高三第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題測(cè)試題六數(shù)學(xué)-立體幾何

1、測(cè)試六立體幾何綜合、選擇題1、在正四面體 P ABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是BC平面 PDFDF，平面 PAE（C）平面PDF1平面ABC(D)平面 PAEL平面 ABC2、一棱錐被平行于底面的平面所截,若截面面積與底面面積的比為1 : 3,則此截面把一條側(cè)棱分成的兩線段之比為1: 31: 21:31 ： 73 -13、正四面體P- ABC中，M為棱AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為（A）普3V3丁(D)管34、正四棱錐的側(cè)棱與底面成45角，則側(cè)面與地面所成二面角的正弦值是5、一個(gè)三棱錐 S ABC的三條側(cè)棱 SA SB SC兩兩互相垂直，且長(zhǎng)

2、度分別為1, V6 ,3已知該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為16兀32 兀36 兀64 %6、在棱長(zhǎng)為a的正方體 ABCD- A1B1C1D1中,P、Q是對(duì)角線A1C上的點(diǎn),a ,PQ=2，則二棱錐 P- BDQ的體積為（A）島3(B)蟒a3（C）靖a3(D)不確定7、若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿(mǎn)足PA=PB=PC=1 貝 UP到平面 ABC的距離為(A)管6,6V,3方,3(D)V8、將半徑都為4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為(A).3 +2.62 .62+32 .64+3(D)4,3 +2 69、PA PB PC是從P點(diǎn)出

3、發(fā)的三條射線,每?jī)蓷l射線的夾角均為60 ,那么直線 PC與平面PAB所成角的余弦值是（A）2(B)號(hào)(D)10、正方體ABCD-A1B1GD1中，任作平面”與對(duì)角線ACi垂直，使得a與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn),設(shè)得到的截面多邊形的面積為S,周長(zhǎng)為l,則(B )(A) S為定值，l不為定值(B) S不為定值，l為定值S與l均為定值(D) S與l均不為定值二、填空題的中點(diǎn)，則=90s, AC=垂足為A,內(nèi)的射影11、已知正四棱錐的體積為 12,底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2J6 ,則側(cè)面與底面所成的二面角等于12、如圖，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等 D是A1C14直線AD與平面BQC所

4、成角的正弦值為5513、如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，底面為直角三角形，ZACB6, BC= CC = J2 P是BG上一動(dòng)點(diǎn)，則 CP+ PA的最小值是_5y214、已知平面ot和平面P交于直線l , P是空間一點(diǎn)，PAla ,PB P ,垂足為B,且PA=1, PB=2,若點(diǎn)A在P內(nèi)的射影與點(diǎn)B在a 重合，則點(diǎn)P到l的距離為鄧. . 115、若三角形內(nèi)切圓半徑為r,三邊長(zhǎng)為a,b,c,則三角形的面積 S= 2 r (a+b+c)，根據(jù)類(lèi)比思想，若四面體內(nèi)切球半徑為 R,四個(gè)面的面積為 G,S3,0,則四面體的體積 V=_1 r (S1+S2+S3+S4 )316、四面體 AB

5、CD中，有如下命題：若 AC BD, AB CD,則ADLBC;若E、F、G分別是BCAB、CD的中點(diǎn)，則/ FEG的大小等于異面直線 AC與BD所成角的大小；若點(diǎn) 。是四面體ABCD外接球 的球心，則 O在面ABD上的射影為 ABD的外心；若四個(gè)面是全等的三角形，則 ABCD為正四面體 (填上所有正確命題的序號(hào))三、解答題AiCi由頂點(diǎn)B沿求：17、如圖，在正三棱柱 ABCAB1cl 中，AB= 2, AA1 = 2 ,棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱 AA1到頂點(diǎn)C1的最短路線與 AA1的交點(diǎn)記為 M ,(I)三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；一 一,、AiM “土(II)該最短路線的長(zhǎng)及的值；AM(III)平

