高三數(shù)學(xué)空間向量專題復(fù)習(xí)附答案

1、、利用向量處理平行與垂直問題 例 1、在直三棱柱 ABC A1B1cl 中， ACB 900, BAC 300, BC 1,A1A T6,M是CCi得中點。求證： A1B AM練習(xí)：棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，在才稔DD1上是否存在點P使BD, 面 PAC?ZD11c1a1fzbZp例2如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M ,N分別在對11.一一角線 BD,AE 上，且 BM -BD,AN -AE,求證：MN 平面 CDE33練習(xí)1、在正方體ABCD ABCD1中,E,F分別是BB,CD中點，求證：D1F 平面ADEXFBy2、如圖，在底面是菱形的四棱錐P

2、ABCD中,ABC 60 ,PA AC a,PB PD J2a,點E在PD上，且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一點F,使BF/平面AEC?證明你的結(jié)論.、利用空間向量求空間的角的問題y1例 1 在正萬體 ABCD AiBiCiDi 中,Ei , Fi 分別在 AiBi,CiDi 上，且 EiBi=-AiBi, 4i /Di Fi = - DiCi ,4求BEi與DFi所成的角的大小。例2在正方體ABCD AiBiCiDi中，F(xiàn)分別是BC的中點，點E在DC上，且Di Eii-DiCi,試求直線EiF與平面DAC所成角的大小 4zCiBiAiEi例3在正方體 ABCD AiBiCiDi

3、中，求二面角 Ai BD Ci的大小。AiCi,C 4BiAB AD 2AED例4 已知E,F分別是正方體ABCD AB1C1D1的棱BC和CD的中點，求:AiD與EF所成角的大小；AiF與平面BiEB所成角的大小;(3)二面角C DC B的大小。(I)求證：AO 平面BCD;(II)求異面直線AB與CD所成角的大小;(III)求點E到平面ACD的距離。例3如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE = EB,F為CE上的點，且 BFL平面ACE.(I )求證：AEL平面BCE;(H)求二面角B-AC-E的大?。?m)求點D到平面ACE的距離。空間向量與立體幾何考點系

4、統(tǒng)復(fù)習(xí)、利用向量處理平行與垂直問題(特別是探索性問題)BAC 30, BC 1,AA , 6,M例1、在直三棱柱 ABC A Be 中， ACB 900,是CC1得中點。求證： A1B AM證明：如圖，建立空間坐標(biāo)系-J6Ai (、.3,0,、,6), B(0,1,0), A(、3,0,0), M (0,0,)AM( .3,0,), AiB ( .3,1,、6)2AM AB 0練習(xí)：棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，在才稔DD1上是否存在點P使BD, 面 PAC?zD11c1解：以D為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)存在點P (0, 0, z),. B1D 面 PAC ,DB1 AP 0

5、AP =(-a,0,z), AC =(-a,a,0), DB1 =(a,a,a),DB1 AC 0-a2+az=0 -z=a,即點 P 與 D1 重合， .二點P與D1重合時，DB面PAC例2如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M , N分別在對11角線 BD,AE 上，且 BM -BD,AN -AE,求證：MN 平面 CDE 33證明：建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè) AB,AD,AF長分別為3a,3b,3cNM NA AB BM (2a,0, c)又平面CDE勺一個法向量 AD (0,3b,0)由 NM AD 0得至lj nM AD因為MN在平面CDEft所以NM平面CDE

6、練習(xí)1、在正方體ABCD ABCQ中,E,F分別是BB,CD中點，求證：DF 平面ADE證明：設(shè)正方體棱長為1,建立如圖所示坐標(biāo)系 D-xyz 1 DA (1,0,0), DE (1,1,-)1因為 D1F (0,-, 1)人2所以 D1F DA 0, D1F DE 0D7f da,d1f De de da d 所以2、如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中， ABC 60PA AC a,PB PD J5a,點E在PD上，且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一點F,使BF/平面AEC?證明你的結(jié)論.B(C(3a a _ 2a a-,a,0), D(0,a,a), E(0,2-,-)2

7、23 3-.1； 3a a,-,0), P(0,0,a)22 3a aCP ( ， -,a)假設(shè)存在點FCF CPBF BCCF-,萬，a)。3 a丁，(1 萬)a,CBxD y又 AE (0f,f)/3a aAC 丁2,0)則必存在實數(shù)2使得BF - AC把以上向量得坐標(biāo)形式代入得(1 -)a22aa 3-3 1a21a2 2a23-21- 即有BF2322ac-AE 2所以，在棱PC存在點F,即PC中點，能夠使BF/平面AEC。解答：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合圖形容易得到:、利用空間向量求空間的角的問題1 一 _例 1 在正萬體 ABCD AiBiCiDi 中,Ei , Fi 分別在 AiBi,C

