單元質(zhì)檢卷六　平面向量、復(fù)數(shù)

1、 單元質(zhì)檢卷六平面向量、復(fù)數(shù)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2021北京,2)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2,則z=()A.2+iB.2-iC.1-iD.1+i2.已知向量a=(1,2),b=(2,x),且ab=-1,則x的值等于()A.12B.-12C.32D.-323.已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z=54+3i,則z的共軛復(fù)數(shù)z=()A.45+35iB.45-35iC.-45+35iD.-45-35i4.(2021山東臨沂一模)如圖,若向量OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,且|z|=5,則1

2、z=()A.15+25iB.-15-25iC.15-25iD.-15+25i5.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E為邊DC的中點(diǎn),F為BE的中點(diǎn),則AFAE=()A.3B.2C.32D.126.(2021福建廈門模擬)向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)(a-b),則x=()A.-2B.2C.2D.27.已知向量a=(1,2),|b|=2,|a-b|=13,則a與b的夾角為()A.6B.3C.23D.568.在ABC中,ABBC3=BCCA2=CAAB,則sin Asin Bsin C=()A.534B.543C.523D.5329.若mR,則復(fù)數(shù)m+i1-i在復(fù)平面內(nèi)

3、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限10.已知平面向量a=(2,2),b=(1,m),且|2a-b|=|a+b|,則()A.ab=4B.ab=0C.m=-1D.|b|=211.設(shè)z為復(fù)數(shù),則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A.|z|2=zzB.z2=|z|2C.若|z|=1,則|z+i|的最大值為2D.若|z-1|=1,則0|z|212.已知P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A.若PA+3PB+2PC=0,則點(diǎn)P在ABC的中位線上B.若PA+PB+PC=0,則P為ABC的重心C.若ABAC0,則ABC為銳角三角形D.若AP=13AB+23AC,則ABC與AB

4、P的面積比為32二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知向量a=(m,1),b=(4,m),向量a在b上的投影向量的模為5,則m=.14.(2021山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模)設(shè)向量a=(1,m),b=(2,1),且b(2a+b)=7,則m=.15.(2021湖北七市聯(lián)考)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,則AOBO=.16.(2021天津,15)在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn),DEAB且交AB于點(diǎn)E.DFAB且交AC于點(diǎn)F,則|2BE+DF|的值為,(DE+DF)DA的最小值為.三、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、

5、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知復(fù)數(shù)z=bi(bR),z-21+i是純虛數(shù),i是虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z;(2)若復(fù)數(shù)(m+z)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.(12分)(2021江蘇海門第一中學(xué)高三期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,3),B(2,-2),C(4,1).(1)若AB=3CD,求點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)設(shè)實(shí)數(shù)k滿足(kAB+2OC)OC=4,求實(shí)數(shù)k的值.19.(12分)已知a=(cos x,sin x),b=(1,0),c=(4,4).(1)若a(c-b),求tan x;(2)求|a+b|的最大值,并求出對(duì)應(yīng)的x的值.20.(12分)如圖

6、,在長(zhǎng)方形ABCD中,E為邊DC的中點(diǎn),F為邊BC上一點(diǎn),且CFCB=23.設(shè)AB=a,AD=b.(1)試用基a,b表示AE,EF;(2)若G為長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn),且AG=34a+23b,求證:E,G,F三點(diǎn)共線.21.(12分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=(2cos x,3),OB=(sin x+3cos x,-1),若f(x)=OAOB+2.(1)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程;(2)當(dāng)x0,2時(shí),若函數(shù)g(x)=f(x)+m有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22.(12分)已知e1,e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,AB=2e1+e2,BE=-e1+e2,EC=-2e1+e2,且A,E,C三點(diǎn)共線

7、.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐標(biāo);(3)已知D(3,5),在(2)的條件下,若A,B,C,D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形,求點(diǎn)A的坐標(biāo).單元質(zhì)檢卷六平面向量、復(fù)數(shù)1.D解析:由題意可得z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i.故選D.2.D解析:因?yàn)閍=(1,2),b=(2,x),所以ab=12+2x=-1,解得x=-32.故選D.3.A解析:復(fù)數(shù)z=54+3i=5(4-3i)(4+3i)(4-3i)=45-35i,則z=45+35i,故選A.4.D解析:根據(jù)圖形可設(shè)z=-1+bi,b0,因?yàn)閨z|=5,所以(-1)

8、2+b2=5,解得b=2,所以z=-1+2i,則z=-1-2i,所以1z=1-1-2i=-1+2i(-1-2i)(-1+2i)=-1+2i5=-15+25i.故選D.5.B解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),E(1,1),F32,12,AF=32,12,AE=(1,1),AFAE=32+12=2.故選B.6.C解析:(方法1)a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因?yàn)?a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=0,即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=2.(方法2)因?yàn)?a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=0,即a2-b2=0,即|a|

