用頻率估計概率—教學設計及點評

1、第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動課題：用頻率估計概率授課教師：北京市日壇中學 李巖指導教師：北京市朝陽區(qū)教育研究中心謝慧 萬書河 曹自由2019年10月第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動25.3用頻率估計概率一、內(nèi)容和內(nèi)容分析.內(nèi)容：人教版義務教育教科書數(shù)學九年級上冊“ 25.3用頻率估計概率”第一 課時.內(nèi)容解析：用頻率估計概率屬于“統(tǒng)計與概率”領域，統(tǒng)計的學習是在實際問題中通過 經(jīng)歷統(tǒng)計全過程，根據(jù)統(tǒng)計結果做出簡單的判斷和預測. 概率是刻畫隨機事件發(fā) 生可能性大小的數(shù)值，通過獲得隨機事件發(fā)生的概率可以解決一些實際問題.通過下面的知識結構圖可以看出，隨機事件發(fā)生的頻數(shù)和

2、頻率是可以通過統(tǒng)計的方 法得到的，需要統(tǒng)計的知識，本節(jié)內(nèi)容就是在運用統(tǒng)計的方法進一步研究概率.統(tǒng)計表支除問題概次向 用解際題本節(jié)課是概率初步這一章的第三節(jié)，從整個單元的教學上看是學生學習 了隨機事件與概率，初步了解了概率的意義，能用列舉法求一些簡單等可能事件 的概率之后，對概率的進一步研究.本節(jié)課將從統(tǒng)計試驗結果頻率的角度研究一 些隨機試驗中事件的概率，讓學生從頻率的角度進一步認識概率的意義， 概率反 映的規(guī)律是針對大量重復試驗而言.用頻率估計概率不受隨機試驗中結果種數(shù)有 限和各種結果發(fā)生等可能的限制，適用的范圍比列舉法更廣.本節(jié)的研究內(nèi)容是頻率和概率，頻率是隨機的，在試驗前不能確定，概率是

3、確定的數(shù)，是客觀存在的.隨機事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出規(guī)律性， 隨著試驗次數(shù)的 增加.一個事件出現(xiàn)的頻率總是在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定 性.因此，可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概 率.從知識類型上看屬于原理性知識，頻率與概率的關系是學生認同能夠用頻率 估計概率，并能夠在遇到簡單問題時主動想到要用頻率估計概率解決問題的基礎.基于此分析本節(jié)的教學重點是：探究頻率與概率的關系.第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動二、目標和目標解析.目標（1）通過拋擲硬幣、摸球等隨機試驗，了解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別，知 道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率.（2）會用頻率

4、估計概率的方法解決簡單問題.目標解析達成目標（1）的標志是：學生能夠運用統(tǒng)計知識分析數(shù)據(jù)，感受頻率具有 隨機性，在大量重復試驗時顯示出穩(wěn)定性； 結合具體試驗感受頻率與概率的區(qū)別 與聯(lián)系.明確地知道除了用列舉法求概率， 還可以用頻率估計概率，這種方法得 出的概率與用列舉法求出的概率不矛盾，并且相對于列舉法適用范圍更廣.達成目標（2）的標志是：學生在面對無法直接求得概率的問題時， 能主動想 到通過試驗用頻率估計概率，在設計試驗并實施的過程中能關注到大量、重復這 兩個關鍵點，并能根據(jù)統(tǒng)計的頻率合理地估計概率.三、學生學情分析知識儲備：學生已經(jīng)了解了隨機事件和概率的有關概念， 能用列舉法求試驗 結果種

5、數(shù)有限且各種結果等可能的隨機事件的概率.學習情況調查：對往屆九年級學生進行調研.（問卷后附）從學習效果的測試結果看，發(fā)現(xiàn)約70%的學生對于概率的含義，頻率的特點， 頻率與概率的關系認識不清，導致此現(xiàn)象的原因在于學生經(jīng)歷的試驗不夠充分， 對兩個概念的關系討論不足.本節(jié)內(nèi)容的難點來自兩個角度，一是知識本身，頻率的隨機性和穩(wěn)定性并存， 學生同時理解存在障礙；二是學生的學習經(jīng)驗，以往的學習都是對確定性的分析， 此內(nèi)容是對不確定性的分析，學生的認知方式需要轉變.基于此教學中學生在對 試驗數(shù)據(jù)進行分析的基礎上，參與合作討論探究問題，對于頻率和概率反復交替 認識，逐層對頻率的隨機性和穩(wěn)定性進行分析， 進而強

