維納濾波和卡爾曼濾波課件

1、維納濾波和卡爾曼濾波 5 卡爾曼(Kalman)濾波 1 引言2 維納濾波器的離散形式時域解3 離散維納濾波器的z域解4 維納預(yù)測1 引 言 觀測到的信號都是受到噪聲干擾的。如何最大限度地抑制噪聲，將有用信號提取出來，是信號處理基本的問題。信號處理的目的就是要得到不受干擾影響的真正信號。相應(yīng)的處理系統(tǒng)稱為濾波器。這里，只考慮加性噪聲的影響，即觀測數(shù)據(jù)x(n)是信號s(n)與噪聲v(n)之和信號處理的目的是得到s(n)，也稱為期望信號，濾波系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，系統(tǒng)的期望輸出為yd(n)，yd(n)應(yīng)等于s(n)；系統(tǒng)的實際輸出為y(n)，y(n)是s(n)的逼近或估計，yd(n)=s(

2、n)，y(n) = 。采用不同的最佳準則，估計得到的結(jié)果可能不同對信號x(n)處理，可以看成是對期望信號的估計，可以將h(n)看作是估計器，信號處理的目的是要得到信號的一個最佳估計。得到結(jié)果是封閉公式。采用譜分解的方法求解，簡單易行，具有一定的工程實用價值，并且物理概念清楚維納濾波器的求解，要求知道隨機信號的統(tǒng)計分布規(guī)律（自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度）維納濾波的最大缺點是僅適用于平穩(wěn)隨機信號以估計結(jié)果與信號真值之間的誤差的均方值最小作為最佳準則。最小均方誤差準則(MMSE,Mininum Mean Square Error)2 維納濾波器的離散形式時域解 根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，并考慮到系統(tǒng)的因果性

3、，可以得到濾波器的輸出y(n):n = 0, 1, 2, 設(shè)期望信號為d(n)，誤差信號及其均方值分別為: 2.1 維納濾波器時域求解的方法要使均方誤差為最小，須滿足 誤差的均方值是標量，因此上式是一個標量對復(fù)函數(shù)的求導(dǎo)問題， 它等價于 記 j=0, 1, 2, 則上式可以寫為 展開得 j = 0, 1, 2, 說明：均方誤差達到最小值的充要條件是誤差信號與任一進入估計的輸入信號正交，這就是正交性原理。它的重要意義在于提供了一個數(shù)學(xué)方法，用以判斷線性濾波系統(tǒng)是否工作于最佳狀態(tài)。 因此 輸出信號y(n)與誤差信號e(n)的互相關(guān)函數(shù) 濾波器工作于最佳狀態(tài)時的輸出為yopt(n)此時，輸出yopt

4、(n)與期望信號d(n)的誤差為eopt(n)期望信號、估計值與誤差信號的幾何關(guān)系 當濾波器處于最佳工作狀態(tài)時，估計值加上估計偏差等于期望信號對于隨機信號，上圖中各矢量的幾何表示為相應(yīng)量的統(tǒng)計平均或者是數(shù)學(xué)期望。假定輸入信號x(n)和期望信號d(n)都是零均值, 應(yīng)用正交性原理因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時，估計值y(n)的能量總是小于等于期望信號d(n)的能量。 ryx(-k) = r*xy(k)k = 0, 1, 2, 2.2 維納霍夫方程上式稱為維納-霍夫（WienerHopf）方程。k=0, 1, 2, 當k=0時當h(n)是一個長度為M的因果序列(即系統(tǒng)是一個長度為M的FIR濾波器)時，

5、 維納-霍夫方程表述為 當k=1時當k=M-1時可以寫成矩陣的形式已知期望信號與觀測數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)和觀測數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時，可以通過矩陣求逆運算，得到維納濾波器的最佳解。同時可以看到，直接從時域求解因果的維納濾波器，當選擇的濾波器的長度M較大時，計算工作量很大，并且需要計算Rxx的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實現(xiàn)時，濾波器的長度是由實驗來確定的，如果想通過增加長度提高逼近的精度，就需要在新M基礎(chǔ)上重新進行計算。因此，從時域求解維納濾波器，并不是一個有效的方法。 假定所研究的信號都是零均值的，維納濾波器為M長的FIR型，估計的均方誤差為： 2.3 估計誤差的均方值均方誤差與濾波

