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1、第26章 26.3 二次函數(shù)的解析式二次函數(shù) 二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一,也是歷年中考的重點。這部分知識命題形式比較靈活,既有填空題、選擇題,又有解答題,而且常與方程、幾何、三角等綜合在一起,出現(xiàn)在壓軸題之中。 因此,熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識,會靈活運用一般式、頂點式、交點式求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應(yīng)用題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。一、二次函數(shù)常用的幾種解析式的確定已知拋物線上三點的坐標(biāo),通常選擇一般式。已知拋物線上頂點坐標(biāo)(對稱軸或最值),通常選擇頂點式。 已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo),選擇交點式。1、一般式2、頂點式3、交點式(兩根式)二、求二次函數(shù)解析式的思想方法 1、 求二次函數(shù)解析式的常
2、用方法: 2、求二次函數(shù)解析式的 常用思想: 3、二次函數(shù)解析式的最終形式:待定系數(shù)法、配方法、數(shù)形結(jié)合等。轉(zhuǎn)化思想 : 解方程或方程組 無論采用哪一種解析式求解,最后結(jié)果最好化為一般式。解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由條件得:a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得:因此:所求二次函數(shù)是:a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5oxy例 1 三、應(yīng)用舉例 已知一個二次函數(shù)的圖象過點(1,10)、(1,4)、(2,7)三點,求這個函數(shù)的解析式.知道任意三點的坐標(biāo),設(shè) 一般式解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x1)2-3由條件得:yox點( 0,-5 )在拋物線上
3、a-3=-5, 得a=-2故所求的拋物線解析式為 y=2(x1)2-3即:y=2x2-4x5例 2 已知拋物線的頂點為(1,3),與軸交點為(0,5)求拋物線的解析式.知道頂點坐標(biāo),設(shè) 頂點式解:設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x1)(x1)由條件得:yox點M( 0,1 )在拋物線上所以:a(0+1)(0-1)=1得: a=-1故所求的拋物線解析式為 y=- (x1)(x-1)即:y=x2+1例 3已知拋物線與X軸交于A(1,0),B(1,0)并經(jīng)過點M(0,1),求拋物線的解析式?知道與x軸的交點坐標(biāo),設(shè) 交點式已知二次函數(shù) 的圖像如圖所示,求其解析式。解法一: 一般式設(shè)解析式為頂點C(1,4)
4、,對稱軸 x=1.A(-1,0)與 B關(guān)于 x=1對稱,B(3,0)。A(-1,0)、B(3,0)和C(1,4)在拋物線上, 即:利用三種方式求解析式:已知二次函數(shù) 的圖像如圖所示,求其解析式。解法二:頂點式設(shè)解析式為頂點C(1,4)又A(-1,0)在拋物線上, a = -1即: h=1, k=4.解法三:交點式設(shè)解析式為拋物線與x 軸的兩個交點坐標(biāo) 為 A (-1,0)、B(3,0) y = a (x+1) (x- 3)又 C(1,4)在拋物線上 4 = a (1+1) (1-3) a = -1 y = - ( x+1) (x-3)即:已知二次函數(shù) 的圖像如圖所示, 求其解析式。例4、已知拋
5、物線的頂點是(3,-2),且與x軸的兩個交點之間的距離是4,求此二次函數(shù)的解析式.解:設(shè)函數(shù)關(guān)系式 y=a(x-3)2-2拋物線與x軸兩交點距離為4,對稱軸為x=3過點(5,0)或(1,0)把(1,0)代入得, 4a=2a=21y= (x-3)2-221變式:例5、已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同,頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5,請寫出滿足此條件的拋物線的解析式.解:拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同 a=1或-1 又 頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5, 頂點為(1,5)或(1,-5) 所以其解析式為: (
6、1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展開成一般式即可.變式:1、已知二次函數(shù)的圖像過原點,當(dāng)x=1時,y有最小值為-1,求其解析式。 四、嘗試練習(xí)解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為 x = 1, y= -1 , 頂點(1,-1)。又(0,0)在拋物線上, a = 1 即: 2、已知二次函數(shù)與x 軸的交點坐標(biāo)為(-1,0),(1,0),點(0,1)在圖像上,求其解析式。解:設(shè)所求的解析式為拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(-1,0)、(1,0) 又點(0,1)在圖像上, a = -1即:四、嘗試練習(xí)1、已知二次函數(shù)的圖像過點(0
7、, 0),(1,3),(2,-7)三點,則該二次函數(shù)關(guān)系式為_。2、若二次函數(shù)的圖像有最高點為(1,6),且經(jīng)過點(2,8),則此二次函數(shù)的關(guān)系式_3、若二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)為(1,0)、(2,0)且過點(3,4),則此二次函數(shù)的關(guān)系式為_小試牛刀4、二次函數(shù)y= ax2+bx+c的對稱軸為x=3,最小值為2,且過點(0,1),求此函數(shù)的解析式。5、已知二次函數(shù)的對稱軸是直線x1,圖象上最低點P的縱坐標(biāo)為-8,圖象經(jīng)過點(-2,10),求這個函數(shù)的解析式 6、已知拋物線與X軸交于A(-1,0),B(1,0)并經(jīng)過點M(0,1),求拋物線的解析式?7、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的
8、最大值是2,圖象頂點在直線y=x+1上,并且圖象經(jīng)過點(3,-6)。求a、b、c。解:二次函數(shù)的最大值是2拋物線的頂點縱坐標(biāo)為2又拋物線的頂點在直線y=x+1上當(dāng)y=2時,x=1 頂點坐標(biāo)為( 1 , 2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又圖象經(jīng)過點(3,-6)-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2即: y=-2x2+4x 8、 已知:拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示:(1)求此拋物線的解析式;(2)當(dāng)x取何值時,y0?(3)將拋物線作怎樣的一次平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個交點,并寫出此時拋物線的解析式。xyoABDC-15-2.5課堂小結(jié)求二次
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