6、化對概率含義的認識.充 分經(jīng)歷各種簡單試驗，在過程中加深對用頻率估計概率方法的理解.基于以上分析本節(jié)課的教學難點設定為：正確理解頻率和概率的關系.四、教學策略分析學生經(jīng)歷拋硬幣的試驗，通過概率含義的追問引出通過試驗探索頻率與概率 的關系，學生親自動手試驗獲得數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，初步感受頻率呈現(xiàn)的 隨機性和規(guī)律性（圍繞概率值波動）.通過隨機模擬大量重復試驗，試驗次數(shù)增第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動加頻率越來越穩(wěn)定，進一發(fā)現(xiàn)頻率與概率的關系.通過比對試驗結果，加深對穩(wěn) 定性和隨機性的理解.頻率與概率兩個概念始終交替出現(xiàn)，分散難點，達成目標.通過設計試驗解決摸球的問題，加深認同頻率

7、與概率的關系，又能進一步理 解用頻率估計概率的過程，對于這個未知概率的問題試驗次數(shù)少時頻率波動大， 試驗次數(shù)增加穩(wěn)定性出現(xiàn)的可能性較大，檢驗結果后發(fā)現(xiàn)概率與估計值相同，進 而形成用頻率估計概率的方法.在理性分析的前提下進行試驗操作，再回歸到理 性分析，既有思考又有實踐，動手與動腦相結合更有助于學生理解頻率與概率的 關系.設計投擲圖釘?shù)脑囼灲鉀Q問題，對于這個未知概率的問題，且概率不能通過 列舉法求出，學生能夠主動應用新學習的方法， 獨立設計試驗解決問題，進一步 培養(yǎng)學生的隨機觀念和統(tǒng)計意識.五、教學過程設計教學流程：【環(huán)節(jié)一】 分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)關系活動1收集各組課前預習作業(yè)的數(shù)據(jù)并進行整理分析.L

8、!課前作業(yè)：拋擲一枚硬幣 100I次，分別統(tǒng)計拋擲 50次，100次|和200次時“正面向上”出現(xiàn)的I頻數(shù)，計算頻率，填寫表格.作業(yè)要求：1號同學拋擲硬幣，約達 1臂高度，硬幣落地靜止，報告試驗結果 2號同學用劃記法記錄試驗結果 3號同學 監(jiān)督，盡可能保證每次試 驗條件相同，確保試驗的隨機性， 填 寫表格.問題1拋擲一枚質地均勻的硬幣，“正面向上”的概率為0.5,是否意味著 拋擲一枚硬幣50次時，就會有25次“正面向上”呢？拋擲一枚硬幣 100次時, 各組的“正面向上”的頻數(shù)是 50嗎？請各組匯報試驗數(shù)據(jù).第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動師生活動：統(tǒng)計各組試驗數(shù)據(jù)，利用Excel形

9、成各組拋一枚硬幣50次和100 次“正面向上”的頻率散點圖.分析統(tǒng)計圖，體會頻率與概率的區(qū)別并能夠初步 感受頻率可能與概率存在關系.設計意圖：對已有數(shù)據(jù)進行收集和描述，體會頻率的隨機性，培養(yǎng)隨機觀念.活動2增加數(shù)據(jù)，初步發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定性問題2如果重復試驗次數(shù)增多，結果會如何呢 ？拋擲次數(shù)n501001502003004006008001000“止面向上”的頻數(shù) m“止面向上”的頻率 m n師生活動：師生討論，由于試驗條件基本相同，可以用逐步累加各組數(shù)據(jù)的 方法近似地模擬重復試驗次數(shù)不斷增多的情況， 教師組織學生整理試驗數(shù)據(jù)，并 對生成的頻率統(tǒng)計圖進行分析.設計意圖：全班合作對分組試驗獲得的數(shù)據(jù)進行整

10、理和分析， 鼓勵和引導學 生初步探索數(shù)據(jù)中隱藏的規(guī)律，提高學生的統(tǒng)計意識，進一步理解概率的意義.活動3軟件模擬，完善關系1 73 LJ5 2L7 2sq 433 05 67? MD 721 733 日舒 937 1CW10811153122512.87136914411513166514S717ZB1 1.873193E師生活動：教師利用投硬幣模擬軟件演示一組投硬幣2000次的模擬試驗，學生將模擬試驗的結果與全班真實試驗的結果做比較，歸納發(fā)現(xiàn)：正面向上的頻 率在0.5左右擺動，隨著拋擲次數(shù)的增加，在 0.5左右擺動的幅度越來越小的可 能性變大.學生發(fā)現(xiàn)，由于隨機事件的隨機性，每組試驗得到的頻率