6、器的單位脈沖響應(yīng)是一個二次函數(shù)關(guān)系。由于單位脈沖響應(yīng)h(n)為M維向量，因此均方誤差是一個M維超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點存在。當濾波器工作于最佳狀態(tài)時，均方誤差取得最小值。例:設(shè)y(n)=x(n)+v2(n), v2(n)是白噪聲, 方差22=0.1.期望信號x1(n)的信號模型如圖(a)所示，其中白噪聲v1(n)的方差21=0.27, b0=0.8458。x(n)的信號模型如圖(b)所示，b1=0.9458。假定v2(n)與x(n)、x1(n)不相關(guān)，并都是實信號。設(shè)計一個維納濾波器，得到該信號的最佳估計，要求濾波器是一長度為2的FIR濾波器。 解觀測數(shù)據(jù)為y(n)，期望信號為x1(n

7、)m = 0, 1 計算輸出信號與期望信號的互相關(guān)函數(shù)矩陣該維納濾波達到最佳狀態(tài)時的均方誤差3 離散維納濾波器的z域解 在時域設(shè)計維納濾波器就是求解維納-霍夫方程 1)求解該方程時需要計算自相關(guān)函數(shù)矩陣Rxx的逆矩陣，使得運算量很大。 2)濾波器的長度事先不能確定，當改變長度時，所有數(shù)據(jù)就需要重新進行計算。效率很低。 因此，維納濾波器的設(shè)計和求解，一般是在頻域和復(fù)頻域進行。若不考慮濾波器的因果性設(shè)d(n)=s(n)，對上式兩邊做z變換，得-k假設(shè)期望信號和噪聲不相關(guān)，即rsv(m)=0，則 上式表示，當噪聲為0時，信號全部通過；當信號為0時，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。P

8、ss(ej)0, Pvv(ej)=0 Pss(ej)0, Pvv(ej) 0 Pss(ej)=0, Pvv(ej) 0 圖 非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性 然而實際的系統(tǒng)都是因果的。對于一個因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求解的原因是由于輸入信號與期望信號的互相關(guān)序列是一個因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的求解問題轉(zhuǎn)化為非因果問題，求解方法將大大簡化。j = 0, 1, 2, k = 0, 1, 2, 假設(shè)觀測數(shù)據(jù)x(n)的信號模型B(z)已知，求出信號模型的逆系統(tǒng)B-1(z)，將x(n)作為輸入，那么逆系統(tǒng)的輸出(n)為白噪聲?；仡櫱懊嬷v的時間序列信號模型 把信號轉(zhuǎn)化為白噪聲的過程稱為白化

9、，對應(yīng)的濾波器稱為白化濾波器.x(n)的白化濾波器 x(n)的時間序列信號模型 用白噪聲作為維納濾波器G(z)的輸入，假設(shè)1/B(z)為信號x(n)的白化濾波器的傳輸函數(shù)，那么關(guān)于x(n)的維納濾波器的傳輸函數(shù)H(z)表示為 因此，維納濾波器H(z)的求解轉(zhuǎn)化為G(z)的求解圖 維納濾波解題思路 3.1 非因果維納濾波器的求解 假設(shè)待求維納濾波器的輸入為(n)，期望信號d(n)=s(n)，系統(tǒng)的輸出信號 ，g(n)是G(z)的逆z變換 均方誤差為： 均方誤差的第一項和第三項都是與g(k)無關(guān)的常數(shù), 要使均方誤差為最小，當且僅當 -k 因此g(k)的最佳值為 對上式兩邊同時做z變換，得 -k

