材料力學彎曲應力課件

1、第六章 彎曲應力Chapter SixStresses in Bending本章內(nèi)容小結(jié)本章基本要求6.1 彎曲正應力6.2 彎曲切應力6.6 組合變形的應力分析6.3 梁的強度設(shè)計背景材料6.4* 梁彎曲的極限荷載6.5* 薄壁桿件的彎曲 橫梁橫截面上的應力如何計算？ 行車移動時，這種應力如何變化？背 景 材 料F 汽車在輪軸上的支承為什么設(shè)計為疊板彈簧的形式？ 這種結(jié)構(gòu)有什么優(yōu)點？ 如何避免薄壁桿件的強度失效？ 比薩斜塔塔體具有哪些變形效應？ 它的危險截面、危險點在何處？ 如何計算其應力？ 熟練掌握橫截面上彎曲正應力和彎曲切應力的分布規(guī)律和計算公式。 熟練掌握梁在組合變形中其應力的計算方法

2、。 一般地了解薄壁桿件橫截面上彎曲切應力的分布規(guī)律，了解彎曲中心的概念。本 章 基 本 要 求 熟悉提高梁強度的各類主要措施。能正確熟練地進行梁的強度分析。 了解梁極限荷載的分析和計算。6.1 彎曲正應力 具有縱向?qū)ΨQ平面6.1.1 梁彎曲的基本概念1. 梁的平面彎曲( Plane bending )梁上外載荷（包括約束反力）作用或可簡化到此對稱平面內(nèi)梁變形前后的軸線在此對稱平面內(nèi)2. 純彎曲和橫力彎曲純彎曲 ( pure bending )橫力彎曲( transverse load bending )2. 純彎曲和橫力彎曲純彎曲 ( pure bending )2. 純彎曲和橫力彎曲純彎曲

3、( pure bending )橫力彎曲( transverse load bending )3. 關(guān)于梁彎曲的假定平截面假定 梁橫截面在彎曲時始終保持為一個平面，并始終與軸線垂直。純彎曲： 精確橫力彎曲： 近似正確單向受力假定集中橫向荷載： 精確分布橫向荷載： 近似正確橫截面上的正應力 x縱截面上的正應力 y = 0縱截面上的正應力 y = 0q縱截面上的正應力 y = q 細長梁承受均布荷載時，橫截面上的最大正應力 x遠大于縱截面上的正應力 y 。 梁的軸向纖維只有拉壓作用，各軸向纖維之間沒有擠壓或拉伸的作用。受拉區(qū)受壓區(qū)中性面中性面中性面中性軸中性面 ( neutral surface

4、)和 中性軸( neutral axis)梁的中性面，是梁的軸向纖維伸長區(qū)和縮短區(qū)的交界面。梁的中性軸，即梁的中性面與橫截面的交線。1. 推導思路幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學關(guān)系正應變與中性層曲率間的關(guān)系正應力與中性層曲率間的關(guān)系確定中性軸位置中性層曲率表達式及正應力表達式( 平截面假定 ) ( Hooke 定律 )( 橫截面上軸力、彎矩與正應力的關(guān)系 ) 6.1.2 橫截面上的正應力公式純彎曲橫力彎曲幾何關(guān)系 ( 平截面假設(shè) ) 物理關(guān)系( Hooke 定律 )dxdxdxdxdxdxdxxyzxdxdxdxymndxdxymndmn ydxxydz2. 正應力公式推導rey-=xdxymndmn

5、 y幾何關(guān)系 ( 平截面假設(shè) ) 物理關(guān)系( Hooke 定律 )rey-=dxxydz2. 正應力公式推導dxxydz2. 正應力公式推導ydxxzdAydxxzdA靜力學關(guān)系 ( 橫截面上軸力、彎矩與正應力的關(guān)系 ) 應滿足的靜力學條件重要結(jié)論 中性軸必定過形心。1) 第一式：微內(nèi)力元素 組成空間平行力系向截面形心簡化y軸是形心主慣性軸2. 正應力公式推導ydxxzdA靜力學關(guān)系 ( 橫截面上軸力、彎矩與正應力的關(guān)系 ) 2) 第二式：重要結(jié)論：中性軸必定過形心1) 第一式：彎曲發(fā)生在各截面的形心主慣性軸 y 所組成的平面內(nèi)平面彎曲條件：2. 正應力公式推導ydxxzdA3) 第三式MzM

6、zrzEIM=1重要公式靜力學關(guān)系 ( 橫截面上軸力、彎矩與正應力的關(guān)系 ) maxyIWzz=抗彎截面系數(shù) 正應力在橫截面上的分布規(guī)律分析和討論maxyIWzz=正應力在橫截面上的分布規(guī)律分析和討論3. 正應力公式使用注意點（1）彈性范圍內(nèi)使用 （3）L/h5時，橫力彎曲梁的正應力計算可近似用公式，其誤差e 1% （2）由所考慮位置處拉壓性質(zhì)直接確定應力正負純彎曲橫力彎曲 （4）/h5的曲梁彎曲正應力計算可近似用公式，其誤差在工程允許的范圍內(nèi)6.1.2 橫截面上的正應力公式120 240 320 480 (MPa)跳桿中最大正應力動腦又動筆由彎曲曲率公式可得 撐桿跳過程中某時刻撐桿最小曲率半