11、分布都不盡 相同，但都無一例外的顯示出，在做大量重復試驗時頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性；試驗次第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動隨著重復試驗次數(shù)的不斷增加，頻數(shù)較少時，頻率表現(xiàn)出隨機性的可能性很大， 率表現(xiàn)出穩(wěn)定性的可能性越來越大.設計意圖：引導學生進一步理解，頻率具有隨機性，在做大量重復試驗時， 隨著試驗次數(shù)的增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸能夠完整表述頻率與概率的關系.問題4閱讀另外四次模擬拋擲硬幣 2000次的試驗數(shù)據(jù)圖表（見附錄）， 你讀出哪些信息？師生活動：學生閱讀圖表，驗證頻率與概率的關系，進一步認可，在做大量 重復試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性.由于隨機事件的隨機性， 各

12、次模擬的頻率分布圖均有不同，但都顯示出在做大量重復試驗時頻率表現(xiàn)出穩(wěn) 定性.設計意圖：通過多次模擬試驗，進一步驗證頻率與概率的關系是正確的， 發(fā) 現(xiàn)試驗次數(shù)多時頻率更多的呈現(xiàn)穩(wěn)定性. 同時感受不論試驗次數(shù)是多少，都存在 頻率偏離概率較大的可能性，只是這種可能性在多次重復試驗的前提下變小. 初 步形成了對于這個拋擲硬幣的簡單試驗的概率可以通過頻率進行估計的觀念.師生活動：擦除模擬拋一枚硬幣2000次“正面向上”的頻率散點圖中表示 概率的直線，基于現(xiàn)有的頻率分布情況，學生能夠估計此未知概率事件發(fā)生的概 率是0.5,再擦除學生拋擲硬幣100次中表示概率的直線，學生的估計并不是0.5, 分析估計不準確

13、的原因，是試驗次數(shù)少，頻率分布不穩(wěn)定，大量重復試驗當頻率 穩(wěn)定時才能夠估計得相對準確.設計意圖：本環(huán)節(jié)通過對拋擲硬幣這 個已知概率的試驗獲得頻率的分析，引導 學生形成用頻率估計概率的方法.通過兩 次“擦線”的對比，學生能夠發(fā)現(xiàn)對于此 隨機試驗，可以用頻率估計概率，并且隨 著試驗次數(shù)的增加，頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性時 所估計的概率相對準確.教師出示歷史上一些拋擲硬幣試驗的結果，引導學生分析數(shù)學家反復進行拋 硬幣試驗的原因在于對沒有證明過的結論需要反復驗證其真實性.設計意圖：學生逐漸認識到即使是科學家在沒能準確證明的情況下也需要進 行大量重復試驗來驗證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.學生課堂經(jīng)歷的發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程與數(shù)學發(fā)展第十

14、一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動的真實過程是一致的，學生經(jīng)歷科學家研究問題的過程，了解證明的必要性.【環(huán)節(jié)二】 設計試驗，認同關系活動4摸球問題活動4.1問題呈現(xiàn)：在不透明的箱子中，有紅色和黃色兩種除顏色外無其每次隨機摸出一個小球后放回，你摸球試驗任務：1各小組重復、隨機摸球，統(tǒng)計得到“摸出黃球”的頻率2檢驗頻率能否達到穩(wěn)定3用頻率估計概率4檢驗估計是否正確他差別的5個小球.在不打開箱子的前提下， 能說出箱子里面有幾個黃球嗎？活動4.2試驗設計：學生通過討論發(fā)現(xiàn) 解決問題的關鍵在于要知道摸到黃球的概 率，仿照課前預習作業(yè)設計摸球試驗.活動4.3實施試驗：在試驗過程中知道 需要大量重復試

15、驗，可以累加數(shù)據(jù)得到較大 試驗次數(shù)，對于數(shù)據(jù)是否穩(wěn)定需要檢驗.活動4.4問題解決：通過頻率估計摸出 黃球的概率從而求得黃球的個數(shù).師生活動：學生小組合作設計試驗，分享交流后執(zhí)行試驗，利用圖形計算器 統(tǒng)計試驗結果，繪制頻率分布圖，利用頻率估計概率，從而解決問題.進一步發(fā) 現(xiàn)對于此概率未知的問題也可以利用頻率估計概率， 形成用頻率估計概率的方法.學生總結歸納獲得概率的方法，教師給出：對一般的隨機事件，在做大量重 復試驗時，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總是在一個固定數(shù)的附 近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.頻率穩(wěn)定性規(guī)律不但由人們大量的生活實踐所驗 證，還由數(shù)學家雅各布伯努利給出了嚴格的證明.