10、因此，非因果維納濾波器的最佳解為 根據(jù)相關(guān)卷積定理, 得對上式兩邊做z變換，得到 非因果的維納濾波器的復(fù)頻域最佳解的一般表達式 假定信號與噪聲不相關(guān)，即Es(n)v(n)=0得到信號和噪聲不相關(guān)時，非因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解和頻率響應(yīng)分別為 下面推出在復(fù)頻域(z域)計算維納濾波器最小均方誤差E|e(n)|2min的計算方法 維納濾波器的最小均方誤差不僅與輸入信號的功率譜，而且與信號和噪聲的功率譜乘積有關(guān)，也就是說，最小均方誤差與信號和噪聲功率譜的重疊部分的大小有關(guān)維納濾波器是一個因果濾波器時，有g(shù)(n)=0 n0 則濾波器的輸出為 類似于非因果時的推導(dǎo)，可得3.2 因果維納濾波器的求解均方

11、誤差為：要使均方誤差取得最小值，當且僅當 雙邊序列 取其因果部分 求解因果序列問題轉(zhuǎn)化為求解非因果序列的問題所以因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為 對于非因果情況對于因果情況 非因果情況的E|e(n)|2min一定小于等于因果情況E|e(n)|2min (2)求的z反變換，取其因果部分再做z變換，即舍掉單位圓外的極點，得因果維納濾波器設(shè)計的步驟為： (1)根據(jù)觀測信號x(n)的功率譜求出所對應(yīng)的信號模型的傳輸函數(shù)，即采用譜分解方法得到B(z)。方法為Sxx(z)=2B(z)B(z-1)，單位圓內(nèi)的零極點分配給B(z)，單位圓外的零極點分配給B(z-1)，系數(shù)分配2(3) 例 已知 信號和噪聲不相關(guān)

12、,rsv(m)=0，噪聲v(n)是零均值、單位功率的白噪聲(2v=1,mv=0)，求Hopt(z)和E|e(n)|2min解根據(jù)白噪聲的特點得出Svv(z)=1, 由噪聲和信號不相關(guān)， 得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)(1) 首先分析物理可實現(xiàn)情況觀測數(shù)據(jù)的均方誤差為(2) 對于非物理可實現(xiàn)情況,有 可以看出非物理可實現(xiàn)情況的最小均方誤差小于物理可實現(xiàn)情況的均方誤差。 4 維 納 預(yù) 測 Sxx(z)是觀測數(shù)據(jù)的功率譜;Sxyd(z)是觀測數(shù)據(jù)與期望信號的互功率譜，即互相關(guān)函數(shù)rxyd(k)的傅里葉變換 4.1 維納預(yù)測的計算在維納濾波中，期望的輸出信號yd(n)=s(n)，實際的

13、輸出為 。在維納預(yù)測中，期望的輸出信號yd(n)=s(n+N)，實際的輸出 。前面已經(jīng)推導(dǎo)得到維納濾波的最佳解為 對應(yīng)于維納預(yù)測器，其輸出信號y(n)和預(yù)測誤差信號e(n+N)分別為 要使預(yù)測誤差的均方值為最小，須滿足 其中，hk表示h(k) 觀測數(shù)據(jù)與期望的輸出的互相關(guān)函數(shù)rxyd(k)和互功率譜密度Sxyd(z)分別為 非因果維納預(yù)測器的最佳解為 因果維納預(yù)測器的最佳解為 維納預(yù)測的最小均方誤差為 從上面分析可以看出，維納預(yù)測的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。 假設(shè)x(n)=s(n)+v(n)，式中v(n)是噪聲，當v(n)=0，期望信號為s(n+N), N0，此種情況稱為純預(yù)測。4.

14、2 純預(yù)測 假定維納預(yù)測器是因果的，純預(yù)測情況下的輸入信號的功率譜及維納預(yù)測器的最佳解分別為 純預(yù)測器的最小均方誤差為 應(yīng)用復(fù)卷積定理 b(n)是因果系統(tǒng)當預(yù)測的距離越遠，預(yù)測的效果越差，偏差越大，因而 越大。 解例：已知 其中-1a1， 求: (1) 最小均方誤差下的 (2) E|e(n+N)|2min 對Sxx(z)進行功率譜分解取因果純預(yù)測維納濾波器 由Hopt(z)=aN，此時可以把純預(yù)測的維納濾波器看作是一個線性比例放大器?？梢詫懗鰔(n)所對應(yīng)的輸入輸出差分方程 根據(jù)x(n)的時間序列信號模型已知x(n-1), x(n-2),x(n-p),預(yù)測x(n)，假設(shè)噪聲v(n)=0，稱為一

