遞交實(shí)習(xí)報(bào)告，繼續(xù)完善畢業(yè)論文。第11 周至第12周：將畢業(yè)論文交給導(dǎo)師審閱，導(dǎo)師對(duì)畢業(yè)論文進(jìn)行評(píng)閱。第14 周至第16周：對(duì)論文進(jìn)一步修改，定稿和打印，做好答辯準(zhǔn)備工作。五、主要參考文獻(xiàn)：梁保松，蘇本堂線性代數(shù)及其應(yīng)用北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社， 2004.李書超等一類矩陣秩的恒等式及其推廣武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 2004， 3（ 1 ） ： 96-98.馬杰 , 鄒本騰 , 漆毅 , 等 . 線性代數(shù)輔導(dǎo). 北京 : 機(jī)械工業(yè)出版社 ,2003:321.李尚志 . 線性代數(shù) M. 北京 : 高等教育出版社 ,2006:504.裴禮文 . 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（第二版）北京: 高等教育出版社