高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)空間向量及其運算知識精講

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：空間向量及其運算【本講主要內(nèi)容】空間向量及其運算空間向量的概念、加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的定義及其性質(zhì)、運算.【知識掌握】【知識點精析】(一)空間向量及其加減與數(shù)乘運算.空間向量的有關(guān)概念(1)把具有大小和方向的量叫做向量，其長度叫做空間向量的模.(2)同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.空間向量的加法與數(shù)乘向量運與滿足如下運算律(1)加法交換律：a b二b a(2)加法結(jié)合律：(a b) c = a (b c)(3)數(shù)乘分配律： (a , b) =，a，；.b.共線向量與共面向量(1)共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或 重合.記

2、作a / b.共線向量定理：對空間任意兩個向量 a, b(b # 0), a / b的充要條件是存在實數(shù) 九(具 有唯一性)，使a =京.推論：如果為經(jīng)過已知點a且平行于已知非零向量a的直線，那么對任一點q點p 在直線上的充要條件是存在實數(shù)t,滿足等式 TOC o 1-5 h z Qp=QA+ta.其中向量a*叫做直線l的方向向量.在上取AB=a,則式可化為OP =OA+tAB,或 OP = (1 -t)OA+tQB-1當(dāng)1 =，點P是線段AB的中點，則2一 1 一QP=a(QA+QB) 或都叫做 空間直線的向量參數(shù)表示式 ，是線段AB的中點公式.(2)共面向量：若向量 a使之平行于平面u或a

3、在a內(nèi)，則a與ct的關(guān)系是平行，記 作a /久.共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，則向量P與向量a,b共面的充要條件是存在FF-實數(shù)對x、y使P=xa+yb.推論1 ：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x, y使MP =xMA yMB或?qū)臻g一點0,有OP =OM +xMA+yMB 式叫做平面 MAB勺向量表示式.推論2：空間任一點O和不共線三點 A、B、C,則Op = xOA+yOB + zOC（x+y + z=1）是 P, A, B, C 四點共面的充要條件.（簡證：OP =（1 _y -z）OA + yOB + zOc = AP = yAB+zAC= P、A、B、

4、C四點共面）注：推論1和推論2是證明四點共面的常用方法.空間向量基本定理：如果三個向量a, b,c中共面，那么對空間任一向量r,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、v、z,使p = xa + yb + zc.由此可知，如果三個向量a,b,c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是pp = x5+yb +zC,x,y,zw r.這個集合可看作是由 a,b,C生成的，把a,b,C叫做空 間的一個基底，a,b,c都叫做基向量.推論：設(shè)O, A, B, C是不共面的四點，則對空間任一點 P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、 y、z 使 OP = xOA + yOB+zOC （這里隱含 x+y + zwi）.注：

5、設(shè)四面體 ABC而三條棱，AB=b,AC=C, AD=d,其中Q是BCD的重心，則向Z , 一、 一、重 AQ =一（a +b +c）（用 AQ =AM +MQ 即證）.3AC.兩個向量的數(shù)量積（1）已知空間向量 a,b,則ab cos a,b a叫做向量a,b的數(shù)量積，記作 5，b .即a b = a b cos i_2（2）性質(zhì)： a e = a cos . a_Lbuab=0. a =a，a（3）運算律：（九a） b =Ma b）a b =b a （交換律）.a b + c） = a b + a c （分配律）*（二）空間向量的坐標(biāo)運算1.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)

6、為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱坐標(biāo)），z軸是豎軸（對哽為豎坐標(biāo)）.令 a=（a1,a2, a3）,b=（b1，b2,b3）,則a +b =（a1 b1,a2士b2,a3土b3）,-Fa 二（Ma1, a2, a3）（ - R）a b =a1b1a2 b2 a3 b3aa / b u a=b ,a2 = /b2 ,a3 = &b3(九 r R) u ba _ b = a1bl a2 b2 a3 b3 = 0a = . a a = a12 a2 a；(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化:2a =a，a= a=ua-a)cos : a, b =aibia2b2a3b31a 11bla； a2 - a