16、設計意圖：通過分析摸球問題，發(fā)現(xiàn)解決問題的關鍵是獲得事件的概率， 經(jīng) 歷解決問題的過程，學生進一步認同用頻率估計概率的方法. 體會到對于概率未 知的隨機事件仍然可以使用頻率估計概率的方法解決.通過設計試驗方案，更加明確“重復”與“大量”的含義.兩個環(huán)節(jié)分別從學生已知概率的問題，和未知 概率（但是概率可計算）的兩個角度讓學生逐步認同用頻率估計概率的方法.【環(huán)節(jié)三】解決問題，應用關系問題5投一枚圖釘，你能估計出“釘尖朝上”的概率嗎？師生活動：學生討論，發(fā)現(xiàn)由于無法確定“釘尖朝上”、“釘尖朝下”的可能 性是否相等，不能用列舉法求這個隨機事件的概率，有必要采用新學的方法一一 用頻率估計概率.設計意圖：

17、對于未知概率的事件（概率不可計算求得），學生進一步意識到 用頻率估計概率是一種獲得隨機事件的概率的新方法， 它的適用范圍比用列舉法 求概率更廣.對于這個不能求出概率的問題，學生能夠獨立設計試驗，完整的說 明運用頻率估計概率的全過程，加深對規(guī)律和方法的理解.【環(huán)節(jié)四】總結反思，加深認識教師與學生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：.目前我們學習了哪些求隨機事件概率的方法？.說說你對頻率與概率之間關系的認識.設計意圖：歸納小結，鞏固頻率的穩(wěn)定性規(guī)律和用頻率估計概率的方法.第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動布置作業(yè)任務單作業(yè)任務單1.用頻率估計概率：完成投圖釘試驗試驗設計：人

18、員分工:數(shù)據(jù)統(tǒng)計:試驗次數(shù)事件發(fā)生的頻數(shù)m事件發(fā)生的頻率m n事件發(fā)生的頻率0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.20.10次 次 次 次 次 次 次 次 次 次 次 次 次 次 次結論：.說一說生活中利用頻率估計概率的具體事件.設計意圖：鞏固用頻率估計概率的方法，解決實際問題.激發(fā)學生繼續(xù)探究 的興趣，再次體會“用頻率估計概率”的方法在非古典概型問題中的應用價值.六、目標檢測設計卜表是某班同學隨機投擲一枚硬幣的試驗結果.拋擲次數(shù)n50100150200250300350400450500“止面向上”次數(shù) m22527195116138160187214238“止面向上”

19、頻率 m n0.440.520.470.480.460.460.460.470.480.488第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動下面有三個推斷：表中沒有出現(xiàn)“正面向上”的頻率是 0.5的情況，所以不能估計“正面向 上”的概率是0.5;這些次試驗投擲次數(shù)的最大值是 500,此時“正面向上”的頻率是 0.48, 所以“正面向上”的概率是0.48;投擲硬幣“正面向上”的概率應該是確定的，但是大量重復試驗反映的規(guī)律并非在每一次試驗中都發(fā)生；其中合理的是.設計意圖：考查學生對頻率與概率的關系的理解，以及用頻率估計概率含義及方法的理解.第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動附錄1:學情調研

20、卷問題1你在初中的學習中是否知道數(shù)學實驗？在初中數(shù)學課堂上是否經(jīng)歷過數(shù)學實驗？設計意圖：考查對數(shù)學實驗的知曉，是否經(jīng)歷了數(shù)學實驗，對于本課選擇運用試驗的方 式逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律做準備.當投擲次數(shù)是 500時，計算機記錄 釘尖向上”的次數(shù)是308,所以釘尖向上”的概率是 0.616;隨著實驗次數(shù)的增加，釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計 釘尖向上”的概率是0.618;若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，釘尖向上”的概率一定是0.620 .其中合理的是.并試說明理由.設計意圖：來源自2017年北京中考試題選擇題，改成填空題后，對于頻率與概率意義 的理解以及