15、步線性預(yù)測。設(shè)定系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則輸出信號y(n)為 令apk= -h(k)，則 預(yù)測誤差 4.3 一步線性預(yù)測的時域解其中,ap0=1要使均方誤差為最小值，要求 與維納濾波的推導(dǎo)過程類似, 可以得到正交性原理 均方預(yù)測誤差 將誤差公式代入上式 由于預(yù)測器的輸出 是輸入信號的線性組合，得 說明誤差信號與輸入信號滿足正交性原理，預(yù)測誤差與預(yù)測的信號值同樣滿足正交性原理。預(yù)測誤差的最小均方值 將方程組寫成矩陣形式 這就是有名的Yule-Walker方程Yule-Walker方程具有以下特點： (1) 除了第一個方程外，其余都是齊次方程; (2) 與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測數(shù)

16、據(jù)x(n)與期望信號s(n)的互相關(guān)函數(shù)。 該方程組有p+1個方程，對應(yīng)地，可以確定apk,k=1, 2, , p和Ee2(n)min，共計p+1個未知數(shù)，因此可用來求解AR模型參數(shù)。這就是后面要介紹的AR模型法進行功率譜估計的原理，它再一次揭示了時間序列信號模型、功率譜和自相關(guān)函數(shù)描述一個隨機信號的等價性。 對Sxx(z)做z反變換，得到x(n)的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)rxx(m)=0.8|m| 采用試驗的方法確定模型階數(shù)p。先取p=2，代入Yule-Walker方程 例：已知 x(n)為AR模型，求AR模型參數(shù) 求解AR模型參數(shù)包括確定AR模型的階數(shù)p及系數(shù)ap1,ap2, ,app解計算

17、得 a1= -0.8， a2= 0, 2=0.36 取p=3，可計算出a1= -0.8, a2=a3=0, 2=0.36，說明AR模型的階數(shù)是一階的。采用譜分解的方法，即對Sxx(z)進行譜分解，得到的模型也是一階的，其時間序列模型和差分方程為 設(shè)計維納濾波器要求已知信號和噪聲的統(tǒng)計特性。維納濾波器最大缺點是僅適用于一維平穩(wěn)隨機信號為了解決非平穩(wěn)、多輸入多輸出隨機序列的估計問題，卡爾曼提出了遞推最優(yōu)估計理論。卡爾曼遞推法根據(jù)前一個狀態(tài)的估計值和最近的觀測數(shù)據(jù)，遞推估計當前的狀態(tài)值。適合于計算機處理，可以處理多維、非平穩(wěn)隨機信號，已廣泛的應(yīng)用于很多領(lǐng)域。2.5 卡爾曼(Kalman)濾波 估計一

18、個包含測量噪聲的未知數(shù)據(jù)的均值：假設(shè)順序測得的數(shù)據(jù)為：4) 依次類推，可得均值為：1) 測得第一個數(shù)據(jù) ，存入 ，計算均值為2) 測得第二個數(shù)據(jù) ，存入 的同時，計算均值3) 測得第三個數(shù)據(jù) ，存入 的同時，計算均值隨著測量數(shù)據(jù)的增加，需要存貯的數(shù)據(jù)越來越多，計算量也越來越大。1) 測得第一個數(shù)據(jù) ，計算均值為： 存入均值 ，拋棄 ；2) 測得第二個數(shù)據(jù) ，計算均值為： 存入 ，拋棄 和 ；4) 依次類推，可得均值為：3) 測得第三個數(shù)據(jù) ，計算均值為： 存入 ，拋棄 和 ；遞推法計算過程：n時刻的估計值 可以由(n-1)時刻的估計值 和當前的觀測值 加權(quán)確定： 顯然遞推法可以獲得同非遞推法相

