高一數(shù)學(xué)集合之間的關(guān)系與運(yùn)算知識(shí)精講

1、高一數(shù)學(xué)集合之間的關(guān)系與運(yùn)算【本講主要內(nèi)容】集合之間的關(guān)系與運(yùn)算子集、全集、補(bǔ)集、交集、并集等概念，集合的運(yùn)算性質(zhì)。【知識(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合 A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合 B的元素，我們就說集合 A包含于集合B,或集合B包含集合Ao記作：A三B或B 3 A, AC B或Bn A當(dāng)集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時(shí)，則記作：AB或BWA注：A三B有兩種可能：(1) A是B的一部分；(2) A與B是同一集合。(2)集合相等：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合 A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合 B 的元素，同時(shí)集合 B的任何一個(gè)元素都是集合 A的元素

2、，我們就說集合 A等于集合B,記作 A= Bo(3)真子集：對(duì)于兩個(gè)集合 A與B,如果A J B ,并且A# B ,我們就說集合 A是集 合B的真子集。記作：AB或 在A,讀作 A真包含于 B或B真包含 A。注：空集是任何集合的子集。三A空集是任何非空集合的真子集。三A若A士，則三A任何一個(gè)集合是它本身的子集。A-A易混符號(hào)“ w ”與“ J ” ：元素與集合之間是屬于關(guān)系；集合與集合之間是包含關(guān)系。如w N,1 皂 N, N 鼻 R,三 R 1三1 , 2, 3)0與：0是含有一個(gè)元素0的集合，是不含任何元素的集合。如0。不能寫成 =0,C 0.全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全

3、部元素，這個(gè)集合就可以看作一 個(gè)全集，全集通常用U表示。.補(bǔ)集：一般地，設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集(即 A=S),由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)，記作CSA ,即CbA =x|xW S,且x A.交集：一般地，由所有屬于 A且屬于B的元素所組成的集合，叫做 A, B的交集。記作 AB (讀作 “ A 交 B”)，即 Al B= x|x W a,且 x三 B。.并集：一般地，由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做 A, B的并 集。記作：aUb (讀彳“ A并B”).交集、并集的性質(zhì)：A，A= A A =，AC B= BD A A B B

4、C A, Al Bq B(2)aUa= a a IM=a a Ub= bUa a Ubma, aUbmb.德摩根律：(C uA) H (C uB) = Cu (A U B) (C uA) U (C uB) = Cu(A 1 B).容斥原理：一般地，把有限集 A的元素個(gè)數(shù)記作 card(A)。對(duì)于兩個(gè)有限集 A, B,有card(A U B) =card(A)+card(B) card(A B B)?！窘忸}方法指導(dǎo)】例1.(1)寫出N, Z, Q, R的包含關(guān)系，并用文氏圖表示。(2)判斷下列寫法是否正確GA 三A A=A A=A解：(1) NZUQUR(2)正確；錯(cuò)誤，因?yàn)锳可能是空集；正確；

5、錯(cuò)誤例 2.已知集合 A B是全集 U= 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的子集，AH B= 2 , (CuA) n(CuB) = 1, 9 , (CuA) n B= 4, 6, 8,求 A、R分析：作出文氏圖，利用數(shù)形結(jié)合法求解本題。解：由圖可得 A=2, 3, 5, 7, B=2, 4, 6, 8。例 3.已知 A= x| x2 ax+a2-19 = 0, B= x| x2 5x+8= 2, C= x| x2+2x 8= 0。若0 宗A AB,且AH C= 0 ,求a的值。解：.B= x|( x-3)( x-2) = 0 =3 , 2,C= x|( x+4)( x- 2

6、)=0=-4, 2,又.一 An b,.An BW 0。又 An c-。，.，可知4 更 A, 2 更 A, 3 Ao，由 9-3a+a2-19=0,解得a= 5或a= 2。當(dāng) a= 5 時(shí)，A= 2 , 3,此時(shí) An o 2 W 0 ,矛盾， aw5；當(dāng) a=- 2 時(shí)，A= 5, 3,此時(shí) An 0= 0 ,A n B=3 w 0 ,符合條件。綜上知a=-2o評(píng)注：求出a值后要注意代回題中檢驗(yàn)，否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。例4.解關(guān)于x的不等式x2 (a+1) x+1 v 0( aw 0)。a分析：解含字母參數(shù)的不等式，要注意對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行合理的分類討論，既不能遺漏， 也不能重復(fù)。解：原不

