新角平分線（2）三角形的內(nèi)心

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)第一章 證明(二)4.角平分線（2）三角形的內(nèi)心學(xué)習(xí)目標(biāo)1.證明三角形的內(nèi)心的定理2.應(yīng)用所學(xué)的定理解決實(shí)際問題駛向勝利的彼岸尺規(guī)作圖角平分線的作法探究已知:AOB,如圖.求作:射線OC,使AOC=BOC.作法:用尺規(guī)作角的平分線.1.在OAT和OB上分別截取OD,OE,使OD=OE.2.分別以點(diǎn)D和E為圓心,以大于DE/2長為半徑作弧,兩弧在 AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.3.作射線OC.請(qǐng)你說明OC為什么是AOB的平分線,并與同伴進(jìn)行交流.老師提示:作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實(shí)掌握.ABOC則射線OC就是AOB的平分線.DE駛向勝利的彼岸角平分線的性質(zhì)定理 角平分線上的點(diǎn)到這

2、個(gè)角的兩邊距離相等.老師提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.如圖,OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知)PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).OCB1A2PDE駛向勝利的彼岸角平分線性質(zhì)定理的逆定理逆定理 在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.如圖,PA=PB, PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知),點(diǎn)P在AOB的平分線上.(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).老師提示:這個(gè)結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.從這個(gè)結(jié)果出發(fā),你還能

3、聯(lián)想到什么?OCB1A2PDE駛向勝利的彼岸親歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展剪一個(gè)三角形紙片通過折疊找出每個(gè)角的平分線.結(jié)論:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.你想證明這個(gè)命題嗎?你能證明這個(gè)命題嗎?觀察這三條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么? 做一做1駛向勝利的彼岸親歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展利用尺規(guī)作出三角形三條邊的垂直平分線.結(jié)論:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn).老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.你想證明這個(gè)命題嗎?你能證明這個(gè)命題嗎? 做一做2再觀察這三條垂直平分線,你又發(fā)現(xiàn)了什么?與同伴交流.駛向勝利的彼岸思考分析命題:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).如圖,設(shè)ABC的角平分線B

4、M,CN相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別是E,F,D.BM是ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,ABC的三條角平分線相交于一點(diǎn)P.咋證三條直線交于一點(diǎn)基本想法是這樣的:我們知道,兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).要想證明三條直線相交于一點(diǎn),只要能證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.這時(shí)可以考慮前面剛剛學(xué)到的逆定理.ABCPMNDEFPD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.PD=PF.點(diǎn)P在BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).駛向勝利的彼岸定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.如

5、圖,在ABC中,BM,CN,AH分別是ABC的三條角平分線,且PDAB,PEBC,PFAC(已知),BM,CN,AH相交于一點(diǎn)P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等).老師提示:這又是一個(gè)證明三條直線交于一點(diǎn)的根據(jù)之一這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.幾何的三種語言 做一做1ABCPMNDEF挑戰(zhàn)自我駛向勝利的彼岸如圖,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平分線,DEAB,垂足為E.老師期望:你能正確地解答并規(guī)范地寫出其過程.(1)如果CD=4cm,AC的長;(2)求證:AB=AC+CD.EDABC夢(mèng)想成真 試一試11.如圖,已知ABC,

6、作ABC一個(gè)內(nèi)角和與它不相鄰的兩個(gè)外角的平分線,看它們是否交于一點(diǎn)?這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?如果以這個(gè)點(diǎn)為圓心,這一點(diǎn)到三角形一邊的距離為半徑作圓,你能作出這個(gè)圖形嗎?ABC老師提示:三角形一個(gè)內(nèi)角和與它不相鄰的兩個(gè)外角的平分線交于一點(diǎn), 這個(gè)的點(diǎn)叫做三角形的傍心.這樣點(diǎn)有三個(gè).回味無窮定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等. 逆定理 在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等(這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心).三角形一個(gè)內(nèi)角和與它不相鄰的兩個(gè)外角的平分線交于一點(diǎn), 這個(gè)的點(diǎn)叫做三角形的傍心.這樣點(diǎn)有三個(gè).小結(jié) 拓展OCB1A2PDE習(xí)題1.9 獨(dú)立作業(yè)1駛向勝利的彼岸1.已知:如圖,C=900, B=300,AD是RtABC的角平分線.求證:BD=2CD. 老師期望:你能寫出規(guī)范的證明過程.ABCD習(xí)題1.9 獨(dú)立作業(yè)2駛向勝利的彼岸2.已知:如圖,ABC的外角CBDT和BCE的角平分線相交于點(diǎn)F.求證:點(diǎn)F在DAE的平分線上. 老師期望:養(yǎng)成用數(shù)學(xué)解釋生活的習(xí)慣. ABCFDE駛向勝利的彼岸.已知:如圖,P是AOB平分線上的一點(diǎn),PCOA,PDOB,垂足分別C,D.求證:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分線. 老師期望:做