21、頻率估計概率方法的意義的理解進行測試.問題3某射手進行射擊，結果如下表所示:射擊次數(shù)n20100200500800命中靶心次數(shù)m1358104255404命中靶心頻率m n(1)這個射手射擊一次，命中靶心的概率是多少？(結果保留一位小數(shù))(2)這個射手射擊1600次，命中靶心的次數(shù)大約是 .設計意圖：在這道題的設計中，數(shù)據(jù)是來源于某幾個班各個小組實際扔硬幣出現(xiàn)正反面的數(shù)據(jù)，然后進行了分別匯總，對于已知拋硬幣事件學生固有觀念概率一定是0.5,在測試題的題目中，把背景轉化成射擊命中與否，是不可求得概率的問題. 雖然給定數(shù)據(jù)與拋硬幣相同，但學生呈現(xiàn)結果發(fā)現(xiàn)，題目背景或數(shù)據(jù)發(fā)生變化時，只有部分學生理解

22、了問題本質， 知道在大量重復的基礎上可以用頻率來估計概率.10第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動往屆九年級（86人）學生問題分析:調研目的作答情況人 數(shù)百分比簡單分析問題1對數(shù)學實 驗的知 曉，是否 經(jīng)歷了數(shù) 學實驗.不了解，沒有 做過89.38%沒有經(jīng)歷過實驗得出結論的過程知道，很少5362.5%在數(shù)學課上通過實驗得到結論有過 感知，經(jīng)歷過一些操作的過程，但 次數(shù)較少問題2對概率的 理解，對 頻率信計 概率的理 解.選2023.25%認為概率是計算的結果，對頻率的 隨機性與概率的確定性不明確選2427.90%對于計算概率后較深刻的印象，認 同頻率可以估計概率，但對頻率與 概率的關系

23、不明確選78.13%對概率的意義不理解選3540.69%明確頻率與概率的關系，會用頻率 估計概率問題3是否會求 頻率，能 否用頻率 估計概 率，能否 利用概率 解決問 題.空白小回答33.48%頻率的計算是錯誤的，直接導致后 兩問無法作答會計算頻率但 不能借計概率3130.05%掌握概率的計算公式，但是對于頻 率與概率的關系不清，后問空白錯誤的怡計了 不恰當?shù)母怕?326.74%能夠熟練正確的計算頻率，但不清 楚頻率與概率之間的關系，不理解 概率是頻率在大量重復后的穩(wěn)定值能夠正確解決 問題2933.72%知道用頻率傳計概率，知大量重復 試驗時頻率會穩(wěn)定于概率，能夠理 解和解釋在試驗次數(shù)太少的情

24、況 下，兩者會出現(xiàn)相差較多的情況11第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動 附錄2:四次模擬拋擲硬幣 2000次試驗的數(shù)據(jù)第一次試驗第二次試驗第三次試驗第四次試驗12 n lh e 人( lb m h. nmanjiinMLH rv m mm, tk at ,!(ng E!K,i*i，ai.n，* lhl FiKf5Q i,，a，G eke6.aVC ri m mi n h ih * E m k n m rx -tp13a=l5g5iaii3JiaxJI3s&| 晝點 Eaais:si:E|iKK：jza5E：3；：J-!ir3S5J-：a5；:aisi-!rprBiEt!, rt r-

25、 i- n * n rii n n，I n T- n ih jw ni n in I n n ri n i-i m r E n rt I n n n ir4 l第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動用頻率估計概率評析義務教育數(shù)學課程標準 （2011年版）提出“知道通過大量地重復試驗，可以用頻率估計概率” 的要求.實際上，概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的；頻率本身是隨機的，在 試驗前不能確定；頻率圍繞概率波動，隨著試驗次數(shù)增加，頻率接近概率的可能性越來越大 . 這里既有隨機性，又有隨機性表現(xiàn)出來的規(guī)律性，學生理解起來比較困難.李巖老師的用頻率估計概率一課做了精心設計與積極實踐，幫助學生正確認識頻率與概率的關系，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念.一、學情分析精準，教學設計嚴謹李老師分別對當前九年級學生和已經(jīng)畢業(yè)的往屆學生進行學情調查，分析數(shù)據(jù)，精準 定位，根據(jù)當前學生的認知基礎和認知規(guī)律，往屆學生學習的問題或薄弱環(huán)節(jié)，有針對性 地設計教學.從本節(jié)課的整體結構上看，教師按照“分析數(shù)據(jù)-發(fā)現(xiàn)關系，設計試驗-認同 關系，解決問題-應用關系，歸納小結-提升認識”四個環(huán)節(jié)展開的.學生經(jīng)歷對兩個特殊隨機事件的分析，即已知概率的拋擲硬幣和概率“未知”（可求