7、徑為 7.5m，纖維增強玻璃鋼撐桿直徑為 40 mm，E = 120 GPa，求此時桿中的最大正應力。1分鐘練習題FABQuestion :Solve: 分析和討論xMMxoo彎矩與梁軸線曲率的關(guān)系使梁變形與彎矩(圖)間具有怎樣的特點？彎矩坐標向上為正的規(guī)定使彎矩圖始終畫在梁的受壓一側(cè)。 梁在有的區(qū)段是中性層上側(cè)受拉而下側(cè)受壓，有的區(qū)段則是上側(cè)受壓而下側(cè)受拉。這種情況與彎矩圖有什么規(guī)律性的聯(lián)系？分析和討論xM若彎矩圖按坐標向下為正的規(guī)定，情況如何？Mx結(jié)論xMMx若彎矩圖按坐標向下為正的規(guī)定，情況如何？MxxM彎矩坐標向下為正的規(guī)定使彎矩圖始終畫在梁的受拉一側(cè)。結(jié)論例 簡支梁如圖所示，彈性模量

8、為E。試求梁的最底層纖維的總伸長 q LBAxdxhb解底層彎曲應力底層微段dx的伸長x截面上彎矩底層纖維總伸長z分析和討論 受力情況相同的三種等截面梁，它們的截面形式分別如圖所示，梁間無摩擦組合。若用 、 、 分別表示三種梁中橫截面上的最大正應力，則下列結(jié)論中_是正確的(a)(b)(c)zzzB梁間無摩擦組合（橫截面上的彎矩由兩梁均分）z例 梁由兩根材料相同的梁牢固粘合而成，其橫截面如圖。若截面上承受的總彎矩為M ，求上下兩部分各自承擔的彎矩之比。2aaa3a/212橫截面上正應力分布 兩部分上各正應力相關(guān)力關(guān)于中性軸的矩的積分構(gòu)成這一部分所承擔的彎矩。分析各正應力相關(guān)的力關(guān)于中性軸的矩的積

9、分構(gòu)成截面上的彎矩。例 梁由兩根材料相同的梁牢固粘合而成，其橫截面如圖。若截面上承受的總彎矩為M ，求上下兩部分各自承擔的彎矩之比。2aaa3a/212錯在何處？同理解？z取過形心水平軸為中性軸z例 梁由兩根材料相同的梁牢固粘合而成，其橫截面如圖。若截面上承受的總彎矩為M ，求上下兩部分各自承擔的彎矩之比。2aaa3a/212同理解z取過形心水平軸為中性軸zxM1.中性軸為對稱軸（1）最大正應力計算6.1.2 梁的正應力強度計算maxyIWzz=抗彎截面系數(shù) ( section modulus in bending )dDd動腦又動筆bhzy（2）強度計算 校核強度 設(shè)計截面尺寸 計算許可載荷

10、計算下列圖形的抗彎截面系數(shù)maxyIWzz=2bb例6.1 如圖梁的 =105 MPa，試確定尺寸 b。故取 b = 45 mm（1）作彎矩圖，確定危險截面1m3m1mq = 10 kN/mMx5 kNm6.25 kNm解（2）按強度條件確定bzdhb例6.2 欲把直徑為 d 的圓木鋸成在豎直方向受載的矩形截面梁。要使梁具有最大強度，矩形高 h 和寬 b 應成什么比例？1103年，李誡在營造法式大木作制度指出： “凡梁之大小，各隨其廣分為三份，以二份為厚”強度最大荷載相同時最大工作應力水平最低Wz 為最大分析建立 Wz 函數(shù)關(guān)系并求其極值例6.2 欲把直徑為 d 的圓木鋸成在豎直方向受載的矩形

11、截面梁。要使梁具有最大強度，矩形高 h 和寬 b 應成什么比例？dhbz使梁具有最大強度，應使截面的 Wz 為最大。 例6.2 欲把直徑為 d 的圓木鋸成在豎直方向受載的矩形截面梁。要使梁具有最大強度，矩形高 h 和寬 b 應成什么比例？dhb解梁的高寬比： （宋代李誡營造法式結(jié)論）zxM最大拉應力與最大壓應力可能不在同一個橫截面上2.中性軸為非對稱軸6.1.2 梁的正應力強度計算z等截面梁，考慮彎矩較大截面上且離中性軸最遠處應力變截面梁要綜合考慮M與Iz脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮AABABABACBACBACDBACDBACDEABCDExMBACDE2m4mq = 10 k

