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1、最小多項式在狀態(tài)反饋極點配置多維輸入算法中的應(yīng)用錢曉東 控制科學與控制工程學院 檢測技術(shù)與自動化裝置 2009010192摘要:本文簡單描述了矩陣論中最小多項式在線性系統(tǒng)理論的有關(guān)運用。文章首先介紹線性系統(tǒng)的研究方法,以及在現(xiàn)實中用的較多的系統(tǒng)綜合問題。然后結(jié)合最小多項式的定義、性質(zhì)及求法,從而很容易的判斷一個矩陣是否為循環(huán)矩陣,循環(huán)矩陣對狀態(tài)反饋極點配置問題多維輸入的情況影響重大,所以解決有關(guān)極點配置問題多維輸入的算法,首要前提就是搞明白最小多項式的求法。在現(xiàn)代控制理論中,把對一個線性系統(tǒng)的研究分為兩部分系統(tǒng)分析和系統(tǒng)綜合。系統(tǒng)分析可以歸結(jié)為對給定系統(tǒng)方程和已知外部輸入,確定系統(tǒng)的運動行為和

2、結(jié)構(gòu)特性,運動行為如狀態(tài)運動規(guī)律、運動穩(wěn)定性等,結(jié)構(gòu)特性如特征結(jié)構(gòu)、能控性、能觀性等。而系統(tǒng)綜合則與之相反,可以歸結(jié)為對給定系統(tǒng)方程和制定期望運動行為,確定系統(tǒng)的外部輸入即控制作用。系統(tǒng)綜合由三部分組成,受控系統(tǒng)、性能指標、控制輸入。受控系統(tǒng)是對象,例如: 其中x為n維狀態(tài),u為p維輸入,y為q維輸出,系數(shù)矩陣A,B和C為給定的相應(yīng)維數(shù)常陣。性能指標是綜合問題的目標,也是系統(tǒng)綜合問題的重點,它包括四個方面:1,以漸近穩(wěn)定作為性能指標2,以一組期望閉環(huán)系統(tǒng)特征值作為性能指標3,以使“一個m輸入m輸出系統(tǒng)”化為“m個單輸入單輸出系統(tǒng)”4,以使系統(tǒng)輸出y(t)在存在外部擾動環(huán)境下無靜差地跟蹤參考信號

3、??刂戚斎胧菍崿F(xiàn)綜合問題目標的手段,通常取為反饋控制形式。如下圖所示:引入反饋矩陣K后,原受控對象就變?yōu)槿缦滦问剑涸谙到y(tǒng)綜合中,不同的期望性能指標就歸結(jié)為綜合不同的反饋矩陣K。下文是通過狀態(tài)反饋極點配置的手段來實現(xiàn)使一組期望閉環(huán)系統(tǒng)特征值作為性能指標。狀態(tài)反饋極點配置就是以一組期望極點即特征值為性能指標,對線性時不變受控系統(tǒng)綜合一個狀態(tài)反饋型的控制,使綜合導(dǎo)出的控制系統(tǒng)特征值配置到復(fù)平面上期望位置。例如,由線性時不變系統(tǒng)運動分析可知,表征系統(tǒng)運動行為的一些典型指標,時間域指標如單位階躍響應(yīng)的上升時間、超調(diào)量、過渡過程時間等,頻率域指標如幅頻特性的頻帶寬度、剪切頻率、峰值等,主要由系統(tǒng)特征值的位

4、置決定。因此,把特征值配置到復(fù)平面期望位置上,就可以實現(xiàn)控制系統(tǒng)動態(tài)性能的時域和頻域指標。所以,從工程的角度來看,要想實現(xiàn)一個系統(tǒng)所需要的各種性能指標,如超調(diào)量、過渡時間等等,就必須找到一組期望值使其配置到我們所需要的位置上。那么怎么把我們所需要的期望值配置到指定位置呢,即怎樣找到我們所需要的反饋矩陣K呢,下面我們就這個問題分兩種情況展開討論。(一)單輸入連續(xù)時間線性時不變受控系統(tǒng)給定能控矩陣對和一組期望的閉環(huán)特征值,要確定的反饋增益矩陣K,使下式成立。第一步:的特征多項式,即第二步:計算由所決定的多項式,即第三步:計算第四步:計算變換陣第五步:求第六步:所求增益陣(二)多輸入n維連續(xù)時間線性

5、時不變系統(tǒng)給定能控矩陣對和一組所期望的閉環(huán)特征值,要確定的反饋增益矩陣K,使下式成立 第一步:判斷A是否為循環(huán)矩陣。若否,選取一個常陣,使 為循環(huán),并表示為;若是,則。 第二步:對循環(huán)陣,通過適當選取一個實常向量,表示為, 且為能控。 第三步:對于等價單輸入問題,利用單輸入極點配置問題的算法,求出增益向量k。 第四步:當A為循環(huán)時,所求的增益矩陣;當A為非循環(huán)時,所求的增益矩陣為。 在多輸入情況下判斷系統(tǒng)矩陣A(方陣)是否為循環(huán)矩陣,要用到矩陣論中最小多項式的有關(guān)知識。循環(huán)矩陣的定義即當且僅當其特征多項式等同于其最小多項式時,稱方陣A為循環(huán)矩陣。所以在判斷一個矩陣是不是循環(huán)矩陣時,就要求其最小

6、多項式和特征多項式,而求最小多項式往往不那么容易,下面從它的定義及性質(zhì)入手,討論最小多項式的常用方法。 (一)方陣的零化多項式 定義:對于給定的矩陣A,凡是滿足f(A)=0的多項式f()稱為A的零化多項式,也稱f()使A零化。 (二)最小多項式及其性質(zhì) 定義:在A的零化多項式中,次數(shù)最低且首項系數(shù)為1的多項式稱為A的最小多項式,記作。 性質(zhì):設(shè)A,則,A的任一零化多項式都能被整除;A的最小多項式是唯一的;相似矩陣的最小多項式相同。(三)最小多項式的求法1.由特征多項式求最小多項式步驟:(1)先將A的特征多項式在中作標準分解,找到中A的全部特征值;(2)對的標準分解式中含有的因式按次數(shù)從低到高的順序進行檢測,第一個能零化A的多項式就是最小多項式。2.由最小多項式的整除性質(zhì)求最小多項式 設(shè)A,則A的最小多項式是A的最后一個不變因子.也可表示為= ,其中=det(I-A),是I-A的n-1階行列式因子。 3.利用Jordon標準型求最小多項式 設(shè)A,則A的最小多項式可以由給出,其中是A的相異的特征

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