9、=|b|,所以x=2.故選C.7.D解析:因?yàn)閨a-b|=13,所以(a-b)2=13,即a2-2ab+b2=13.設(shè)a與b的夾角為,則3-232cos +4=13,解得cos =-32,所以a與b的夾角為56.故選D.8.D解析:由題意,在ABC中,ABBC3=BCCA2=CAAB,設(shè)ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,利用向量的數(shù)量積的定義可知accos(-B)3=abcos(-C)2=bccos(-A),即accosB3=abcosC2=bccosA1,即ac3a2+c2-b22ac=ab2a2+b2-c22ab=bc1b2+c2-a22bc,即2a2+2c2-2b2=3a2+

10、3b2-3c2=6b2+6c2-6a2,設(shè)2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2=12k,k0,解得a2=5k,b2=3k,c2=4k,所以a=5k,b=3k,c=4k,所以由正弦定理可得abc=sin Asin Bsin C=532.故選D.9.D解析:m+i1-i=(m+i)(1+i)(1-i)(1+i)=m-12+m+12i,當(dāng)m1時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限;第-1m1時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限;當(dāng)m0,AB與AC夾角為銳角,即A為銳角,但此時(shí)B,C有可能是直角或鈍角,故無法說明ABC為銳角三角形,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,AP=13AB+23AC,13(AB-AP)+2

11、3(AC-AP)=0,PB+2PC=0,P為線段BC上靠近C的三等分點(diǎn),即BP=23BC,SABCSABP=BCBP=32,故D正確.故選C.13.2或-2解析:由題意可知,向量a在b上的投影數(shù)量為ab|b|=|m4+1m|42+m2=|5m|16+m2=5,兩邊平方,可得25m216+m2=5,解得m=-2或m=2.14.-1解析:向量a=(1,m),b=(2,1),2a+b=(4,2m+1).b(2a+b)=7,8+2m+1=7,解得m=-1.15.-34解析:AOBO=12AC12BD=14(AB+AD)(AD-AB)=14(AD2-AB2)=14(12-22)=-34.16.11120

12、解析:設(shè)BE=x,x0,12,ABC為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,DEAB,BDE=30,BD=2x,DE=3x,DC=1-2x.DFAB,DFC為邊長(zhǎng)為1-2x的等邊三角形,DEDF,(2BE+DF)2=4BE2+4BEDF+DF2=4x2+4x(1-2x)cos 0+(1-2x)2=1,|2BE+DF|=1.(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE+EA)=DE2+DFEA=(3x)2+(1-2x)(1-x)=5x2-3x+1=5x-3102+1120,當(dāng)x=310時(shí),(DE+DF)DA取最小值為1120.17.解(1)z=bi(bR),z-21+i=bi-21+i=(bi-2)(1-i)(1+

13、i)(1-i)=(b-2)+(b+2)i2=b-22+b+22i.又z-21+i是純虛數(shù),b-22=0,b=2,即z=2i.(2)z=2i,mR,(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi.又復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,m2-40,解得0m2,故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,2).18.解(1)因?yàn)锳(1,3),B(2,-2),C(4,1),所以AB=(1,-5).設(shè)D(x,y),則CD=(x-4,y-1).因?yàn)锳B=3CD,所以(1,-5)=(3x-12,3y-3),所以3x-12=1,3y-3=-5,解得x=133,y=-23,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為133,-23.

14、(2)OC=(4,1),kAB+2OC=(k+8,-5k+2).因?yàn)?kAB+2OC)OC=4,所以4(k+8)+(-5k+2)=4,解得k=30.19.解(1)c-b=(3,4),由a(c-b)得4cos x-3sin x=0,tan x=sinxcosx=43.(2)a+b=(cos x+1,sin x),(a+b)2=(cos x+1)2+sin2x=2+2cos x,|a+b|=2+2cosx,當(dāng)cos x=1,即x=2k,kZ時(shí),|a+b|取得最大值為2.20.(1)解AE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB=b+12a,EF=EC+CF=12AB+23CB=12AB-23A

15、D=12a-23b.(2)證明AG=34a+23b,EG=AG-AE=14a-13b,EF=12a-23b=2EG,EF,EG共線.又EF,EG有一公共點(diǎn)E,E,G,F三點(diǎn)共線.21.解(1)OA=(2cos x,3),OB=(sin x+3cos x,-1),f(x)=OAOB+2=2cos xsin x+23cos2x-3+2=sin 2x+3cos 2x+2=2sin2x+3+2,令2x+3=2+k,kZ,得x=k2+12,kZ,故f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x=k2+12,kZ.(2)x0,2,g(x)=f(x)+m有零點(diǎn),-m=f(x)在0,2上有解.x0,2,2x+33,43,-32sin2x+31,f(x)(-3+2,4,實(shí)數(shù)m的取值范圍為-4,3-2).22.解(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(-e1+e2)=e1+(1+)e2.因?yàn)锳,E,C三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)k,使得AE=kEC,即e1+(1+)e2=k(-2e1+e2