12、N/mP =10kN15kN35kN例 在如圖的梁結(jié)構(gòu)中，求最大拉應力和最大壓應力。11.25kNm20kNmIz = 8.84106 mm4y1 = 45y2 = 90解(1)求支座反力(2)作彎矩圖B 截面 最大拉應力在 B 截面下邊緣，數(shù)值為 114.5 MPa。最大壓應力在 D 截面下邊緣，數(shù)值為203.6 MPa。11.25kNm20kNmxMBACDE例 在如圖的結(jié)構(gòu)中，求最大拉應力和最大壓應力。2m4mq = 10 kN/mP =10kN15kN35kNIz = 8.84106 mm4y1 = 45y2 = 90解(3)求最大工作應力D 截面分析和討論 下列哪些情況下會出現(xiàn)最大拉

13、應力和最大壓應力不在同一橫截面上的現(xiàn)象？y1 = 50y2 = 100Mx10 kNm30 kNmMx5 kNmMx8 kNm12 kNmxM10 kNm10 kNmp171思考題6.6例 長度為 L 的懸臂梁的橫截面是邊長為 a 的正三角形。單位長度的重量為 q 。梁僅由于自重而產(chǎn)生彎曲。該梁應如何放置，才能使梁中橫截面上的最大正應力為最小？這個應力大小是多少？ qLxCyCa分析 過形心的任一軸均為等邊三角形的形心慣性主軸。 因此無論如何放置，等邊三角形對中性軸的慣性矩都是相等的。 但最大應力還取決于角頂?shù)街行暂S的距離。 習題冊6.1（3）例 長度為 L 的懸臂梁的橫截面是邊長為 a 的正

14、三角形。單位長度的重量為 q 。梁僅由于自重而產(chǎn)生彎曲。該梁應如何放置，才能使梁中橫截面上的最大正應力為最?。窟@個應力大小是多少？ qLxCyCa圖形對過形心的任一軸均為形心慣性主軸。xCyCa如圖位置拉壓正應力值相等， ymax 為最小：例 鑄鐵梁受荷載情況如圖示。已知截面對形心軸的慣性矩Iz=403107m4，鑄鐵抗拉強度t=50MPa，抗壓強度c =125MPa。試按正應力強度條件校核梁的強度。B截面C截面如果T截面倒置會如何?滿足強度要求，安全解（1）求支座反力，作彎矩圖（2）求B、C截面最大工作應力12.75kN36.25kNq LAB例 承受均布荷載的梁，兩個支座可以在水平方向上移

15、動。材料的許用拉應力遠小于許用壓應力。試求鉸支座處于什么位置可使梁的許用荷載為最大。q LAB分析（2）彎矩的峰值出現(xiàn)在 C、D 截面。MCMDh2 h1 （3）由于材料的許用拉應力遠小于許用壓應力，因此梁的承載能力取決于拉應力。 （4）梁的承載能力同時取決于 C和D 截面上的最大拉應力。q LBAq LBAaaCD（1）兩支座必須對稱移動，才能使梁中的許用荷載為最大。q LBAaaCDMCMDh2 h1 C 截面最大拉應力D 截面最大拉應力要使梁中的許用荷載為最大，應有C 截面彎矩解q LBAaaCDMCMDh2 h1 D 截面彎矩 a 應滿足的方程：取合理的解得：力學家與材料力學史Gali

16、leo（1564-1642） Galileo 在 1638 年出版的 Dialogue Concerning Two New Sciences 一書中首次對梁的彎曲進行了研究。關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話1633.3.12 羅馬教廷審判1992年羅馬教皇給予正式平反 在其后的一百多年中，經(jīng) Mariotte, J. Bernoulli 等人的努力，形成了以平截面假設(shè)為基礎(chǔ)的梁彎曲理論。Jacob I Bernoulli ( 1654-1705 ) J. Bernoulli，瑞士數(shù)學家、力學家，著名的伯努利家族成員之一，在梁理論、概率論、微分方程等許多領(lǐng)域有重要貢獻。力學家與材料力學史J

17、ohann I Bernoulli ( 1667-1748 )Daniel I Bernoulli ( 1700-1782 )( bending shear stress )方向： 矩形橫截面中彎曲切應力方向與剪力方向相同。大?。?高寬比較大的矩形截面中的彎曲切應力沿寬度均勻分布。6.2 彎曲切應力 矩形橫截面上的彎曲切應力是如何分布的？假定:6.2.1 矩形截面中的彎曲切應力儒拉夫斯基假定t 的大小只與距中性軸的距離有關(guān)。力學家與材料力學史 梁的切應力的精確解是由 Saint-Vinant 給出的。但他的研究只涉及到一些簡單情況。他對 的近似方法給予了很高的評價。 俄國在修建從彼得堡到莫斯科

18、的鐵路中，采用了粗厚的木梁及木組合梁。這類梁沿木紋方向上的切應力很大。 為了解決這一問題，工程師儒拉夫斯基（: 1821-1891) 于 1844-1850 年間對此進行了系統(tǒng)的研究，并首次得到矩形截面最大切應力是平均切應力的一倍半的結(jié)論。他所發(fā)展出的近似方法至今仍在工程中廣泛采用。dxdxdxdxbxyzdxbxyzdxbM + dMM xyzdxyxzdxydxydx后面正應力N1前面正應力后面正應力合力N1N1前面正應力合力N1N2N1N2N1N2 前后面的軸向力 N1 和 N2 不平衡。 軸線方向上的力平衡還需要考慮什么因素？（1）切應力公式推導N1N2后面正應力前面正應力后面正應力合