19、同的精度，但遞推法不需要將過去的測量值都保存起來，只是將前一次的估值存起來，在獲得新數(shù)據(jù)后，在估計中加以考慮計算就行了。(1)算法是遞推的，且狀態(tài)空間法采用在時域內(nèi)設(shè)計濾波器的方法，因而適用于多維隨機過程的估計，適用于計算機處理?？柭鼮V波是用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)，由狀態(tài)方程和量測方程組成。用前一個狀態(tài)的估計值和最近一個觀測數(shù)據(jù)來估計狀態(tài)變量的當前值，并以狀態(tài)變量的估計值的形式給出結(jié)果?？柭鼮V波具有以下特點：(2)用遞推法計算不需要知道全部過去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動態(tài)變化規(guī)律，因此信號可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的。(3)卡爾曼濾波采取的誤差準則仍為最小均方誤差準則 假設(shè)某系統(tǒng)k時刻

20、的狀態(tài)變量為xk，狀態(tài)方程和量測方程（也稱為輸出方程）表示為 其中，k表示時間，這里指第k步迭代時，相應(yīng)信號的取值；輸入信號k是白噪聲，輸出信號的觀測噪聲vk也是白噪聲, 輸入信號到狀態(tài)變量的支路增益等于1，即B=1；A表示狀態(tài)變量之間的增益矩陣，可以隨時間發(fā)生變化，用Ak表示第k步迭代時，增益矩陣的取值2.5.1 卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測方程C表示狀態(tài)變量與輸出信號之間的增益矩陣，可以隨時間變化，第k步迭代時，取值用Ck表示，其信號模型如下圖所示?？柭鼮V波器的信號模型 為了后面的推導(dǎo)簡單，假設(shè)狀態(tài)變量的增益矩陣Ak不隨時間發(fā)生變化，k,vk都是均值為零的正態(tài)白噪聲，方差分別是Qk和Rk，

21、并且狀態(tài)變量的初始狀態(tài)與k,vk都不相關(guān)，r表示相關(guān)系數(shù)。即 卡爾曼濾波是采用遞推的算法實現(xiàn)的，其基本思想是先不考慮輸入信號k和觀測噪聲vk的影響，得到狀態(tài)變量和輸出信號(觀測數(shù)據(jù))的估計值，再用輸出信號的估計誤差加權(quán)后校正狀態(tài)變量的估計值，使狀態(tài)變量估計誤差的均方值最小。因此,卡爾曼濾波的關(guān)鍵是計算出加權(quán)矩陣的最佳值。2.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法 當不考慮觀測噪聲和輸入信號時，狀態(tài)方程和量測方程為 顯然，由于不考慮觀測噪聲的影響，輸出信號的估計值與實際值是有誤差的，誤差用 表示 為了提高狀態(tài)估計的質(zhì)量，用輸出信號的估計誤差 來校正狀態(tài)變量 Hk為增益矩陣，實質(zhì)是一加權(quán)矩陣。經(jīng)過校正后的狀

22、態(tài)變量的估計誤差及其均方值分別用 和Pk表示，把未經(jīng)校正的狀態(tài)變量的估計誤差的均方值用 表示 卡爾曼濾波要求狀態(tài)變量的估計誤差的均方值Pk為最小，因此卡爾曼濾波的關(guān)鍵就是要得到Pk與Hk的關(guān)系式，即通過選擇合適的Hk,使Pk取得最小值?？柭f推公式 初始條件Ak，Ck，Qk，Rk，yk， ，Pk-1已知，其中 , P0 = varx0, 遞推流程見下圖卡爾曼濾波遞推流程 例：已知 信號與噪聲不相關(guān)，yk=xk+vk,求卡爾曼信號模型中的Ak和Ck。根據(jù)Sxx(z) =2B(z)B(z-1)，得解：由yk=xk+vk 得：Ck=1對Sxx(z)進行譜分解，確定x(n)信號模型B(z)，確定Ak