7、2b2 bf bf空間兩點的距離公式：d = (x2 - x1)2+ (V2 -Yl)2 +% -Zi)2 .2.法向量：若向量a所在直線垂直于平面 a則稱這個向量垂直于平面如果a_Lot那么向量a叫做平面色的法向量.3.應(yīng)用向量的常用方法：利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)條射線，其中 AWot ,則點B到平面ot的距離為n是平面|AB n|0的法向量,AB是平面0f n1|.：. n2利用法向量求二面角的平面角定理：如圖，設(shè)n1,n2分別是二面角中平面a P的法向量，則n1 ,n2夾角的大小就是所求二面角的平面角或其補角的大小.CC a證直線和平面平行定理：如圖,已知直線A,BW a,

8、C, D,E wa ,且C,D,E三點不共線，則a / a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對九,N使AB = ?，CD +NCE .(常設(shè)人3=，?？?吃求解九若入口存在即證畢，若 九*不存在，則直線 AB與平面相交).BAB證直線和平面垂直定理：設(shè)n是平面a的一個法向量， AB, CD是平面a內(nèi)的兩條相交直線，若 n，AB=0, n CD =0,則 n_Lc(【解題方法指導(dǎo)】例1.判斷下列命題的真假若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.(X)當(dāng)b=0時，不成立向量a,b,C共面即它們所在直線共面.(X)可能異面若a/b,則存在一實數(shù)使a=?$.(x)與b=0不成立若a為非零向量，則0 a =0 .

9、 (V)這里用到,.b(b #0)之積仍為向量例2.如圖，邊長為2的正方形ADEF所在的平面垂直于平面 ABCD AB= AD, AB _L AD ,(I )求：異面直線 BD與CF所成角的大小;(n )求二面角 A-CF D的大小.AC =3近,AC _L BD ,垂足為 M解：(I)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系M -xyz,則 C(2V2,0,0), B(0,72,0), D(0,2,0), F(-，2,0,2),BD =(0,2,2,0), FC = (3.2,0,-2)BD FC =0 BD - FC0二異面直線BD與CF所成角的大小為90 .(II )設(shè) n = (x,y,z,)為平面

10、CFD的法向量，丫 FC = (32,0-2) , FD = (2,v2,-2)n FC =0由n FD =0；3 岳2z = 02x+/2y 2z =0,令 z = 3 ,則 x =, y = 2 2. n =(,.2,2.2,3)丁 MD _L AC ,MD _L 平面 ACF二平面ACF的法向量MD = (0j2,0).n MD則 cos = -f4-=n| MD4,19 ,22,38192、38二二面角A-CF - D的大小為arccos19【考點突破】【考點指要】隨著新教材的逐步推廣、使用，“向量”將會成為高考命題的熱點，一般選擇題、填空題重在考查向量的概念， 數(shù)量積及其運算率.20

11、05年全國16套試卷中，有12套試卷，2006 年的全國18套試卷中，有14套試卷都在解答題中考查了用空間向量知識，解決數(shù)學(xué)問題的能力.在有些立體幾何的解答題中，建立空間直角坐標(biāo)系，以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)和數(shù)量積解決直線、平面問題的位置關(guān)系、角度、長度等問題越來越受青睞，比用傳統(tǒng)立 體幾何的方法簡便快捷. 空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)系運算仍是高考命題的重點，解答題大都屬于中檔題，分值一般在 13分左右.【典型例題分析】例1.如圖，在四棱錐 PABCM,底面ABCM矩形，側(cè)棱P底面ABCD AB= J3 , BC= 1, PA= 2, E 為 PD的中點.(I )求直線 AC與PB所成角的

12、余弦值；(II)在側(cè)面 PAB內(nèi)找一點N,使NE1面PAC并求出N點到AB和AP的距離.解：(I )建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 A、B、C D P、E 的坐標(biāo)為 A (0, 0, 0)、B( V3 , 0, 0)、C( 33 1 1 , 0)、D (0, 1, 0)、P (0, 0, 2)、E (0, - , 1),2從而 AC = ( .3,1,0), PB = ( ,3,0,-2).設(shè)AC與pb的夾角為9,則cos：AC PBIAC| |晶 |32.73.714(n)由于 N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè) N點坐標(biāo)為(x, 0, z),則1 ,NE =(x, ,1z),由 NE1面 PAC

13、可得，2NE AP u0,NE AC =0.L1 ,、(-x,T 1 -z)即2 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document ，1 ,、(-x,- ,1 -z)(0,0,2) =0,_ 化簡得(.3,1,0) =0.z -1 = 0,j3x 12=0.3 x =6z = 133即N點的坐標(biāo)為(,0,1),從而N點至ij AR AP的距離分別為1, .66評述：本小題主要考查線面關(guān)系和四棱錐等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力.例2.如圖，在三棱錐 A-BCD中，側(cè)面 ABD, ACD是全等的直角三角形， AD是公 共的斜邊，且 AD=J3, B