19、力前面正應力合力N1N2N1N2N1N2N1N2dxb下面切應力合力N1N2F平衡方程重要公式（1）切應力公式推導bhbhybhyh 2 ybhyh 2 y(h 2 + y ) 2（1）切應力公式推導（6.12）（6.13a）重要公式矩形截面：（2）橫截面“翹曲”現(xiàn)象的解釋矩形截面梁剪(切)應變：切應變沿高度按拋物線變化，使得橫截面發(fā)生翹曲剪(切)應力：圖示矩形截面簡支梁，加載于梁中點C，max /max = ？細長等直梁（3）正應力與切應力的比較忽略切應力，而只需考慮正應力CL結(jié)論 一般實體形截面的細長梁的橫截面上彎曲正應力幾乎(至少)比彎曲切應力高出一個數(shù)量級。動腦又動筆 移動荷載可從簡支

20、梁左端移到右端，試計算橫截面上最大正應力與最大切應力之比。hbP切應力極端情況：？載荷移動到跨中載荷移到支座CGDA401515例 在如圖的結(jié)構(gòu)中，C 處的壓力為 180 N，求 G 截面上的最大正應力和最大切應力。部件 ADC 的簡化1515對 A 取矩得(2) G 截面剪力和彎矩（在截面兩側(cè)）（在中性層上）FCDAGKP=180NFCDAGK解：(3) G截面最大正應力和最大切應力(1) 建立分析模型分析受力取部件ADC為研究對象切應力公式使用注意點梁的切應力公式應在彈性范圍內(nèi)使用。所求出的切應力方向與剪力方向相同。 求截面上某點處的切應力，關(guān)鍵在S 的計算和b的確定。b6.2.2 其它截

21、面中的彎曲切應力S 的計算：過該點作中性軸的平行線，將截面分為兩部分，取其中一部分進行 ；b 是所切取部分的總長度。中性層上的彎曲切應力橫截面中的彎曲切應力分布某點切應力的豎直分量yccyby（1）圓形截面最大彎曲切應力6.2.2 其它截面中的彎曲切應力（2）工字形截面結(jié)論：翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。 鉛垂剪應力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin， 故工字鋼最大剪應力。maxA FStfAf 腹板的面積。;maxA FStfh/2h/2h0/2b標準I字型鋼：6.2.2 其它截面中的彎曲切應力（3）薄壁圓環(huán)：（4）箱形薄壁截面梁 Dd（5）槽鋼：e

22、6.2.2 其它截面中的彎曲切應力FS3kNm4kN/m500500500BCA例 求梁中橫截面上的最大切應力。分析最大拉應力次大彎矩彎矩圖橫截面慣性矩橫截面形心最大切應力最大剪力剪力圖橫截面中性層處面積矩100252525100最大彎矩求梁中橫截面上的最大拉應力。3kNm4kN/m500500500BCA例 求梁中橫截面上的最大拉應力和最大切應力。（1）先求支反力C 處支反力實際方向向下2.5 kN2 kN1.25 kNm1.75 kNm0.5 kNm0.5kN2.5kN100252525100（2）作剪力圖、彎矩圖解：100252525100橫截面形心坐標 yc10025252510010

23、025252510057.5關(guān)于中性軸的慣性矩10025252510057.510025252510057.53kNm4kN/m500500500BCA2.5kN0.5kN2.5 kN2 kN1.25 kNm1.75 kNm0.5 kNm（3）確定橫截面形心和慣性矩10025252510010025252510057.5最大切應力出現(xiàn)在 BC 區(qū)段中性層上10025252510057.53kNm4kN/m500500500BCA2.5kN0.5kN2.5 kN2 kN1.25 kNm1.75 kNm0.5 kNm（4）計算梁中最大切應力10025252510010025252510057.5梁

24、中最大拉應力出現(xiàn)在 A 截面A 截面偏右上側(cè)A 截面偏左下側(cè) 最大拉應力在 A 截面偏右上側(cè) ，其值為 13.2 MPa3kNm4kN/m500500500BCA2.5kN0.5kN2.5 kN2 kN1.25 kNm1.75 kNm0.5 kNm（4）計算梁中最大拉應力6.2.3 梁的切應力強度計算（1）須考慮彎曲剪應力強度的問題a.短高梁（橫截面有較嚴重的翹曲）;b.載荷靠近支座的梁(M較小，F(xiàn)S較大);c.薄壁 梁(腹板厚度梁高，腹板上可能產(chǎn)生較大剪應力);d.木、竹等各向異性材料梁(順紋抗剪能力較弱，可能沿中性層發(fā)生剪切破壞).2,3/2,4/3,1,1,（2）強度條件式（3）三類強度

