13正規(guī)變換與埃爾米特二次型

1、第十三講 正規(guī)變換與埃爾米特二次型定義1 設(shè) 是酉空間 V 的一個線性變換, 如果對任意向量 V, 都有 (), ) = (, (), 則稱 是Hermite變換. 問題 設(shè) 是酉空間 V 中的線性變換, 是否存在 L(V), 使得 , V, 有 (, ) = (, ).定理1 設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的線性變換, 則存在唯一的L(V), 使得 , V, 有 (, ) = (, )證明 存在性: 設(shè) 1, 2, n 是 V 中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 在 1, 2, n 下的矩陣為 A, 由上冊P.198定理6.4, 存在唯一的一個 V 中的線性變換 , 在 1, 2, n 下的矩陣為 AH, 設(shè)

2、 1, 2, nX, 1, 2, nY, A = (aij)nn, 則 = (1, 2, n)AX, = (, 2,n)AHY, 且1唯一性: 設(shè) 和 是 n 維酉空間 V 中的兩個線性變換, 且 , V, 有 (, ) = (, ), 則 (, (-) = 0, 取 = (-), 則 (, ) = 0, 故 = 0, 所以 V, 有 (-) = 0, 故 = .定義2 設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的線性變換, 由定理1存在唯一的 V 中的線性變換(記為) *, 使得 , V, 有 (, ) = (, *), 這個線性變換稱為 的共軛變換.設(shè) 是酉空間 V 中的Hermite變換, 則 * =

3、 .2推論1 設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的Hermite變換, 1, 2, n 是 V 中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 在 1, 2, n 下的矩陣為 A, 則 AH = A, A 稱為Hermite矩陣.推論2 設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的酉變換, 1, 2, n 是 V 中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 則由P.71定理10.9, 在 1, 2, n 下的矩陣 A 為酉矩陣, 即 AH = A-1, 故 * = -1.定義3 設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的線性變換, 若 * = *, 則稱 為正規(guī)變換.設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的正規(guī)變換, 1, 2, n 是 V 中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, 在 1, 2, n 下的

4、矩陣為 A, 則 AAH = AHA, A 稱為正規(guī)矩陣.酉變換和Hermite變換都是正規(guī)變換, 酉矩陣和Hermite矩陣都是正規(guī)矩陣.3定理2 設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的正規(guī)變換, 若 = ,則證明 因?yàn)?= , 所以 (-) = 0, 要證 (*-) = 0,推論1 設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的Hermite變換, 則 的特征值全是實(shí)數(shù).推論2 設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的酉變換, 則 的特征值的絕對值均為1.4定理3 若 n 階方陣 A 是正規(guī)矩陣, 則存在酉矩陣 U, 使得 U1AU = UHAU 是對角陣.證明 對 n 歸納. 當(dāng) n = 1 時, 顯然. 設(shè)當(dāng) A 是

5、n-1 階正規(guī)矩陣時命題成立, 現(xiàn)設(shè) 1 是 A 的一個特征值, X1 是 A 的屬于 1 的一個單位特征向量, 由上冊P.163定理5.12可知X1 可擴(kuò)充為 Cn 的一組基, 這組基通過施密特正交化過程可化為 Cn 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 X1, X2, Xn, 因?yàn)?X1, X2, , Xn 為 Cn 的一組基, 所以存在 n 維向量 Y2,Yn, 使得 AX2 = (X1, X2, Xn)Y2, AXn = (X1, X2, Xn)Yn,記 (X1, X2, Xn) 為 U1, (1e1, Y2, Yn) 為 B, 則 AU1 =而 AX1 = 1X1 = (X1, X2, Xn)1e1,

6、(AX1, AX2, AXn) = (X1, X2, Xn)(1e1, Y2, Yn) = U1 (1e1, Y2, Yn) = U1B.5U1 是酉矩陣, 且 U1-1AU1 = B. 因?yàn)?U1-1 = U1H, 所以BHB = U1-1AHU1U1-1AU1 = U1-1AHAU-1 = U1-1AAHU1 = U1-1AU1U1-1AHU1 = BBH, B 也是正規(guī)矩陣, 記則 且 C 為 n-1 階正規(guī)矩陣, 由歸納假設(shè)存在酉矩陣 U2, 使得 U21CU2 是對角陣 D, 6令則即 U 是酉矩陣, 且 U1AU = UHAU 是對角陣.7定理4 設(shè) 是 n 維酉空間 V 中的正規(guī)

7、變換, 則 屬于不同特征值的特征向量正交.證明 設(shè) 上述分析指明了正規(guī)矩陣酉對角化(即求酉矩陣 U, 使 得 U-1AU 為對角陣)的方法.8 正規(guī)矩陣酉對角化的方法(1) 求 A 的特征值, 得到其中(2) 對每個 i, 求線性方程組 (iIAX 的基礎(chǔ)解系, i = 1, 2, s, 得到(3) 對每組向量進(jìn)行施密特正交化, 得到一個 得一個標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組:(4) 令 則由定理3&4, U 是酉矩陣, 而且9例1 設(shè)求酉矩陣 U, 使 UAU 為對角陣.解 (1) 求A的特征值 所以 A 的特征值為 1 = 0, 2 =(2) 求屬于不同特征值的特征向量.由 (1IA)X = 0 解得

