22.3實(shí)際問題與二次函數(shù)2最大利潤

1、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)對稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最大利潤與二次函數(shù)當(dāng) 時，二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠分析和表示實(shí)際問題中，變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出實(shí)際問題的最大（?。┲祵W(xué)習(xí)重點(diǎn)：探究利用二次函數(shù)的最大值（或最小值）解決實(shí)際問題的方法某商品現(xiàn)在的售價為每件 60 元，每星期可賣出300件市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價 1 元，每星期要少賣出 10 件已知商品的進(jìn)價為每件 40 元，如何定價才能使利潤最大？問題探究（1） 當(dāng)每件漲 1 元時，售價是多少？每星期銷量是多少？成本是多少？銷售額是多少？利潤呢？（2） 當(dāng)每

2、件漲 x 元時，售價是多少？每星期銷量是多少？成本是多少？銷售額是多少？利潤 y 呢？（3） 最多能漲多少錢呢？ （4）當(dāng)定價為x元，漲價多少元？每件的利潤是多少？每星期銷量是多少？利潤 y 呢？某商品現(xiàn)在的售價為每件 60 元，每星期可賣出300件市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價 1 元，每星期要少賣出 10 件已知商品的進(jìn)價為每件 40 元，如何定價才能使利潤最大？問題探究思考： 題目主要涉及哪些變量？哪個量是函數(shù)？哪一個量是自變量？利潤求法每件利潤=售價-進(jìn)價.總利潤=每件利潤銷售數(shù)量.定價；漲價；銷售數(shù)量；利潤（每件利潤、總利潤）總利潤=銷售額成本問題探究解法1：設(shè)每件漲價x元，每星期

3、售出商品的利潤為y元，則y =(60+x)(30010 x)40(30010 x） 【或y=(60+x40)(30010 x）】即y=10 x2+100 x ，其中0 x30.100，當(dāng)x= =5時，即定價為65元時，y最大值=250+500 =6250（元）。 可以看出，這個函數(shù)的圖像是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)圖像的最高點(diǎn)，也就是說當(dāng)x取頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)時，這個函數(shù)有最大值。由公式可以求出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).問題探究解法2：設(shè)每件定價x元，每星期售出商品的利潤為y元，則y=(x40)30010(x60)=(x40)(90010 x)=10 x2 x3600，其中60 x90. 1

4、00，當(dāng)x= =65時，y最大值=6250（元）。 某商品現(xiàn)在的售價為每件 60 元，每星期可賣出300件市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每降價 1 元，每星期可多賣出 20 件已知商品的進(jìn)價為每件 40 元，如何定價才能使利潤最大？變式訓(xùn)練解法1：設(shè)每件降價x元，每星期售出商品的利潤為y元，則y=(60 x40)(300+20 x）=(20 x)(300+20 x)=20 x2+100 x ，其中0 x20.200，當(dāng)x= =2.5時，即定價為57.5元時，才能使利潤最大，最大利潤為5800元。 變式訓(xùn)練解法2：設(shè)每件定價x元，每星期售出商品的利潤為y元，則y=(x40)300+20(60 x)=

5、(x40)(150020 x)=20 x2 x60000，其中40 x60.200，當(dāng)x= =57.5時，才能使利潤最大. 某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？分析：調(diào)整價格包括漲價和降價兩種情況，由前面我們對兩種情況的討論及現(xiàn)在的銷售狀況，你知道應(yīng)如何定價能使利潤最大了嗎？回歸教材歸納小結(jié)：運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問題的最大值和最小值的一般步驟 :求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍.配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值.檢查求得的

6、最大值或最小值對應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi) .解這類題目的一般步驟例（2013山東青島，22，12分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元/件試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價25元/件時，每天的銷售量是250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？（3）商場的營銷都結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：方案A：該文具的銷售單價高于進(jìn)價且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元請比較哪種方案的最大利

7、潤更高，并說明理由 能力挑戰(zhàn)例（2013山東青島，22，12分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元/件試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價25元/件時，每天的銷售量是250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；解:（1）w(x20)25010(x25) (x20)50010 x 10(x20)(x50)10 x2700 x10000 易于畫草圖（25x50）例（2013山東青島，22，12分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元/件試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價25元/件時，每天的銷售量是250

8、件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？解：（1）w(x20)25010(x25)10(x20)(x50)10 x2700 x10000 （2）w10 x2700 x1000010(x35)22250，當(dāng)x35時，w取到最大值2250，即銷售單價為35元時，每天銷售利潤最大，最大利潤為2250元 （25x50）例（2013山東青島，22，12分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元/件試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價25元/件時，每天的銷售量是

9、250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？（3）商場的營銷都結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：方案A：該文具的銷售單價高于進(jìn)價且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由 解：（1）w(x20)25010(x25)10(x20)(x50)10 x2700 x10000 （2）w10 x2700 x1000010(x35)22250，當(dāng)x35時，w取到最大值2250

10、，即銷售單價為35元時，每天銷售利潤最大，最大利潤為2250元 （3）w10(x35)22250，函數(shù)圖像是以x35為對稱軸且開口向下的拋物線對于方案A，需20 x30，此時圖象在對稱軸左側(cè)（如圖），w隨x的增大而增大，x30時，w取到最大值2000當(dāng)采用方案A時，銷售單價為30元可獲得最大利潤為2000元 （25x50）（3）商場的營銷都結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：方案A：該文具的銷售單價高于進(jìn)價且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由 解：（1）w=(x20)25010(x25)=10(x20)(x50

11、)=10 x2700 x10000 （3）w10(x35)22250，函數(shù)圖像是以x35為對稱軸且開口向下的拋物線對于方案A，需20 x30，此時圖象在對稱軸左側(cè)（如圖），w隨x的增大而增大，x30時，w取到最大值2000當(dāng)采用方案A時，銷售單價為30元可獲得最大利潤為2000元 兩者比較，還是方案A的最大利潤更高 （25x50）（2014內(nèi)蒙古呼倫貝爾，25，10分）某商品的進(jìn)價為每件20元，售價為每件25元時，每天可賣出250件市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，一件商品每漲價1元，每天要少賣出10件（1）求出每天所得的銷售利潤w（元）與每件漲價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價為多少元時，該商品每天的銷售利潤最大；（3）商場的營銷部在調(diào)控價格方面，提出了，兩種營銷方案.方案：每件商品漲價不超過5元；方案：每件商品的利潤至少為16元請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由 （2014遼寧丹東，24，10分）在2014年巴西世界杯足球賽前夕，某體育用品店購進(jìn)一批單價