25、計算問題 校核強度 設(shè)計截面 計算最大荷載中性軸為對稱軸6.2.3 梁的切應力強度計算 c t 結(jié)論 在一般實體形截面的細長梁中，彎曲正應力是引起破壞的主要原因。 在薄壁桿件、短粗梁、層合梁、抗剪能力較弱的復合材料梁中，或是靠近支座處截面，彎曲切應力才是引起破壞的值得重視的因素。脆性材料塑性材料 t c材料的承受能力構(gòu)件的最大工作應力（4）梁中應力及強度考量 先按正應力設(shè)計，再做切應力校核。(1)畫梁的剪力圖和彎矩圖(2)按正應力強度條件計算許可載荷 (3)按切應力強度條件計算許可載荷 解：例題6-5 懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹?m。膠合面的許可切應力 g= 0.34MPa，許可正應力1

26、MPa；木材的t = 10 MPa，=1MPa。求許可載荷。例題6-5 懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為1m。膠合面的許可切應力 g= 0.34MPa，許可正應力1MPa；木材的t = 10 MPa，=1MPa。求許可載荷。解：(4)按膠合面強度條件計算許可載荷 (5)梁的許可載荷為 由梁的彎曲正應力強度決定 FLbhh螺栓所受剪切力中性層切應力和其合力橫截面中性軸切應力橫截面的剪力FLbhhLbhLbhLbhLbhLbhFLbhhF = 2 kNL = 1.2 mh = 60 mmb = 80 mm求滿足剪切強度的螺栓直徑螺栓的剪切力位于兩部分的交界面分析例6.7 懸臂梁由兩段矩形截面梁用五

27、個螺栓固結(jié)而成。螺栓等距排列，許用切應力為80 MPa，試求螺栓直徑 dFLbhh例6.7 懸臂梁由兩段矩形截面梁用五個螺栓固結(jié)而成。螺栓等距排列，許用切應力為80 MPa，試求螺栓直徑 d在組合梁各截面上剪力均為 F ，在任一截面中性層上有最大切應力 由于螺栓的固結(jié)，梁的兩部分緊密結(jié)合而成為一個整梁。FLbhhFLbhhFLbhh截取梁的下半部Lbh（2）求兩梁界面上的總剪力LbhLbhF = 2 kNL = 1.2 mh = 60 mmb = 80 mm解：（1）求橫截面上最大切應力Lbh五個螺栓平均承擔剪力 Lbh故取螺栓剪切強度條件F = 2 kNL = 1.2 mh = 60 mmb

28、 = 80 mm（3）按剪切強度確定螺栓直徑例6.7 懸臂梁由兩段矩形截面梁用五個螺栓固結(jié)而成。螺栓等距排列，許用切應力為80 MPa，試求螺栓直徑 d橫截面信息形心位置內(nèi)力信息彎矩峰值最大剪力最大正應力或最大切應力或 判斷是否安全 慣性矩梁的強度計算 或滿足其條件的強度計算6.3 梁的強度設(shè)計提高梁強度的措施 一、 降低 Mmax 合理安排支座合理布置載荷1.合理安排支座FFF6.3 梁的強度設(shè)計提高梁強度的措施 一、 降低 Mmax 1.合理安排支座6.3 梁的強度設(shè)計提高梁強度的措施 一、 降低 Mmax 2.合理布置載荷FFFFl/4l/4Fl/4Fl/8P177 習題6.216.3

29、梁的強度設(shè)計提高梁強度的措施 二、 增大 WZ 合理設(shè)計截面合理放置截面或 增大 WZ /A根據(jù)材料性能，合理選用對稱截面6.3 梁的強度設(shè)計提高梁強度的措施 二、 增大 WZ 1.合理設(shè)計截面或 增大 WZ /AWZ /A0.125h0.167h0.205hd=0.8h(0.27-0.31)h(0.27-0.31)hFF不合理合理2.合理放置截面h塑性材料： 宜采用中性軸是對稱軸的截面脆性材料： 宜采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面qycyt6.3 梁的強度設(shè)計提高梁強度的措施 3.根據(jù)材料性能，合理選用對稱截面二、 增大 WZ 或 增大 WZ /A使等強度梁的概念 由此可確定截面的尺寸。xyx

30、截面尺寸主要取決于彎矩，但在剪力很大而彎矩較小的區(qū)段也應考慮剪力的影響。三、采用變截面梁或等強度梁 6.3 梁的強度設(shè)計提高梁強度的措施 魚腹式吊車梁廠房中的屋架大梁工程中的變截面梁工程中的變截面梁增添蓋板的鋼板梁鋼制板簧工程中的變截面梁（1）考慮剪力的影響（2）隨著 x 的增加，應考慮彎矩的影響由對稱性，只考慮左半部分PL/ 2L/ 2PL/ 2L/ 2h0 xh1(x)PL/ 2L/ 2h0例 圖中梁的寬度 b 保持不變，材料許用應力為 和 ，根據(jù)等強度觀點確定梁的高度 h 的變化規(guī)律。bh(x)解：P/2P/2PL/4顯然過支座后，h1應不小于零，即故有xh1(x)PL/ 2L/ 2h0