8、 故由 (2IA)X = 0 解得 故(3) 施密特正交化：10令則 U 是酉矩陣, 且定義4 n 個復(fù)變量 x1, x2, xn 的(二次齊次)函數(shù)稱為 n 元Hermite(二次)型. 令 A = (aij)nn, X = (x1, xn)T, 則 f = XHAX, AH = A, A 稱為Hermite二次型的矩陣. 11 如果把 X = (x1, x2, xn)T 看作 n 維復(fù)向量空間 V 中的 向量 在某組基下的坐標(biāo), 那么Hermite型 f(x1, x2, xn) = XHAX 也可以記成 f() = XHAX. 這種觀點(diǎn)下, Hermite型可以看作是向量函數(shù). 只不過函

9、數(shù)值通過坐標(biāo)來計(jì)算.問題: 如何選擇基使得函數(shù)的計(jì)算更簡單. 這相當(dāng)于化簡Hermite型的矩陣. 先看基的改變會引起 Hermite 型的矩陣怎樣改變, 以便 把Hermite型的化簡問題轉(zhuǎn)化成矩陣問題. 設(shè) Hermite 型 f() = XHAX 中 X 是向量 在 V 的基 1, 2, n 基下的坐標(biāo). 如果選擇另外的基 1, 2, n, 設(shè) (1, 2, n) = (1, 2, n)P, 設(shè)向量 的新坐標(biāo)為 Y = (y1, y2, yn)T,12 則由上冊第157頁定理5.6可知 X = PY, 將 X = PY 代入 f() 得到: f() = XHAX = (PY)HA(PY)

10、 = YHPHAPY, 如 果令 B = PHAP, 則得 f() = YHBY. B = BH 是Hermite矩陣, YHBY 也是Hermite型. 同一個向量函數(shù) f() 在不同基下所對應(yīng)的兩個Hermite 型 XHAX 和 YHBY 稱為是等價的. 換句話說, Hermite型 XHAX 與Hermite型 YHBY 等價 后者可以由前者通過可逆線性替換 X = PY 得到. 等價的Hermite型的矩陣之間有關(guān)系 B = PHAP, 這種關(guān)系是同階方陣之間的一種重要的等價關(guān)系, 稱為 共軛合同(共軛相合)關(guān)系.定義5 給定兩個 n 階復(fù)方陣 A 和 B, 如果存在可逆方陣 P,

11、使得 B = PHAP, 則稱 B 與 A 共軛合同(共軛相合).13定理5 設(shè) f() = XHAX 是一個Hermite型, 其中 AH = A, 則(由定理3)存在酉線性替換 X = UY, 其中 U 是酉矩陣, 把 f() 化成標(biāo)準(zhǔn)形:其中 1, 2, n 是 A 的 n 個實(shí)特征值(定理2推論).為了表達(dá)方便, 不妨設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形如下:其中 diR, 且 di 0, i = 1, 2, n. 于是, 作可逆線性替換, 令得到形如(3)式的Hermite型稱為Hermite型的規(guī)范形. 于是有如下慣性定理.14 任意一個Hermite型, 總可以經(jīng)過一個適當(dāng)?shù)目赡婢€性 替換, 化成規(guī)范形,

12、規(guī)范形是唯一的. 即: 規(guī)范形(3)中 的參數(shù) r, p 是唯一確定的. (證略) 規(guī)范形中的 p 稱為正慣性指數(shù), r-p 為負(fù)慣性指數(shù); p-(r-p) = 2p-r 符號差. 任意Hermite矩陣共軛相合于對角陣 或者說 AMn(C), 若 AH = A, 則存在一個可逆矩陣 PMn(C) 使得 Hermite型的正定性 1. 正定Hermite型的定義15定義6 設(shè) f() = XHAX 是Hermite型, 若對任何非零向量 都有 f() 0, 則稱這個Hermite型 f() 為正定二次型.正定Hermite型的矩陣稱為正定Hermite矩陣.例如 XHX 是正定Hermite型

13、.2. 正定Hermite矩陣的性質(zhì)1) 可逆線性替換不改變Hermite型的正定性.2) Hermite陣 A 正定 A 的特征值都大于0.3) n 元Hermite型正定 正慣性指數(shù) p = n.4) Hermite陣 A 正定 A 與 I 共軛相合.5) Hermite陣 A 正定 A = CHC, 其中 C 可逆.6) 正定Hermite矩陣的行列式大于零. 反之不一定成立. Hermite型 f() = XTAX 正定 A 的各階順序主子式 Pi 0, i = 1, 2, n. (證略)16例2 求參數(shù) t 的范圍, 使下列Hermite型為正定Hermite型:解 這個Hermit

14、e型的矩陣為若該Hermite型正定, 則 A 的各階順序主子式大于零.推得即所以當(dāng) -2 t 1 時原Hermite型正定.17定義7 設(shè) f () = XHAX 是Hermite型, 若對任何向量 都有 f() 0, 則稱這個Hermite型 f() 為半正定Hermite型. 半正定Hermite型的矩陣稱為半正定Hermite矩陣. 半正定性的判定方法1) 可逆線性替換不改變Hermite型的半正定性.2) n 元Hermite型半正定 正慣性指數(shù) p = r n.3) Hermite矩陣 A 半正定 A 共軛合同于 diag(Ir, 0).4) Hermite矩陣 A 半正定 A = CTC.5) Hermite矩陣 A 半正定 A 的特征值都大于等