7、等式化為(x a)( x2)0,a1，相應(yīng)萬程的根為 a、。 a當(dāng) a1,即一1a1 時(shí)，解集為x| 1 x 1時(shí)，解集為x| 1 v xv a;a當(dāng)a= 1時(shí)，解集為0 ；1當(dāng) 0vav 1 或 av 1 時(shí)，解集是x| xaoa評(píng)注：解含字母參數(shù)的不等式時(shí)，要弄清為何要分類討論、分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么、如 何分類討論三個(gè)問題?！究键c(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】重點(diǎn)考查集合與集合之間的關(guān)系，近年試題加強(qiáng)了對(duì)集合的計(jì)算化簡(jiǎn)的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時(shí)，要注意利用幾何的直觀性，注意運(yùn)用文氏 圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)的訓(xùn)練。另外，以集合

8、語言與集合思想為載體，考查函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域、方程、不等式、曲線間的 相交問題。高考命題以考查概念和計(jì)算為主，題型主要是選擇題、填空題，以本節(jié)的知識(shí)作 為工具和其它知識(shí)結(jié)合起來綜合命題的可能性相對(duì)大一些。高考所占比重5分?！镜湫屠}分析】例 5. (1) (05蘇，1)設(shè)集合 A=1 , 2, B=1, 2, 3, C=2, 3, 4,則(A Q B) 1 C = ( )A. 1 , 2, 3B. 1 , 2, 40. 2 , 3, 4D. 1 , 2, 3, 4答案：D解析：AB=1Z(A B) C =1,2,3,4點(diǎn)評(píng)：本題考查了集合間的關(guān)系(交、并) ，屬簡(jiǎn)單題，幾乎每年都有一個(gè)選

9、擇題。(05 哈東遼 II , 1)已知 A=0, 1, B=y|x2 +y2 =1, xwA,則 A與 B 的 關(guān)系為()A. A=BB. A 二 B C. A 二 B D. A = B答案：B評(píng)析：B=y|y=1,1,0 =1, 1,0,故選 Bo點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)集的認(rèn)識(shí)及兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系。( 06江蘇，7)若A、B、C為三個(gè)集合，AU B= BA C,則一定有()A. A Ccb. CMa C. aWC d. a =?解析：1. bC (AU B), (BAC) Ub,( Bn C)B - (AU B)而 AU B= BA C.AU B=Bn C= B 于是 A = B, BCA

10、 C。故選 A( 06 上海，1)已知集合 A= - 1, 3, 2m- 1 ,集合 B= 3, m2,若 A。B, 則實(shí)數(shù)m=解析：若 A 口 B,則 m2 = 2nn- 1,解得 mi= 1,當(dāng) m= 1 時(shí)，A= - 1, 3, 1 , B=3 , 1滿足 A= B,所以取 m= 1。( 05湖南十校，13)某班有50名學(xué)生報(bào)名參加兩項(xiàng)比賽，參加A項(xiàng)的有30人,參加B項(xiàng)的有33人，且A B都不參加的同學(xué)比 A B都參加的同學(xué)的三分之一多一人，則 只參加A項(xiàng)，沒有參加B項(xiàng)的學(xué)生有 人。解析：設(shè)A、B都參加的有x人，都不參加的有 y人，則r30-x + x+ 33-x+y=50 x+1解得x

11、=21,只參加A項(xiàng)，沒有參加B項(xiàng)的學(xué)生有3021 = 9人，故填9。例 6. （ 1999上海，17）設(shè)集合 A=x| xa|2 , B= x| 2x 11,若代 B,求實(shí)數(shù)x 2a的取值范圍。解：由|xa|2,得 a-2xa+2,所以 A= x| a2xa+2。2x -1- x 3由1,得0,即一2x3,所以 B= x|2x3。x 2 x 2因?yàn)锳三B,于是0w aw 1。十 2 3評(píng)述：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運(yùn)算，解絕對(duì)值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過程中要注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法。體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方

12、法。一.選擇題（本大題共 6小題，每小題5分，共30分）1.設(shè)集合21 , 2, 3, 4, 5, A= 1 , 2, 3, B=2 , 5,則 An 9舊等于（）A. 2B. 2 , 3 C. 3D. 1 , 3已知 M= x| -1C. x| x1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document k1k1（2002 全國(guó)又 6,理 5）設(shè)集合 M= x|x= - + - , kCZ , N= x|x= + , kC Z, HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 2442則（）A.M= NB.麻NC. MND.