6、面C1MB與平面ABC所成二面角(銳角)的大小.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、棱柱等基本知識(shí)，考查空間想象能力、 邏輯思維能力和運(yùn)算能力.解： 正三棱柱 ABC A1B1C1的側(cè)面展開(kāi)寬為2的矩形其對(duì)角線長(zhǎng)為.62+22 =2布.(II)如圖，將側(cè)面 AA1B1 B繞棱AA1旋轉(zhuǎn)側(cè)面AA1cle在同一平面上，點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的圖是長(zhǎng)為6,120二使其與位置，連接DC1交AA1于M,則DC1就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱 AA1到頂點(diǎn)G的最短路線，其長(zhǎng)為vDC 2 +CC12 = J42 +22 = 25 .丁 AD M A AC1 MA1 ,，AM = A1 M ,AMAM(III)連接D

7、B, C1B,則DB就是平面C1MB與平面ABC的交線在iDCB中，DBC =/CBA ABD =6030 = 90 ,CB _ DB,又C1C，平面CBD,由三垂線定理得 C1BIDB .J./C1BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角(銳角);側(cè)面C1 B1BC是正方形.C1 BC =45=.故平面C1MB與平面ABC所成的二面角(銳角)為 45 =.18.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD- A1B1GD1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).(I)試確定點(diǎn)F的位置，使得 DEL平面ABiF;(II)當(dāng)DEL平面AB1F時(shí)，求二面角C1EF- A的大

8、小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)B1本小題主要考查線面關(guān)系和正方體等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和心理運(yùn)算能力 解：（I）連結(jié)A1B,則A1B是D1E在面ABBiA;內(nèi)的射影AB11A1B,D1EAB1,于是 DEX平面 ABF= D1EAF.連結(jié)DE,則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影.DCD1.D1E，AF= DE AF. ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn).當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE，AF, 即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DiE，平面ABiF.(II)當(dāng)DiE，平面ABiF時(shí)，由(I)知點(diǎn)F是CD的中點(diǎn). 又已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連結(jié) EF,則EF/ BD. 連結(jié)AC, 設(shè)AC與EF交于點(diǎn)H,貝

9、U CH，EF,連結(jié)CiH,貝U CH是 CiH在底面ABCD內(nèi)的射影.CiHEF,即/ CiHC是二面角 G EF-C的平面角.在 RtCiCH 中，二CiC=i,i二2ABC所成的二面BiAH ,并延 所成的角.即. AGE =i20CiC.tan / GHC=CHCiHC=arctan2v12 ,從而/ AHCi = n arctan2g2 .故二面角 GEFA的大小為a -arctan22i9、(本小題滿(mǎn)分i2分)如圖，在斜三棱柱 ABC ABG中，/AAB =AAC , AB = AC ,側(cè)面BBCCi與底面角為i200, E、F分別是棱CBAA的中點(diǎn)。(I)求AA與底面ABC所成的

10、角；(n)證明EA/平面BFC ；(I)解：過(guò) A作平面AH _L平面ABC ,垂足為H .連接長(zhǎng)BC交于G ,連接EG ,于是/A AH為A A與底面ABC因?yàn)?A1AB =/A AC ,所以AG為的/BAC平分線又因?yàn)锳B =AC，所以AG _LBC , G且為BC的中點(diǎn)因此，由三垂線定理 AA _ BC因?yàn)槿税?3，且6巳8,所以EG _LBC，于是為/AGE二面角A - BC -E的平面角,由于四邊形 AAGE為平行四邊形，得 /AAG=60所以，AA與底面ABC所成的角度為600(II)證明：設(shè)EG與BG的交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P為EG的中點(diǎn)，連結(jié)PF.在平行四邊形 AGEAi中，因?yàn)镕是A