14、D=CD=1,另一側(cè)面 ABC是正三角形.(1)求證：AD BC ；(2)求二面角B - AC -D的大小；(3)在線段AC上是否存在一點 E ,使ED與面BCD成30：角？若存在，確定點E的 位置；若不存在，說明理由.ADB解：(1)作AH，面BCD于H ,連BH, CH, DH ,則四邊形 BHCD是正方形, 且 AH =1 ,以D為原點，以DB為x軸，DC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，駕1,0,0)嗎,0), A(1,1,1). BC =(-110), DA = (1,1,1),BC DA =0,則 BC A,y, z),(2) 平叱jBC的法向量為n1 = (x,則由 n1，BC知：n

15、BC = x + y = 0;同理n1，CA知：n1，CA = x + z = 0. TOC o 1-5 h z 可取 n1 =(1,1,1).同理，可求得平面 ACD的一個法向量為n2 = (10, -J).6 arccos-3由圖可以看出，二面角 B-AC -D的大小應(yīng)等于= 2 =二二=,即所求二面角的大小是Ehl 網(wǎng)弋23z0, y = 1,(3)設(shè)E(x, y, z)是線段.AC上一點，則|=平面BCD的一個法向量為n =(0,0,1),上早=為1, x),要使ED與面BCD成30角，由圖可知 DE與1的夾角為60 ,DE n x1所以 cos 0),則但，目=.已知四邊形ABCM,

16、 AB =a-2c,CD =5a+6b-8c,對角線AG BD的中點分別為E、F,則 EF =. A (1, 0, 1), B (4, 4, 6), C (2, 2, 3), D (10, 14, 17)這四個點是否共面 (共面或不共面) 三.解答題9.在平行四邊形CD成60角，求B、D間的距離.10.設(shè) A (2, 3,1) , B (4, 1 , 2), C (6, 3, 7), D ( 5, -4, 8)求 D到平面 ABC的距離.11.(2006湖南理18)如圖，已知兩個正四棱錐PABCD與Q ABCD的高分別為1ABCD, AB= AC= 1, ZACD =90,將它沿對角線 AC折

17、起，使AB與和 2, AB= 4.(I)證明PQ _L平面ABCD ；(n )求異面直線 AQ與PB所成的角;(出)求點P到平面QAD的距離.綜合測試答案一. 選擇題.解析：根據(jù)數(shù)量積的定義，b c是一個實數(shù)，a+b，c無意義，a，(b，c)實數(shù)與向量無 數(shù)量積，a b =|a b|cos |答案：A.解析：不共面的三個向量才能作為空間的一個基底答案：D.解析：因為 Ad -Ab =BD = BD ,所以A百,ADBD共面答案：C.解析：2x = 1=31- 2y 9答案：C.解析：k5+b = (k-1,k,2) , 24b=(3,2,-2)因為 ka + 6與2后b互相垂直所以 3 (k

18、1) + 2k-4= 0答案：D二.填空題.解析： cos=1,=45答案：45ff ffTTTT7.解析：EF=EA+AB+BF, EF = EC+CB+DF 兩式相加得 TOC o 1-5 h z 1 1-EF = (ABCD) = (a -2c5a6b -8c)= 3a 3b-5c22答案：3a 3b -5c8.解析：AB =(3,4,5),AC =(1,2,2),AD=(9,14,16),設(shè) AD = xAB+yAC即(9, 14, 16) = (3x+y, 4x+2y, 5x+2y)所以 x = 2, y = 3,從而 A、曰 C、D 四 點共面三.解答題9.解：如圖，因為答案：共面

19、/ACD = 90 ,所以 AC CD = 0,AB同理BA AC =0,因為AB與CD成60角 所以 BA,cD A 60 或 120因為BD =BA +AC +CD ,所以 2 2 2. 2 . BD = BA AC CD 2BA AC 2BA CD 2CD AC.2 一 2.2.=BA AC CD 2BA CD = 3 2 1 1 cos BA,CD2 BA,CD =60- 4 BA,CD =120。所以BD =減J2,即日d間的距離是2或，2.解：設(shè)平面ABC的法向量n= (x, y, z)n(x，y，z) (2，-2,1) = 0- n AB = 0，n AC = 0、(x，y，z) (4