47stokes公式 環(huán)量與旋度_第1頁
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文檔簡介

1、18.7 Stokes公式 環(huán)量與旋度一、斯托克斯(stokes)斯托克斯公式1 是有向曲面 的正向邊界曲線右手法則證明如圖2思路曲面積分二重積分曲線積分12314根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線5同理可證故有結(jié)論成立.6Stokes公式的實(shí)質(zhì): 表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式格林公式特殊情形7二、簡單的應(yīng)用解1按斯托克斯公式, 有8解2又按斯托克斯公式, 有9解則10即11應(yīng)用Stokes公式：可將型空間曲線積分化為二種情況計(jì)算（）化為型曲面積分（P232例4.7.1) （）化為型曲面積分（P233例4.7.2)應(yīng)用步驟： （）選定（被 所圍

2、的部分）并由 的方向指明 的側(cè)向（）利用Stokes公式時(shí)，可將型空間曲線積分化為化為兩種曲面積分，一般以計(jì)算較簡便的為宜。12定理：設(shè)空間開區(qū)域G是單連通域，P、Q、R在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)命題彼此等價(jià) 在G內(nèi)與路徑無關(guān)2沿G內(nèi)任意閉曲線L的線積分3在G內(nèi)恒成立下列條件 三 空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件4被積表達(dá)式是某三元函數(shù)u的全微分，即13其中 , 通常取折線路徑求u用下列公式計(jì)算這時(shí)原函數(shù)u可用下列公式求出14例3 證明下列曲線積分與路徑無關(guān),并求積分值解故曲線積分與路徑無關(guān).下面求原函數(shù)u(x,y,z)15所以16三、物理意義-環(huán)流量與旋度1. 環(huán)流量的定義:17利用stokes公式, 有2. 旋度的定義:18斯托克斯公式的又一種形式其中19斯托克斯公式的向量形式其中20Stokes公式的物理解釋:21例3 求下列向量場的旋度解22解23解由力學(xué)知道點(diǎn) 的線速度為觀察旋度由此可看出旋度與旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系

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