8、iDi 上,且 EiBi=-AiBi,4iDiFi =DiCi,求BEi與DFi所成的角的大小。4解：設(shè)正方體棱長為 4,以DA,DC,DDi為正交基底，建立如圖所示空間坐標(biāo)系D xyzBEi(0, i,4),DFi(0,i,4),BEi DFi=i5cos BEi, DFiBEi DFi|BEi|DFi|i5i7例2在正方體ABCD AiBiCiDi中，F(xiàn)分別是BC的中點，Ai盤Di Ei DiCi試求直線EiF與平面DAC所成角的大小4yzDiAi解：設(shè)正方體棱長為i ,以DA, DC, DDi為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D- xyzDBi為DiAC平面的法向量，DBi(i,i,i)

9、 i 3 EiF (-,-, i) 2 487 cos DBi, Ei F 87D.8787所以直線EiF與平面DAC所成角的正弦值為例3在正方體 ABCD AiBiCiDi中，求二面角 Ai 解： 求出平面 ABD與平面Ci BD的法向量 ni (i, i,i), n2 ( i,i,i)一 一ni n2icos ni, n2 一| ni |n2 |3BD Ci的大小。x例4 已知E,F分別是正方體ABCD ABiCQi的棱BC和CD的中點，求:AiD與EF所成角的大?。籄iF與平面BiEB所成角的大小;(3)二面角C DE B的大小。解：設(shè)正方體棱長為i ,以DA, DC, DDi為單位正交

10、基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D- xyz(1)而(1,0, 1)-11EF( 2, 2，0)cos A1D,EFA D EF 1|AD|EF| 2A1D與EF所成角是6001AF ( 1-, 1),AB (0,1,0)2cos A1F, ABA1F AB 1|A1F |AB| 3AG( 1,1,1), AC ( 1,1,0), cosAC1, ACAC1 AC 、6|至|瓦|3二面角C DR B的正弦值為3三、利用空間向量求空間的距離的問題例1直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1=內(nèi)，底面AABC中，/ C=90 , AC=BC=1 , 求點Bi到平面AiBC的距離。解1:如圖建立空間直角坐標(biāo)

11、系，由已知得直棱柱各頂點坐標(biāo)如下：A (1,0,0) , B (0,1,0) , C (0,0,0) Ai (1,0,U3 ) , Bi (0,1,M3 ), Ci (0,03 ). AB = ( 1,1, - 1/3,AC =(-1,0-V3)BX =(1-1,0)設(shè)平面 AiBC的一個法向量為 n (x,y,z),A1CCin AB 0n AC 0即 n ( .3,0,1)所以，點Bi到平面AiBC的距離d 1n aiBi1包|n|2例2如圖，四面體 ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA CB CD BD 2AB AD - 2(I)求證：AO 平面BCD;E(II)求異面直線AB

12、與CD所成角的大小;(III)求點E到平面ACD的距離。解：(I)略(II)解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0),D( 1,0,0), C(0, -. 3,0), A(0,0,1),E(2,-3,0), BA ( 1,0,1),CD (1-3,0).cos BA, CDBA.CDBA CD異面直線AB(III)解：設(shè)平面ACD的法向量為n與CD所成角的大小為n.AD(x,y,z).( 1,0, 1) 0,x z 0,n.AC(x, y,z).(0, .3, 1) 0,、3y z 0.令y 1,得n ( 6,1,73)是平面ACD的一個法向量，又EC ( 1,岑,0),-

13、EC.n 庭 V2i點E到平面ACD的距離h芋.n7例3如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE = EB, F為CE上的點，且 BFL平面ACE.(I )求證：AEL平面BCE;(H)求二面角B-AC-E的大?。?m)求點D到平面ACE的距離 解(I )略(n)以線段AB的中點為原點O, OE所在直線為AB所在直線為y軸, 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)E 面 BCE,在RtAEB 中,AB過O點平行于AD的直線為Oxyz,如圖.BE 面 BCE, AE BE,2,O為AB的中點，OE 1A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE(1,1,0), AC(0,2,2).設(shè)平面AEC的一個法向量為n (x, y, z),iAE n 0mr,即AC n 0,2y y2x0, 0.