31、PL/ 2L/ 2例 圖中梁的寬度 b 保持不變，材料許用應力為 和 ，根據(jù)等強度觀點確定梁的高度 h 的變化規(guī)律。bh（3）確定 x 的值和具體的h(x)解：分析和討論 在下列不同的加載方式中，哪一種強度最高？qLL/ 2L/ 2L/ 3qLL/ 3L/ 3Lq分析和討論 梁的橫截面如圖。在下列不同的支承方式中，哪一種強度最高？ 如何移動支座，使梁的強度為最高？qqq分析和討論 簡支梁承受均布荷載，在橫截面積相同的條件下，下列哪一種橫截面的梁強度最高？ 承受均布荷載的簡支梁由混凝土材料制成，在橫截面積相同的條件下，下列哪一種橫截面的梁強度最高？q分析和討論如何選配梁的形狀？哪些措施可以提高梁

32、的強度和經(jīng)濟性？FFRFF動腦又動筆 兩個梁材料相同，左梁分為若干層，右梁為整體材料，誰能承受更大的力 F ？ 兩個構(gòu)件材料相同，一個由整體鋼筋制成，一個由若干根鋼絲組成，兩者有效橫截面積相同，誰能承受更大的力 F ？正應力引起的破壞 塑性材料塑性鉸（plastic hinge）脆性材料斷裂（fracture）6.4 梁的破壞及極限荷載*1. 梁的破壞切應力引起的破壞 6.4 梁的破壞及極限荷載*1. 梁的破壞(1) 橫截面具有左右對稱的構(gòu)件開口薄壁梁 6.4 梁的破壞及極限荷載*1. 梁的破壞(2) 橫截面左右不對稱的構(gòu)件 彎曲中心( bending center )2. 極限荷載（自閱）或

33、剪心6.5 梁的破壞及極限荷載*2. 極限荷載ssss全面屈服后,平面假設(shè)不再成立;仍假設(shè)縱向纖維互不擠壓。sessss理想彈塑性材料的s-e 圖ssss彈性極限應力分布塑性極限應力分布Mu（1）物理關(guān)系：屈服彎矩 ( yield moment )極限彎矩 ( limit moment )6.5 梁的破壞及極限荷載*2. 極限荷載（2）靜力學關(guān)系：yzxssMu橫截面圖正應力分布圖ACAS形狀系數(shù) ( shape factor )近代科學與技術(shù) 如何避免由于構(gòu)件斷裂而引起的災難性的后果？ 如何評價結(jié)構(gòu)中裂紋的危害程度？ 如何預示裂紋擴展的過程？斷裂力學 為什么有些高強度鋼構(gòu)件在低于屈服極限條件

34、下也會產(chǎn)生脆性斷裂？近代科學與技術(shù)宏觀裂紋的起裂條件 裂紋在外荷載作用下的擴展過程 裂紋擴展到什么程度使構(gòu)件斷裂 裂紋尖端處的應力 應力強度因子 材料對裂紋擴展的抵抗能力 斷裂韌性 裂紋處的應力與材料抵抗裂紋擴展能力之間的關(guān)系 斷裂力學( fracture mechanics )1. 彎曲切應力方向 6.5 薄壁桿件的彎曲*彎曲應力薄壁截面梁彎曲正應力與實體截面相同薄壁截面梁彎曲切應力？6.6 薄壁桿件的彎曲*切應力分布薄壁桿件橫截面上的彎曲切應力分布構(gòu)成切應力流薄壁桿件橫截面上的彎曲切應力方向總是平行于周邊，并沿厚度方向均勻分布1. 彎曲切應力方向 2. 彎曲切應力 大小6.5 薄壁桿件的彎

35、曲*彎曲切應力流(即截面中心線單位長度上的剪力) 2. 彎曲切應力大小 6.6 薄壁桿件的彎曲*非對稱截面梁平面彎曲的條件6.6 薄壁桿件的彎曲*3. 薄壁截面梁彎曲中心（剪心） (2)橫向外力作用在平行于形心主慣性平面的平面內(nèi)，并通過特定點。(1)外力(偶)作用在平行于形心主慣性平面的某一平面內(nèi)。xy平面形心主慣性平面CXYZCYZzyay、z軸為形心主軸zyaCK彎曲中心定義: 截面內(nèi)或外的一點使得截面上的剪力向該點進行等效移動時只有主矢而無主矩 .則該點稱為截面的彎曲中心.非對稱截面梁平面彎曲的條件6.5 薄壁桿件的彎曲*3. 薄壁截面梁彎曲中心（剪心） 3. 薄壁截面梁彎曲中心（剪心）