11、iA的中點(diǎn)，所以 AE/EP 而EP二平面B1FC , AE值平面BFC ,所以AE/平面B1FC(III)解：連接AC .在4八。和4 AAB中，AC = AB!人一 一ZAAC =ZAAB g AACAAB= AC =AB又因?yàn)锳1H _L平面ABC ,所以H是4 ABC的外心設(shè)球心為O ,則O必在AH上，且OF _LAA【a -在 RtAFO 中，4AO=AF=a cos. AA1H cos30 3以的小工口a v, 4c34（亮343na3球的體積V=-nR =一na =331 3j 2720、如圖，已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2, AB=4.(I )證明PQL平

12、面ABCD;(II)求異面直線AQ與PB所成的角；(出)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.解(I)取AD的中點(diǎn)，連結(jié) PM, QM.因?yàn)镻ABCD與Q ABCD者B是正四棱錐，所以 ADXPM, ADXQM, 從而 ADL平面 PQM.又PQ U平面PQM,所以PQ AD.同理PQXAB,所以PQL平面ABCD.(II)連結(jié)AC、BD設(shè)ACnBD=O,由PQL平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、A、Q、C四點(diǎn)共面.因?yàn)?OA= OC, OP= OQ,所以PAQC為平行四邊形，AQ / PC.從而/ BPC (或其補(bǔ)角)是 異面直線AQ與PB所成的角.因?yàn)?PB =PC =JOC 從而異

13、面直線AQ與PB所成的角是arccos1. +OP2 =；(2v5)2 +22 =2$3 ,所以 cos/BPC=pb2+pc2 -bc22PB PC 12 12 -1612 2.3 23311（山）連結(jié) OM,則 OM = AB =2=PQ ,所以/ PMQ= 90 ,即 PMXMQ. 22由（I）知 AD PM,所以PML平面QAD. 從而PM的長(zhǎng)是點(diǎn)P到平面QAD的距離.在直角 PMO 中，PM =xPO2 +OM 2 =$22 +22 =2鼠.即點(diǎn)P到平面QAD的距離是2版.21 .在正三角形 ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿(mǎn)足AE:EB= CF:FA= CP:P

14、B=1:2 （如圖1）。將4AEF沿EF折起到 M1EF的位置，使二面角 Al EF B成直二面角，連結(jié) AB、A1P （如圖2）（I ）求證：AJ平面BEP;（II）求直線 A1E與平面A1BP所成角的大小；（出）求二面角 B-A1P- F的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）解：不妨設(shè)正三角形 ABC的邊長(zhǎng)為3在圖 1 中，取 BE 中點(diǎn) D,連結(jié) DF. AE: EB=CF: FA=1: 2 . . AF=AD=2 而/ A=600 , . .ADF 是正三角形，又 AE=DE=1, . .EFl AD在圖 2 中，A1ELEF, BEX EF,/ A1EB為二面角 Al-EF B 的平面角.由題設(shè)

15、條件知此二面角為直二面角，A1E BE又BELIEF = E，A1E，平面BEF,即AE,平面BEP在圖2中，AE不垂直A1B, A1E是平面A1BP的斜線，又 AEL平面BEP,- A1E BP.從而B(niǎo)P垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理）設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為AQ,且A1Q交BP于點(diǎn)Q,則/ EA1Q就是AE與平面 A1BP所成的角，且BP A1Q.在4EBP中，BE=BP=2 而 / EBP=60 ,EBP 是等邊三角形，BE=EP.又 AEL平面 BEP ,，A1B=A1P,Q 為 BP 的中點(diǎn)，且EQ=J3,又 A1E=1,在 R七AEQ中，tan/EAQ =型 = J3, . . / EAQ=60, .直線 A1E與平面 A1BP所成 AE的角為600在圖 3 中，過(guò) F作 FM，AP與 M,連結(jié) QM,QF/. CP=CF=1, Z C=600, 1 一 一. FCP是正二角形，. PF=1.又 PQ =3 BP =1 . . PF=PQD,小A1E，平面 BEP EQ = EF=J3 .A1F=A1Q,/ j /MX， Af國(guó)AiQP從