13、MP N=-（1997 上海，1）設(shè)全集是實(shí)數(shù)集RM=x IxW1+ J2 , xCR,N=1,2, 3, 4,43, 42, 3, 45.（1995全國(guó)理,A. C iM= CN1, 2, 3, 41）已知I為全集，集合M N笑I,若MP N= N,則（B. M 二CNC. C iM CND. M = CN設(shè)全集I =0, 1, 2, 3, 4,集合 A= 0, 1, 2, 3,集合 B= 2, 3, 4,則 CAUCB等于（）0C.0, 1, 40, 1D. 0, 1, 2, 3, 4二.填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）（2003 上海春，5）已知集合 A= x| x| a,

14、且 婚 B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。已知集合 M= 0 , 1, 2, N= x|x=2a, aC M,則集合 Mn N=。（1997 全國(guó)，1 改編）設(shè)集合 M= x I 0Wx2,集合 N= x I x22x3v 0,集合MT N等于。下列5個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)為 aC- aCAU B A2 B= AU B= B aeaeAn B AU B=An B= A AU B= BU C ： A= C三.解答題(本大題共 4題，共50分)已知集合 A= x|x2-5x+6 0, B= x|x2-4ax+3a20( a0 , A= x| x-2| 1, B= x| x _1 0,求 An B, AU

15、B, x-2(CuA) UB, An (CuB)。(13 分) HYPERLINK 一. 選擇題D解析：. U= 1 , 2, 3, 4, 5 , B= 2 , 5,，GjB= 1 , 3, 4。. . AH (CuB)=1, 3。B解析：M= xx 1或x0,兩個(gè)集合都是數(shù)集，集合中的元素是數(shù), 易知 MT N= x| x1。B解析：集合 M的元素為:k 1 2k 1x = + = ( k e Z),集合 N的元素為：x =2 44k 1 k 2+= (kCZ),而2k+1為奇數(shù)，k+2為整數(shù)，因此 MNLMN4 24B解析：CRM= x|x1+ 2 , x C R,又 1 + V23。故O

16、W N= 3 , 4。故選區(qū)C解析一：. MT N= N, . N M CNCM解析二：畫出韋恩圖如下，顯然：CM CZ故選CoC解析：. CA= 4 , CB= 0, 1 ,CAU CB= 0 , 1, 4。答案：a- 2o解析：: A= x| -2xa,又Al B,利用數(shù)軸上覆蓋關(guān)系: 如圖因此有aw 2答案：0, 2解析：M= 0 , 1, 2, N= x|x= 2a, aC M , /. Nl= 0 , 2, 4。.MT N= 0 , 2。x | 0 x 2解析：方法一：N= x I x22x3v0 = x I 1vx3,所以 MA N= x I 0 x 2三個(gè)解析：正確；錯(cuò)誤，例如

17、A= 0 ;錯(cuò)誤，例如 A= 1 , 2 , B= 3 , 4 , C= 1 , 2, 3,顯然有 AU B= BU C, (1 A C。解：A= x| x2- 5x+6 0 = x|2 x0 時(shí)，B= x|ax3a。a 2. A B, 一3a _3解得1 w aw 2。(2)當(dāng) a 0 時(shí)，B= x|3axa。由A2 B,彳導(dǎo)3a 解集為0。 a23,(3)當(dāng) a=0 時(shí)，B= x|x2v0 = 0 ,不合題意。綜上(1) (2) (3)可知 1w a2o2一 一-解：A= x|x-3x+2=0=1 , 2,由 x2-ax+3a- 5= 0,知 A = a2-4(3 a-5) = a2- 1

18、2a+20= (a- 2)( a10)。(1)當(dāng) 2vav10 時(shí)，A 10 時(shí)，A 0,則 Bw 0。若 x = 1,則 1 -a+3a- 5= 0,得 a= 2,此時(shí) B= x| x2-2x+1 = 0 =1 = A;若 x = 2,貝U 4-2a+3a- 5= 0,得 a= 1,此時(shí) B= 2 , 1#Ao綜上所述，當(dāng)2Wa0,得 上心 0O x 1x 1x1,即 A= (8, 1) u 1, +8)。(2)由(xa 1)(2 a- x)0 ,得(x a- 1)( x-2a)0。- a2a。 B= (2 a, a+1)。- BA,2a 1 或 a+1w 1,即 a 1 或 a- 2。2.1 一而 a1, 一 & a0=x|( x-2)( x-1) 0 = x|x2 或 x1 =x| x21 或 x 2v1 =x