近世代數(shù)課件2.1群的定義

1、1群的定義內(nèi)容導(dǎo)航1.1引例1.2群的第一定義及例子1.3群的第二定義1.4群的第三定義1.5群的第四定義1.6幾個(gè)進(jìn)一步的概念第1頁(yè)，共20頁(yè)。1.1引例例1 集合 上所有一一變換.引入記號(hào):第2頁(yè)，共20頁(yè)。例2 保持平面上正不變的保距變換. , 具有乘法運(yùn)算(映射復(fù)合),滿足性質(zhì): 對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的: 對(duì)于 ；結(jié)合律成立： ,對(duì)于 ；第3頁(yè)，共20頁(yè)。 里至少存在一個(gè) ，能讓 對(duì)于 的任何元 都成立, 這樣的 稱為左單 位元；對(duì)于 的每一個(gè)元 ，在 里存在一個(gè)元,記 為 ，能讓 這樣的 稱為 的左逆元.例3 保持 中多項(xiàng)式 不變的變換.第4頁(yè)，共20頁(yè)。1.2群的第一定義及例子 群的定

2、義I我們說(shuō)，一個(gè)不空集合對(duì)于 一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如:III 里至少存在一個(gè) ，能讓 對(duì)于 的任何元 都成立, 這樣的 稱為左單 位元； 對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的: 對(duì)于 ；結(jié)合律成立： ,對(duì)于 ；第5頁(yè)，共20頁(yè)。 對(duì)于 的每一個(gè)元 ，在 里存在一個(gè)元,記 為 ，能讓 這樣的 稱為 的左逆元.注1 群 與運(yùn)算聯(lián)系在一起.例4. (平凡群) 只包含一個(gè)元 乘法是 對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群例5. 在數(shù)集中,關(guān)于熟習(xí)的運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子 .第6頁(yè)，共20頁(yè)。例6 在矩陣集合中發(fā)現(xiàn)一些群的正反面的例子.例7 向量空間是一個(gè)加法群例8 (重新定義的運(yùn)算) 在 上定義運(yùn)算 判

3、斷 關(guān)于給定的運(yùn)算是否構(gòu)成群.注2 群定義中, I和II 是驗(yàn)算, III和IV 需要找元素.注3 III和IV有邏輯先后.第7頁(yè)，共20頁(yè)。作業(yè): 判斷下列是否構(gòu)成群(1) 在 上定義運(yùn)算(2) 在上定義運(yùn)算 第8頁(yè)，共20頁(yè)。1.3 群的第二定義引理1 一個(gè)左逆元一定也是一個(gè)右逆元, 這句話的意思是：證明 有元 有左逆元 ，使得一方面, 但另一方面, 所以 第9頁(yè)，共20頁(yè)。引理2 一個(gè)左單位元一定也是一個(gè)右單位元這就是說(shuō)：證明: 群的定義II我們說(shuō)，一個(gè)不空集合 對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如: 對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的: 對(duì)于 ；結(jié)合律成立： ,對(duì)于 ；第10頁(yè)，共20頁(yè)。I

4、II 里至少存在一個(gè) ，能讓 對(duì)于 的任何元 都成立, 這樣的 稱為右單 位元；對(duì)于 的每一個(gè)元 ，在 里存在一個(gè)元,記 為 ，能讓 這樣的 稱為 的右逆元.證明:(1)定義I 證明定義II, 已經(jīng)完成(2)定義II證明定義I, 需要類似的二步(作業(yè))第11頁(yè)，共20頁(yè)。1.4群的第三定義 群的定義III我們說(shuō)，一個(gè)不空集合 對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如: 對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是閉的: 對(duì)于 ；結(jié)合律成立： ,對(duì)于 ；III 里至少存在一個(gè) ，能讓 對(duì)于 的任何元 都成立, 這樣的 稱為右單 位元；第12頁(yè)，共20頁(yè)。對(duì)于 的每一個(gè)元 ，在 里存在一個(gè)元,記 為 ，能讓 這樣的 稱為

5、 的逆元.第13頁(yè)，共20頁(yè)。1.5 群的第四定義 群的定義IV我們說(shuō)，一個(gè)不空集合 對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如: 對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)是閉的；結(jié)合律成立： ,對(duì)于 ；V對(duì)于 的任意兩個(gè)元 ， 來(lái)說(shuō)，方程和 都在里有解第14頁(yè)，共20頁(yè)。證明 定義III 定義IV 定義I 定義III(1)定義III 定義IV, 容易(2)定義IV 定義I III. 需要證明： 里至少存在一個(gè)元 ，叫做 的 一個(gè)左單位元，能讓對(duì)于 的任何元 都成立對(duì)于一個(gè)固定的元 ，在 里有解我們?nèi)我馊∫粋€(gè)解 ，叫它作： （）第15頁(yè)，共20頁(yè)。我們要證明這個(gè) 就是左單位元，即：對(duì)于 的任意元 ，成立 有解 ：

6、 （）由（），（）這樣，我們證明了 的存在第16頁(yè)，共20頁(yè)。 對(duì)于 的每一個(gè)元 ，在 里至少存在一個(gè) 元 ，叫做 的一個(gè)左逆元，能讓成立這里 是一個(gè)固定的左單位元 由V， 可解(3) 定義I 定義III ，已經(jīng)完成。第17頁(yè)，共20頁(yè)。1.6 幾個(gè)進(jìn)一步的概念以下我們還要說(shuō)明幾個(gè)名詞和符號(hào)一個(gè)群 的元素的個(gè)數(shù)可以有限也可以無(wú)限我們規(guī)定定義1一個(gè)群叫做有限群，假如這個(gè)群的元的個(gè)數(shù)是一個(gè)有限數(shù)不然的話，這個(gè)群叫做無(wú)限群一個(gè)有限群的元的個(gè)數(shù)叫做這個(gè)群的階第18頁(yè)，共20頁(yè)。在一個(gè)群里結(jié)合律是對(duì)的，所以有意義，是 的某一個(gè)元這樣，我們當(dāng)然可以把 個(gè)相同的元來(lái)相乘因?yàn)槲覀冇闷胀ǔ朔ǖ姆?hào) 來(lái)表示群的乘法，這樣得來(lái)的一個(gè)元我們也用普通符號(hào)來(lái)表示： 是正整數(shù)并且也把它叫做 的 次乘方（簡(jiǎn)稱 次方）第19頁(yè)，共20頁(yè)。在一般的