36、 thbezm剪心的力學實質(zhì)： 截面上切應力對應的力的簡化中心 （切應力合力的作用點就是截面彎曲中心的位置）K3. 薄壁截面梁彎曲中心（剪心） 軸y和軸z為截面形心主軸 （1）梁在垂直于軸z的平面發(fā)生平面彎曲時 代表剪力，即由彎曲剪流 所構(gòu)成的合力 對點O的力矩 （2） 梁在垂直于軸y的平面發(fā)生平面彎曲薄壁截面的彎曲中心位置，符合下列規(guī)則:(1)具有兩個對稱軸或反對稱軸的截面，其彎曲中心與形心重合。(2)具有一個對稱軸的截面，其彎曲中心一定在這個對稱軸上。(3)兩個狹長矩形的組合圖形的彎曲中心位于狹長矩形交點處K1. 拉（壓）彎組合6.6 組合變形的應力與強度計算1. 拉（壓）彎組合搖臂鉆-拉

37、(壓)彎組合變形吊車桿-壓彎組合變形6.6 組合變形的應力與強度計算FN（1）拉彎組合中的正應力的計算拉壓正應力彎曲正應力拉彎組合正應力M 在拉彎組合變形中，橫截面的中性軸不再過形心，但與相應只有彎曲情況的中性軸平行。彎曲最大正應力拉彎組合最大正應力FN（2）拉彎組合中的最大正應力的計算M拉壓正應力(截面上下邊緣各點)例 求如圖的構(gòu)件中的最大正應力。最大拉應力在 AB 區(qū)段下沿最大壓應力在 AB 區(qū)段上沿d 20e 40P 1kNABd 20e 40P 1kNABm Pe AB 區(qū)段產(chǎn)生拉彎組合變形d 20e 40P 1kNABm Pe解： 將力P向AB段軸線簡化 從AB 區(qū)段取任意截面 （1

38、）變形分析 （2）各基本變形應力分析 （3）組合變形應力DdH例 比薩斜塔的高度 H 55 m，可把塔體簡化為外徑 D 20 m,內(nèi)徑 d 14 m 的等截面均質(zhì)圓筒。要使塔體橫截面上不產(chǎn)生拉應力，塔體容許的最大傾斜角為多少？目前塔體已傾斜了 5.5 ，塔體橫截面上是否已產(chǎn)生了拉應力？ 塔體承受壓彎組合變形，底面為危險截面。塔體材料的平均重度為 g，則單位高度的重量為 gA。塔底面軸力及底面壓縮正應力危險截面危險點解：（1）塔體變形分析設(shè)塔體傾斜角為 。（2）塔體在各基本變形下應力，不產(chǎn)生拉應力塔底面彎矩塔底面最大彎曲拉應力目前橫截面上沒有拉應力。設(shè)塔體傾斜角為 。（2）塔體在各基本變形下應力

39、，塔底面壓縮正應力 （3）塔底截面組合變形應力A危險點A 如圖的集中荷載 P 可在立柱端面中線上移動，要使立柱橫截面上不產(chǎn)生拉應力，偏心量 e 允許的最大值為多少？動腦又動筆Pehb？IIPIIP例 校核 I-I 截面的強度。1540解：（1）力轉(zhuǎn)換及變形分析拉伸與彎曲的組合變形I-IIIP例 校核 I-I 截面的強度。15IIP解：（1）力轉(zhuǎn)換及變形分析最大彎曲正應力截面彎矩拉伸與彎曲的組合變形I-IIIP40截面慣性矩yC截面形心位置最大彎曲壓應力出現(xiàn)在截面上頂點（2）各基本變形應力拉伸正應力IIP最大彎曲拉應力出現(xiàn)在截面下邊緣最大壓應力截面不安全最大拉應力4015yCI-I（2）各基本變

40、形應力拉伸正應力最大彎曲壓應力出現(xiàn)在截面上頂點（3）拉彎組合變形最大正應力2. 斜彎曲 ( skew bending )qhbzy6.6 組合變形的應力與強度計算PxPyzxPyzPyPzxPABDyzPyPzCxABDyzPyCxABDyzPzCxPABDyzPyPzCMyMz2. 斜彎曲 ( skew bending )斜彎曲豎直平面內(nèi)的彎曲水平平面內(nèi)的彎曲中性軸（1）斜彎變形中正應力的計算2. 斜彎曲 ( skew bending )xPABDyzPyPzC中性軸：最大正應力：仍通過截面形心在距中性軸最遠的兩角點上（2）斜彎變形中最大正應力計算過2-4或1-3象限直線2. 斜彎曲 ( s

41、kew bending )xPABDyzPyPzC斜彎曲載荷所在平面與中性面一般不垂直。斜彎曲的危險點在截面外凸角點上?？赡艹蔀槲ｋU點不可能成為危險點（3）討論x中性軸：zy危險點在 A 點，其最大拉應力故取 h = 90 mm例 圖示結(jié)構(gòu)中，若材料 t 為 80 MPa，試確定橫截面高度 h。Pz = 2 kNxyz600800Py = 4 kNAxyz2.8kNmxyz2.8kNm2.4kNmxyzb=60h(1)作結(jié)構(gòu)的彎矩圖，確定危險截面和危險點解:(2)按強度要求確定 h荷載分量分別為跨中兩向最大彎矩分別為（1）計算模型及內(nèi)力彎矩分析例 如圖的單位長度重量為 q 的梁長度為 L，兩端