23、 上式與卡爾曼狀態(tài)方程相比，不同之處在于輸入信號(n)的時間不同，因此將Sxx(z)改寫為 Ak = 0.8 卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小的準則來實現(xiàn)信號濾波的; 但維納濾波是在信號進入了穩(wěn)態(tài)后的分析; 卡爾曼濾波是從初始狀態(tài)采用遞推的方法進行濾波。對于平穩(wěn)隨機信號，當過渡過程結(jié)束以后，卡爾曼濾波與維納濾波的結(jié)果間存在什么關(guān)系? 下面舉一例說明。 例:已知在k=0時開始觀察yk, yk=xk+vk，用卡爾曼過濾的計算公式求xk，并與維納過濾的方法進行比較。解將參數(shù)矩陣Ak,Ck,Qk,Rk代入卡爾曼遞推公式，得 Kalman濾波迭代結(jié)果 求出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解達到穩(wěn)態(tài)后的卡爾曼濾波

24、的狀態(tài)方程: 用維納濾波的方法分析yk為觀測數(shù)據(jù)，xk為期望信號非因果維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：因果維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：可看出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解與維納解是相等的 通過上面的例題，可以看出維納濾波是已知前p個觀測數(shù)據(jù)及信號與噪聲的相關(guān)函數(shù)，通過建立模型的方法分析的?？柭鼮V波要求已知前一個時刻的狀態(tài)估計值 和當前時刻的觀測值yk，由狀態(tài)方程和量測方程遞推得到結(jié)果。維納濾波的解以H(z)的形式給出，卡爾曼濾波的解是以狀態(tài)變量的估計值給出。它們都采用均方誤差最小的準則, 但卡爾曼濾波有一個過渡過程，在過渡期間其結(jié)果與維納濾波不完全相同，但過渡結(jié)束達到穩(wěn)態(tài)后，二者結(jié)果相同。 下面舉一個雷達跟蹤目標物

25、的具體例子說明卡爾曼濾波的應(yīng)用。 雷達跟蹤目標的基本原理是通過發(fā)射脈沖，根據(jù)接收到的脈沖與發(fā)射脈沖的時間間隔，來確定目標物的距離和速度。由于干擾的影響，接收到的脈沖波形變化很大，那么一次的測量結(jié)果可能存在很大的誤差。為了減小誤差，往往采取發(fā)射一串脈沖的方法進行測量。 2.5.3 應(yīng)用舉例 空間目標(飛行器)的位置需要由徑向距離和方位角來確定。發(fā)射的脈沖時間間隔為T，在時間k，徑向距離為R+(k)，在時間k+1，距離為R+(k+1)，兩者之間有T秒的延時，因此T表示空間一次掃描的時間間隔。平均距離用R表示，(k)和(k+1)表示對平均值的偏差。假定偏差是統(tǒng)計隨機的，均值為零, 那么可以寫出距離方

26、程 表示速度，u表示加速度，則可得到加速度方程 假定加速度u(k)是零均值的平穩(wěn)白噪聲，即滿足 定義x(k)表示第k個雷達回波脈沖獲得的目標距離，z(k)表示在第k個雷達脈沖進行數(shù)據(jù)處理之后的目標距離估計， 表示在第k個雷達脈沖進行數(shù)據(jù)處理之后的目標速度估計。設(shè)定狀態(tài)變量為x(k)，選擇的狀態(tài)變量有4個，分別表示徑向距離、徑向速度、方位角和方位角速度： 根據(jù)狀態(tài)變量的物理含義，得到以下方程： u1(k)和u2(k)表示在區(qū)間T內(nèi)徑向速度和方位角速度的變化。將上式寫成矩陣形式 由此得到卡爾曼濾波的信號模型的狀態(tài)方程 量測方程：距離和方位角的估計值為 v1(k), v2(k)為觀測噪聲，寫成向量形式和矩陣形式為量測方程的噪聲協(xié)方差陣為觀測噪聲假定為高斯噪聲，均值為0，方差為 和其中， ,為徑向加速度在T時刻的方差； ,為角加速度在T時刻的方差。狀態(tài)方程激勵信號的協(xié)方差陣為假定在各個方向，加速度服從均勻分布，并將u的值限制在M之間,則其概率密度函數(shù)為 ，因此，