42、簡支并傾斜放置。 求梁跨中橫截面上的最大正應力。當傾角 為多大時這種正應力達到最大？Lqhbqhbqhbzy解:（跨中）（2）跨中截面上兩向彎曲最大正應力分別為（3）跨中截面斜彎曲最大正應力例 如圖的單位長度重量為 q 的梁長度為 L，兩端簡支并傾斜放置。 求梁跨中橫截面上的最大正應力。當傾角 為多大時這種正應力達到最大？Lqhbqhbqhbzy解:（2）跨中截面兩向彎曲最大正應力在右上或左下角點（4）求正應力達到最大時的qhbzyqhbzy即 應滿足分析和討論 圓形截面梁斜彎曲問題如何處理？xzPyPzxzPyPzA最大拉應力點xzPyPyxzPyPyB最大拉應力點xzPxzP最大拉應力點x

43、zPyyPzxzPy兩向彎曲最大正應力點不在同一點結(jié)論 圓形截面梁不能按斜彎曲最大應力公式計算。分析和討論 如何確定危險截面的危險點位置？xzPyyPzzyxzPyyPzaLzyMyzyMyMzzyMyMzMzyMyMz中性軸MzyMyMz危險點 由 即可確定橫截面上危險點的坐標。確定中性軸Fxyz拉壓正應力斜彎曲正應力（I象限中一點）結(jié)論1：斜彎與拉壓組合變形中，橫截面的中性軸不再通過形心。3. 斜彎曲與拉壓的組合 偏心壓縮6.6 組合變形的應力與強度計算e（2）組合正應力（3）中性軸位置yzMyMzFN iy2 iz2力F向軸心簡化(方向如圖示)（1）各變形應力3. 斜彎曲與拉壓的組合 偏

44、心壓縮6.6 組合變形的應力與強度計算yz（3）中性軸位置其位置不僅與幾何形狀有關(guān)，還與載荷位置有關(guān)。中性軸在 y 軸上的截距：中性軸在 z 軸上的截距：結(jié)論2：中性軸與偏心載荷的作用點分別 位于截面形心的兩側(cè)。（4）危險點位置危險點位于離中性軸距離最遠處對于有棱角的截面，危險點在棱角處中性軸受拉區(qū)受壓區(qū)中性軸 受壓區(qū)受拉區(qū)ayaz(5) 應用實例：偏心受壓柱 偏心受壓柱中，各橫截面上的應力情況相同。工程中常常應避免柱體由于荷載偏心而在橫截面上引起的拉應力。偏心受壓柱的最大拉應力F 為了避免柱體橫截面上引起拉應力，柱頂軸向壓力 F 的作用應限制在什么區(qū)域內(nèi)？3. 斜彎曲與拉壓的組合 偏心壓縮例

45、 如圖的集中荷載 F 可在立柱端面上平行移動，要使立柱橫截面上不產(chǎn)生拉應力， F 應該限制在什么樣的區(qū)域內(nèi)？Fhb設(shè)F 作用點坐標為第一象限中的 (xF, yF)中性軸跨越第三象限bhxyxFyF解:偏心受壓柱任意橫截面上正應力不產(chǎn)生拉應力的條件bhxyxy不產(chǎn)生拉應力的條件(5) 截面核心 ( kern of cross-section )bhxybhxyFhb同理可得其它象限的區(qū)域。bhxy例 如圖的集中荷載 F 可在立柱端面上平行移動，要使立柱橫截面上不產(chǎn)生拉應力， F 應該限制在什么樣的區(qū)域內(nèi)？解: 在偏心壓力作用下，使桿的橫截面上只產(chǎn)生壓應力的載荷作用區(qū)域。截面核心的一般確定方式中性

46、軸力作用點zyyFzFFhb截面核心一般的確定方式zyAzyAzyyFzFFhb截面核心一般的確定方式zyAzyAzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzyzy截矩分析和討論 考慮如下圖形的截面核心結(jié)論 截面核心總是一個凸形圖形。中性軸可以取為 AF 線嗎？ABCDEF中性軸可以取為 EF 線嗎？ABCDEFABCDEFA-F-E 部位的中性軸該如何處理？ABCDEF由此可以得到什么結(jié)論？凸形域 若區(qū)域內(nèi)任意兩點的聯(lián)線上的所有點都在區(qū)域之內(nèi)，則稱該區(qū)域為凸形域。截面核心的特點 截面核心是截面的幾何特征，與荷載大小無關(guān)。 截面核心是形心附近的凸區(qū)域。bhh / 3b / 3ddd / 4截面核心一般的確定方式3. 圓軸的彎扭組合6.6 組合變形的應力與強度計算彎扭組合的應力最大正應力PLadPLadPTPLadPTPLadPTPLaA